Banach空间上的Hölder度量次正则性的充分条件及参数估值
何青海, 王立将
云南大学 数学系,云南 昆明 650091

作者简介:何青海(1968-),男,云南人,博士,副教授,主要从事泛函分析及其应用方面的研究.E-mail:heqh@ynu.edu.cn.

摘要

在一般Banach空间中,借助于Ekeland变分原理和多值映射的协导数,证明了Hölder度量次正则性的几个新的充分条件,并对相关重要参数给出估值.最后应用它们研究了不等式系统的Hölder误差界.

关键词: Hölder度量次正则;; 法锥; Ekeland变分原理; 协导数
中图分类号:O177.92 文献标志码:A 文章编号:0258-7971(2018)06-1071-11
The sufficient conditions of Hölder metric subregularity in Banach spaces and parameter estimation
HE Qing-hai, WANG Li-jiang
Department of Mathematics,Yunnan University,Kunming 650091,China
Abstract

By Ekeland variational principle and coderivatives, we studied several sufficient conditions for Hölder metric subregularity in general Banach spaces and estimated corresponding important parameters.Finally we applied our results to research Hölder error bound for a inequality system.

Keyword: Hölder metric subregular;; normal cone; Ekeland variational principle; coderivative
1 引言及预备知识

设X和Y是Banach空间, F是X到Y中的多值映射, gph(F)表示F的图.我们称F在( $\bar{x}$, $\bar{y}$)∈ gph(F)是度量次正则的, 如果存在τ , δ ∈ (0, +∞ ), 使得

τ d(x, F-1($\bar{y}$))≤ d($\bar{y}$, F(x)), ∀ x∈ BX($\bar{x}$, δ ), (1)

其中d($\bar{y}$, F(x))表示$\bar{y}$到集合F(x)的距离, BX($\bar{x}$, δ ) 是以$\bar{x}$为中心, δ 为半径的X中的开球.众所周知度量次正则性在研究优化、均衡、误差等领域中取得了很多成果[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7].

设f:X→ R是局部Lipschitz的, F(x):=[f(x), +∞ ).1979年Ioffe在文献[1]证明了, 若存在η , δ ∈ (0, +∞ ), 使得

η ≤ d(0, ∂ f(x)), ∀ x∈ BX($\bar{x}$, δ )\F-1(0),

则F在($\bar{x}$, 0)是度量次正则的, 其中∂ f(x)是f在x处的Clarke-次微分.一些学者借助于多值映射F的Coderivative D* F(x, y)研究其度量次正则性[3, 4, 5]等.如2010年Zheng[3]在一般的Banach空间中, 利用Coderivative建立了相应的度量次正则的结果, 将Ioffe的上述结果延拓到F是Banach空间上的闭多值映射的情形.而Hö lder度量次正则性是度量次正则性的一种有用推广, 近年来也受到人们的关注[8, 9, 10, 11, 12].若存在p, τ , δ ∈ (0, +∞ ), 使得

τ d(x, F-1($\bar{y}$))p≤ d($\bar{y}$, F(x)), ∀ x∈ BX($\bar{x}$, δ ), (2)

则称F在($\bar{x}$, $\bar{y}$)∈ gph(F)是Hö lder度量次正则的.

显然当0< p< 1时(2) 比(1) 更弱.我们定义集合

N(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, τ , δ ):={x∈ BX($\bar{x}$, δ ):τ d(x, F-1($\bar{y}$))p> d($\bar{y}$, F(x))}.

(2)⇔ N(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, τ , δ )=Ø .

当N(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, τ , δ )≠ Ø 时, 在C2-光滑的Banach空间框架下, Zhang[8]借助于Borwein-Preiss光滑变分原理和逼近Coderivative Dp* F(x, y), 他们证明了在C2-光滑Banach空间中的多值映射的Hö lder度量次正则的一些充分条件.受其启发, 本文在N(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, τ , δ )≠ Ø 的情况下, 借助Ekeland变分原理和Clarke Coderivative Dc* F(x, y), 我们获得了一般Banach空间上的多值映射F在($\bar{x}$, $\bar{y}$)的Hö lder度量次正则的几个充分条件, 对相关的重要参数进行了估值, 最后还运用它们研究了不等式系统的Hö lder误差界.

