具有交错扩散和保护区域的Ivlev型捕食模型的共存解

蔺娜娜 张丽娜

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具有交错扩散和保护区域的Ivlev型捕食模型的共存解

    作者简介: 蔺娜娜(1995−),女,甘肃人,硕士生,主要从事偏微分方程理论及应用方面的研究. E-mail:280376279@qq.com;
    通讯作者: 张丽娜, linazhang@nwnu.edu.cn
  • 中图分类号: O175.26

Coexistence solutions of a Ivlev-type predator-prey model with cross-diffusion and a protection zone

    Corresponding author: ZHANG Li-na, linazhang@nwnu.edu.cn
  • CLC number: O175.26

  • 摘要: 主要研究一个食饵具有保护区域的Ivlev型捕食模型的平衡态问题. 应用特征值理论和分歧理论讨论共存态的存在性. 结果表明,交错扩散有助于物种的共存.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-04-26
  • 录用日期:  2019-07-19
  • 网络出版日期:  2019-11-29
  • 刊出日期:  2020-03-01

具有交错扩散和保护区域的Ivlev型捕食模型的共存解

    作者简介:蔺娜娜(1995−),女,甘肃人,硕士生,主要从事偏微分方程理论及应用方面的研究. E-mail:280376279@qq.com
    通讯作者: 张丽娜, linazhang@nwnu.edu.cn
  • 西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070

摘要: 主要研究一个食饵具有保护区域的Ivlev型捕食模型的平衡态问题. 应用特征值理论和分歧理论讨论共存态的存在性. 结果表明,交错扩散有助于物种的共存.

English Abstract

  • 本文讨论如下具有保护区域的Ivlev型捕食交错扩散模型

    $\qquad \left\{ \begin{array}{l} {u_t} = \Delta \left[ {\left( {1 + k\rho \left( x \right)v} \right)u} \right] + u\left( {\lambda - u} \right) - b\left( x \right)v\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}} \right),\left( {x,t} \right) \in \Omega \times \left( {0,\infty } \right), \\ {v_t} = \Delta v + v\left[ {\mu - v + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}} \right)} \right],\;\; \left( {x,t} \right) \in \Omega \backslash {\overline \Omega _0} \times \left( {0,\infty } \right), \\ \dfrac{{\partial u}}{{\partial \nu }} = 0,\;\;\; \left( {x,t} \right) \in \partial \Omega \times \left( {0,\infty } \right), \\ \dfrac{{\partial v}}{{\partial \nu }} = 0,\;\; \left( {x,t} \right) \in \partial \left( {\Omega \backslash {{\overline \Omega }_0}} \right) \times \left( {0,\infty } \right), \\ u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right),\;\; x \in \Omega ,\;\; v\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right),\;\; x \in \Omega \backslash {\overline \Omega _0}, \\ \end{array} \right. $

    其中 $\Omega $${{\bf R}^n}$ 中边界光滑的有界区域,${\Omega _0}$$\Omega $ 的边界光滑的子集;$\nu $ 是边界上的单位外法向量;$\lambda $$r$$c$ 是正常数,$\mu $ 是常数;$\rho $$b$$\Omega \backslash {\overline \Omega _0}$ 内为正常数在 ${\Omega _0}$ 内为零;$u$$v$ 分别表示食饵和捕食者种群的密度函数;$r$ 表示捕食者捕获食饵的能力;$\lambda $$\mu $ 分别是 $u$$v$ 的内禀增长率;$b(x)$ 是捕食率.

    模型(1)中,$1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}$ 为Ivlev型功能反应函数,最早由文献[1]提出,此功能反应函数对无脊椎动物广泛