设X是Banach空间, X* 是其共轭空间.令f:X|→ R̅是正常的下半连续函数, dom(f)为f的有效域, $\bar{x}$∈ dom(f).f在$\bar{x}$处的Clarke-Rockaffellar次微分∂ f($\bar{x}$)定义为

∂ f($\bar{x}$):={x* ∈ X* |< x* , h> ≤ f($\bar{x}$, h), ∀ h∈ X},

其中

f($\bar{x}$, h):= limε0limxx̅supt0infωh+εBXf(x+)-f(x)t.

当f在$\bar{x}$处是局部Lipschitz的, f($\bar{x}$, h)等于其Clarke方向导数, 即

f($\bar{x}$, h)=fo($\bar{x}$, h):= limt0+supxx̅f(x+th)-f(x)t.

当f为凸函数时, ∂ f( x̅)与其凸次微分相同, 即

∂ f( x̅)={x* ∈ X* :< x* , x- x̅> ≤ f(x)-f( x̅), ∀ x∈ X}.

记JX为X到X* 上的正规对偶映射, 即

JX(x):= {x* SX* :x* =1, < x* , x> =x}, xX\{0}, BX* , x=0.

当X光滑且JX为单值时, 我们知道

JX=∇ ·(x), ∀ x∈ X\{0}.

设ε ≥ 0, 记

JXε(x):={x* SX* :d(x* , JX(x))≤ ε }, ∀ x∈ X\{0}.

设A是X的闭子集, a∈ A, Tc(A, a)为A在a处的Clarke切锥

也即υ ∈ Tc(A, a)当且仅当任意 , tn→ 0+, 存在υ n→ υ , 使得对任意n∈ N, 都有an+tnυ nA.Aa处的Clarke法锥Nc(A, a)的定义为

Nc(A, a):={x* X* :< x* , h> ≤ 0, ∀ hTc(A, a)}.

定义1[5]X是Banach空间, f:XR̅是正常下半连续函数, $\bar{x}$∈ dom(f).若存在x* X* , 使得

lim infy0f(x̅+y)-f(x̅)-< x* , y> y≥ 0,

则称f在$\bar{x}$处是F-次可微, x* 称为f在$\bar{x}$处的F-次导数, 所有这些次导数构成的集合称为f在$\bar{x}$处的F-次微分, 记为Ff(x).

定义2[5]AX的一个非空子集, xAε ≥ 0.称集合

Ax处的ε -法向集.当ε =0时, 称其为Ax处的Fré chet法锥, 记为 N^(A, x).由文献[9]中可知 N^(A, x)⊂Nc(A, x).

xX, 用PA(x)表示xA上的投影, 即

PA(x):={aA: x-a=d(x, A)}.

ε > 0, 记

PAε(x):={aA: x-a≤ min{(1+ε )d(x, A), d(x, A)+ε }}. (3)

F:X→ → YXY的集值映射, F的图定义为

gph(F):={(x, y)∈ X× Y:yF(x)}.

F是闭的是指其图gph(F)是 X× Y的闭子集.设(x, y)∈ gph(F), F在(x, y)处的Clarke切导数DcF(x, y):X→ → Y定义为

DcF(x, y)(μ ):={υ Y:(μ , υ )∈ Tc(gph(F), (x, y))}, ∀ μ X. (4)

D^* F(x, y), Dc* F(x, y):Y* → → X* 分别为F在(x, y)处的Fré chet和Clarke Coderivative:

D^* F(x, y)(y* ):={x* X* :(x* , -y* )∈ N^(gph(F), (x, y))}, ∀ y* Y* , (5)

Dc* F(x, y)(y* ):={x* X* :(x* , -y* )∈ Nc(gph(F), (x, y))}, ∀ y* Y* . (6)

命题1[6]X是Banach空间, AX的一个非空闭子集, f:XR̅.若aAfA上的局部极小值点, 则

0∈ cf(a)+Nc(A, a).

引理1[5] (Ekeland)设ε > 0, $\bar{x}$∈ X, f:XR是下有界下半连续的, 使得f($\bar{x}$)< infXf+ε .则对任意λ > 0, 存在zX, 使得:

(i) x̅-z< λ ;

(ii) z是函数xf(x)+ ελx-zX上的强极小元, 特别地

f(z)< f(x)+ ελx-z, ∀ xX\{z};

(iii) f(z)≤ f($\bar{x}$).

引理2[6]X是Banach空间, f:XR̅, $\bar{x}$∈ dom(f)且f在$\bar{x}$处是连续的.则:

(i) 对任意c> 0, 有T(epi(f), ($\bar{x}$, f($\bar{x}$)+c))=X× R;

(ii) N(epi(f), ($\bar{x}$, f($\bar{x}$)+c))={(0, 0)}.

引理3[6]X是Banach空间, f:XR̅是正常下半连续泛函及$\bar{x}$∈ dom(f).则:

(i) Tc(epi(f), ($\bar{x}$, f($\bar{x}$)))+{0}× R+=Tc(epi(f), ($\bar{x}$, f($\bar{x}$)));

(ii) N(epi(f), ($\bar{x}$, f($\bar{x}$)))⊆X* × (-R+).

2 主要结论及证明

假设X, Y为Banach空间, F:X→ → Y是闭的多值映射, ($\bar{x}$, $\bar{y}$)∈ gph(F), β , ε , δ , p∈ (0, +∞ ) .为了方便我们记:

B(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, δ ):=gph(F)∩ ((BX($\bar{x}$, δ )\ F-1($\bar{y}$))× BY($\bar{y}$, δ )), (7)

B(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, ε , δ ):={(x, y)∈ B(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, δ ):yPF(x)ε($\bar{y}$)}, (8)

Kβ ($\bar{x}$, $\bar{y}$):={(x, y)∈ X× Y: y-y̅< β x-x̅}, (9)

Cβp(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$):={(x, y)∈ X× Y: y-y̅< β d(x, F-1($\bar{y}$))p} , (10)

N(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, τ , δ ):={xBX($\bar{x}$, δ ):τ d(x, F-1($\bar{y}$))p> d($\bar{y}$, F(x))}. (11)

容易得到

B(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, ε , δ )∩ Cβp(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$)⊂{(x, y):xN(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, p, β , δ ), yBY($\bar{y}$, δ )∩ PF(x)ε($\bar{y}$)}.

定理1 设F是Banach空间X到Banach空间 Y中的闭多值映射, ($\bar{x}$, $\bar{y}$)∈ gph(F).若α , β , ε , δ , p∈ (0, +∞ ), 使得对任意 (x, y)∈ B(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$, ε , δ )∩ Cβp(F, $\bar{x}$, $\bar{y}$), 都有

α d(x, F-1($\bar{y}$))p-1d(0, Dc* F(x, y)( JYε(y-$\bar{y}$))), (12)

κ d(x, F-1($\bar{y}$))pd($\bar{y}$, F(x)), ∀ xBX($\bar{x}$, δ '). (13)

其中

κ := minα223p-1, β2p, δ2δ3p,   p(0, 1), minα2p, β2p, δ2δ3p,      p[1, +), δ ':= δ3.

证明 假设结论不成立, 则存在x0BX( x̅, δ ')及τ > 0, τ < κ 使得

d($\bar{y}$, F(x0))< τ d(x0, F-1($\bar{y}$))p. (14)

由下确界的定义, 存在y0F(x0)使得

d($\bar{y}$, F(x0))≤ y̅-y0< τ λ p, (15)

其中

λ :=d(x0, F-1($\bar{y}$)). (16)

由$\bar{x}$∈ F-1($\bar{y}$)和δ '的定义有

λ x0-x̅< δ '23δ . (17)

η ∈ (0, 1)充分小, 使得

4ηκλp-11-2ηκλp-1< ε , 4η κ λ p-1δ < ε ,

τ1-2τηλp-1< κ , 2τ η λ p-1< 1. (18)

X× Y空间中定义范数

(x, y)η= x+η y.

φ :X× Y→ [0, +∞ ),

φ (x, y):= y-y̅+δ gph(F)(x, y), ∀ (x, y)∈ X× Y,

φ 是下半连续且在($\bar{x}$, $\bar{y}$)处取得极小值, 且

φ ($\bar{x}$, $\bar{y}$)= inf(x, y)X×Yφ (x, y)=0.

由(15)知

φ (x0, y0)= y0-y̅< τ λ p= inf(x, y)X×Yφ (x, y)+τ λ p. (19)

由引理1, 存在($\bar{x}$, $\bar{y}$)∈ X× Y, 使得

x˙-x0+η y˙-y0< λ2, (20)

φ ( x˙, y˙)≤ φ (x, y)+ τλpλ2(x, y)-(x˙, y˙)η, ∀ (x, y)∈ X× Y, (21)

φ ( x˙, y˙)≤ φ (x0, y0)< τ λ p, (22)

所以( x˙, y˙)∈ gph(F).由(20)式知

x˙-x̅x˙-x0+ x0-x̅< λ2+δ '< δ'2+δ '= 3δ'2< δ , (23)

其中

x˙-x0< λ2= 12d(x0, F-1( y̅))≤ 12x0-x̅< δ'2. (24)

由(24)式及三角不等式知

λ2< d(x0, F-1( y̅))- x˙-x0d( x˙, F-1( y̅))≤ d(x0, F-1( y̅))+ x˙-x0< 32d(x0, F-1( y̅))= 3λ2. (25)

特别地, 有 x˙, x0F-1( y̅).结合(22)式知

φ ( x˙, y˙)= y˙-y̅< τ λ p=τ d(x0, F-1( y̅))p

τ min{ x0-x̅p, (2d( x˙, F-1( y̅)))p}≤ τ min{(δ ')p, 2p x˙-x̅p}.

τ < κ κ , δ '的取法知

τ (δ ')pκ (δ ')pκ δ3p= κδp3p

τ · 2pκ · 2pβ2p· 2p=β .

由此可知

y˙-y̅< min κδp3p, βd(x˙, F-1(y̅))p=min δ2, βd(x˙, F-1(y̅))p, (26)

所以( x˙, y˙)∈ Cβp(F, x̅, y̅), y˙F( x˙)∩ BY( y̅, δ ).

下证 y˙PF(x˙)ε( y̅).

任取yF( x˙), 则δ gph(F)( x˙, y)=0.由于

φ ( x˙, y˙)= y˙-y̅y-y̅+ 2τλpλ(x˙, y)-(x˙, y˙)ηy-y̅+ 2τηλpλy-y˙

y-y̅+ 2τηλpλ( y-y̅+ y̅-y˙)≤ 1+2τηλpλy-y̅+ 2τηλpλy̅-y˙,

y˙-y̅1+2τηλpλd( y̅, F( x˙))+ 2τηλpλy̅-y˙=d( y̅, F( x˙))+ 2τηλpλ(d( y̅, F( x˙))+ y̅-y˙). (27)

又由于

d( y̅, F( x˙))+ y̅-y˙≤ 2 y̅-y˙< 2δ (因为 y˙F( x˙)∩ BY( y̅, δ )),

结合(27)式知

y˙-y̅< d( y̅, F( x˙))+4τ η λ p-1δ < d( y̅, F( x˙))+ε , (28)

所以 y̅F( x˙).由(27)式及η 的取法知

y˙-y̅1-2τηλpλ1+2τηλpλd( y̅, F( x˙)),

y˙-y̅d(y̅, F(x˙))1+2τηλpλ1-2τηλpλ≤ 1+ 4τηλp-11-2τηλpλ< 1+ε ,

所以

y˙-y̅≤ (1+ε )d( y̅, F( x˙)). (29)

由(28), (29)式及 PF(x˙)ε( y̅)的定义, 可知 y˙PF(x˙)ε( y̅).由 x˙F-1 ( y̅)及 y˙F( x˙)∩ BY( y̅, δ )又知

( x˙, y˙)∈ B(F, x̅, y̅, ε , δ )∩ Cβp(F, x̅, y̅),

所以由定理1的假设可得

α d( x˙, F-1( y̅))p-1d(0, Dc* F( x˙, y˙)( JYε( y˙- y̅))). (30)

下证

α d( x˙, F-1( y̅))p-1> d(0, Dc* F( x˙, y˙)( JYε( y˙- y̅))).

由(25)式知

α d( x˙, F-1( y̅))p-1α3λ2p-1, p(0, 1), αλ2p-1, p[1, +).

由(21)式知

φ (x, y)+ τλpλ2(x, y)-(x˙, y˙)η

在 ( x˙, y˙)取得极小值, 则由命题1知

0∈ c ·-y̅+τλpλ2(·, ·)-(x˙, y˙)η( x˙, y˙)+Nc(gph(F), ( x˙, y˙))⊂

c( ·-y̅)( x˙, y˙)+c τλpλ2(·, ·)-(x˙, y˙)η( x˙, y˙)+Nc(gph(F), ( x˙, y˙))=

(0, JY( y˙- y̅))+Nc(gph(F), ( x˙, y˙))+ 2τλPλ( BX* × η BY* ),

则存在x* BX* , y* BY* z* JY( y˙- y̅)使得

-2τλpx* λ, -2τηλpy* λ-z* Nc(gph(F), ( x˙, y˙)).

由(25)式知d( x˙, F-1( y̅))> 0, y˙y̅, z* =1.故

2τηλp-1y* +z* z* -2τ η λ p-1 y* ≥ 1-2τ η λ p-1> 0.

μ * = -2τλpx* 2τηλp-1y* +z* , -ν * =- 2τηλp-1y* +z* 2τηλp-1y* +z* ,

则有

(μ * , -ν * )∈ Nc(gph(F), ( x˙, y˙)),

ν* -z* = 2τηλp-1y* +z* 2τηλp-1y* +z* -z* = (2τηλp-1y* +z* )-z* 2τηλp-1y* +z* 2τηλp-1y* +z*

2τηλp-1+2τηλp-11-2τηλp-1= 4τηλp-11-2τηλp-1< ε ,

所以ν * JYε( y˙- y̅).则有

μ * Dc* F( x˙, y˙)(ν * )⊂ Dc* F( x˙, y˙)( JYε( y˙- y̅)),

μ* = 2τλp-1x* 2τηλp-1+z* 2τλp-11-2τηλp-1< 2κ λ p-1.

又由(25)式及λ :=d(x0, F-1( y̅))有

d(0, Dc* F( x˙, y˙)( JYε( y˙- y̅)))≤ μ* < 2κ λ p-1< 223p-1κd(x˙, F-1(y̅))p-1, p(0, 1), 2pκd(x˙, F-1(y̅))p-1, p[1, +),

所以

α d( x˙, F-1( y̅))p-1> d(0, Dc* F( x˙, y˙)( JYε( y˙- y̅))).

证毕.

推论1 若( x̅, y̅)∈ gph(F), α , β , ε , δ ∈ (0, +∞ )及p∈ [1, +∞ )使得

α d(x, F-1( y̅))p-1d(0, Dc* F(x, y)( JYε(y- y̅))), ∀ (x, y)∈ B(F, x̅, y̅, ε , δ )∩ Kβ ( x̅, y̅),

其中B(F, x̅, y̅, ε , δ )和Kβ ( x̅, y̅)分别是由(8)和(9)式所定义.则

κ d(x, F-1( y̅))pd( y̅, F(x)), ∀ xBX( x̅, δ '),

其中

κ =min α2p, β2p, δ2δ3p, 123p, δ '=min δ3, 13.

证明 令 δ˙:=min{1, δ }, 取(x, y)∈ B(F, x̅, y̅, ε , δ˙)∩ Cβp(F, x̅, y̅), 则由

B(F, x̅, y̅, ε , δ˙)⊂B(F, x̅, y̅, ε , δ )

(x, y)∈ B(F, x̅, y̅, ε , δ ).

又因为(x, y)∈ Cβp(F, x̅, y̅), 即

y-y̅< β d(x, F-1( y̅))p.

又因为d(x, F-1( y̅))< x-x̅, 同时当p≥ 1时有

y-y̅< β x-x̅p.

因为

x-x̅< δ˙≤ 1, y-y̅< β x-x̅,

所以

(x, y)∈ B(F, x̅, y̅, ε , δ )∩ Kβ ( x̅, y̅),

从而

B(F, x̅, y̅, ε , δ˙)∩ Cβp(F, x̅, y̅)⊂B(F, x̅, y̅, ε , δ )∩ Kβ ( x̅, y̅).

由定理1(用 δ˙代替δ )可知

κ d(x, F-1( y̅))pd( y̅, F(x)), ∀ xBX( x̅, δ ').

证毕.

推论2 若( x̅, y̅)∈ gph(F), α , β , ε , p∈ (0, +∞ ) , 使得对任意(x, y)∈ Cβp(F, x̅, y̅), xF-1( y̅), yPF(x)ε( y̅), 有

α d(x, F-1( y̅))p-1d(0, Dc* F(x, y)( JYε(y- y̅))),

κ d(x, F-1( y̅))pd( y̅, F(x)), ∀ xBX( x̅, δ ').

关于度量次正则性的研究, Gfrerer[12]引入限制集合 Cr0F( x̅, y̅):(ν , μ * )∈ Cr0F( x̅, y̅)当且仅当(ν , μ * )∈ Y× X* , 存在序列{tk}⊂(0, +∞ ), {(μ k, νk* )}⊂SX× SY* 及{(ν k, μk* )}⊂Y× X* , 满足

{ μk* , - νk* }∈ N˙(gph(F), ( x̅+tkμ k, y̅+tkν k)) , ∀ k∈ N.

tk→ 0, (ν k, μk* )→ (ν , μ * ).

Gfrerer[12]证明了如下度量次正则性的充分条件:F是Asplund空间X到Asplund空间Y中的闭多值映射, 若(0, 0)∉ Cr0F( x̅, y̅), 则F在( x̅, y̅)处是度量次正则的.设β 0∈ (0, +∞ ), 对更一般的p阶Hö lder度量次正则性, 我们利用下面集合CcF( x̅, y̅, p)和CcF( x̅, y̅, p, β 0):

(i) (ν , μ * )∈ CcF( x̅, y̅, p) 当且仅当(ν , μ * )∈ Y× X* , 且存在序列{tk}⊂(0, +∞ ), {(μ k, νk* )}⊂SX× SY* , {(ν k, μk* )}⊂Y× X* 满足

x̅+tkμ kF-1( y̅+ tkpν k)\F-1( y̅),

( μk* , - νk* )∈ Nc(gph(F), ( x̅+tkμ k, y̅+ tkpν k)), ∀ k∈ N, (31)

tk→ 0, νk, μk* d(x̅+tkμk, F-1(y̅))p-1→ (ν , μ * ),

< νk* , νkνk> → 1, tkpνkd(y̅, F(x̅+tkμk))→ 1. (32)

(ii) μ * CcF( x̅, y̅, p, β 0)当且仅当μ * X* 且存在序列{tk}⊂(0, +∞ ), {(μ k, νk* )}⊂SX× SY* , {(ν k, μk* )}⊂Y× X* 满足(31)式,

νk< β0d(x̅+tkμk, F-1(y̅))ptkp, ∀ k∈ N,

tk→ 0, μk* d(x̅+tkμk, F-1(y̅))p-1μ * ,

< νk* , νkνk> → 1, tkpνkd(y̅, F(x̅+tkμk))→ 1. (33)

我们有下面结论:

定理2 设F为Banach空间X到Banach空间Y中的闭多值映射, ( x̅, y̅)∈ gph(F), p, β 0∈ (0, +∞ ).假设下列(a)和(b)中的任何一个成立:

(a) (0, 0)∉Cc F( x̅, y̅, p);

(b) 0∉Cc F( x̅, y̅, p, β 0).

F在( x̅, y̅)处是p阶Hö lder度量次正则的.

证明 先假设(a)成立.由定理1, 需要证明存在α , β , ε , δ ∈ (0, +∞ )使得(12)式成立.反之假设对任意α , β , ε , δ ∈ (0, +∞ ), (12)式都不成立, 则取α =β =ε =δ = 1κ, κ > 0, 则存在

(xk, yk)∈ B F, x̅, y̅, 1κ, 1κC1κp(F, x̅, y̅),

使得

1κd(xκ , F-1( y̅))p-1> d(0, Dc* F(xκ , yκ )( JY1κ(yκ - y̅))). (34)

由(8)和(10)式有

xκ BX x̅, 1κ, yκ PF(xκ)1κ( y̅),

μκ* Dc* F(xκ , yκ )( JY1κ(yκ - y̅)), (35)

使得

yκ-y̅< 1κd(xκ , F-1( y̅))p, μκ* < 1κd(xκ , F-1( y̅))p-1.

νκ* JY1κ(yκ - y̅), yκ* JY(yκ - y̅),

使得

μκ* Dc* F(xκ , yκ )( νκ* ), νκ* -yκ* < 1κ.

tκ := xκ-x̅, μ κ := xκ-x̅tkν κ := yκ-y̅tκp, 则

0< tκ < 1κ, (μ κ , νκ* )∈ SX× SY* , xκ = x̅+tκ μ κ , yκ = y̅+ tκpν κ ,

d( y̅, F(xκ ))≤ tκpνκ= y̅-yk< 1+1κd( y̅, F(xκ )),

νκ= yκ-y̅tκp< d(xκ, F-1(y̅))pκtκp1κ→ 0(k→ +∞ ),

μκ* d(x̅+tκμκ, F-1(y̅))p-1)< 1κ→ 0(k→ +∞ ).

由< yκ* , νκνκ> =1, 1- 1κ< < νκ* , νκνκ> < 1+ 1κCc(F, x̅, y̅, p)的定义知(0, 0)∈ Cc(F, x̅, y̅, p), 这与(a)矛盾.

下面假设(b)成立.由定理1知, 我们需要证存在α , δ ∈ (0, +∞ )使得(12)式成立且β :=β 0.假设(12)式不成立, 对任意自然数κ > 0, 取 α =ε =δ = 1κ, β :=β 0, 则存在

(xκ , yκ )∈ B F, x̅, y̅, 1κ, 1κCβ0p(F, x̅, y̅),

使得

1κd(xκ , F-1( y̅))p-1> d(0, Dc* F(xκ , yκ )( JY1κ(yκ - y̅))).

由(8)和(10)式有

xκ BX x̅, 1κ, yκ PF(xκ)1κ( y̅).

μκ* Dc* F(xκ , yκ )( JY1κ(yκ - y̅)),

使得

yκ-y̅< 1β0d(xκ , F-1( y̅))p, μκ* < 1κd(xκ , F-1( y̅))p-1.

νκ* JY1κ(yκ - y̅), yκ* JY(yκ - y̅),

使得

μκ* Dc* F(xκ , yκ )( νκ* ), νκ* -yκ* < 1κ.

tκ := xκ-x̅, μ κ := xκ-x̅tkν κ := yκ-y̅tκp, 则

0< tκ < 1κ, (μ κ , ν κ )∈ SX× SY* , (ν k, μk* )∈ Y× X* , xκ = x̅+tκ μ κ , yκ = y̅+ tκpν κ ,

x̅+tκ μ κ F-1( y̅+ tκpν κ )\F-1( y̅),

( μk* , - νk* )∈ Nc(gph(F), ( x̅+tκ μ κ , y̅+ tκpν κ )),

d( y̅, F(xκ ))≤ tκpνκ= y̅-yk< 1+1κd( y̅, F(xκ )),

νκ= yκ-y̅tκp< β0d(xκ, F-1(y̅))ptκp.

< yκ* , νκνκ> =1, 1- 1κ< < νκ* , νκνκ> < 1+ 1κ,

μκ* d(x̅+tκμκ, F-1(y̅))p-1)< 1κ→ 0(k→ +∞ ),

Cc(F, x̅, y̅, p, β 0)的定义知0∈ Cc(F, x̅, y̅, p, β 0), 这与(b)矛盾.证毕.

作为应用, 我们考虑下面Hö lder误差界问题.设X是Banach空间, g:XR∪ {+∞ }是正常下半连续函数, 我们把定理1的结果应用到不等式系统

(IE)g(x)≤ 0.

命题2 设X是Banach空间, g:XR∪ {+∞ }是正常下半连续函数, S:={xX:g(x)≤ 0}, x̅S, 并且存在α , γ , ε , δ , β ∈ (0, +∞ ), 使得

α d(x, S)γ -1d(0, cg(x)), ∀ xBX( x̅, δ ), 0< g(x)< β d(x.S)γ , (36)

则不等式(IE)在 x̅处具有γ 阶的局部Hö lder误差界, 更确切地为

κ d(x, S)γ ≤ [g(x)]+, ∀ xBX( x̅, δ '), (37)

其中

κ := minα223γ-1, β2γ, δ2δ3γ,    γ(0, 1), minα2γ, β2γ, δ2δ3γ,       γ[1, +).δ '= δ3.

证明 令Φ g:X→ → R使得gph(Φ g)=epi(g), 即

Φ g(x):=[g(x), +∞ ), ∀ xX.

于是S= Φg-1(0), 且

d(0, Φ g(x))=d(0, [g(x), +∞ ))=max{g(x), 0}=[g(x)]+, ∀ xX.

则(37)式等价于

κ d(x, Φg-1(0))γ d(0, Φ g(x)), ∀ xBX( x̅, δ '),

所以由定理1, 我们只需要证明

α d(x, Φg-1(0))γ -1d(0, Dc* Φ g(x, y)( JYε(y))), ∀ (x, y)∈ B(Φ g, x̅, 0, ε , δ )∩ Cβγ(Φ g, x̅, 0).

任取(x, y)∈ B(Φ g, x̅, 0, ε , δ )∩ Cβγ(Φ g, x̅, 0).由(x, y)∈ B(Φ g, x̅, 0, ε , δ )得

xBX( x̅, δ )\ Φg-1(0),

xBX( x̅, δ )且0< g(x)≤ y.再由(x, y)∈ Cβγ(Φ g, x̅, 0)得

g(x)≤ y< β d(x, Φg-1(0))γ =β d(x, S)γ .

故由(36)式知

α d(x, Φg-1(0))γ -1d(0, cg(x)), 其中记Y:=R.

又因y> 0, 故{1}⊂ JYε(y)⊂{-1, 1}.

注意到x* cg(x)当且仅当(x* , -1)∈ Nc(epi(g), (x, g(x))), 有

Dc* Φ g(x, g(x))(1)=c g(x).

由引理3(ii)知

dom( Dc* Φ g(x, y))⊂[0, +∞ ), ∀ (x, y)∈ epi(g).

又由引理2(ii)知, 当g(x)< y时, 有

dom( Dc* Φ g(x, y))⊂{0}.

所以

Dc* Φ g(x, y)( JYε(y))= cg(x),     y=g(x).ϕ,       y> g(x).

从而α d(x, Φg-1(0))γ -1d(0, c g(x))≤ d(0, Dc* Φ g(x, y)( JYε(y))).

证毕.

The authors have declared that no competing interests exist.

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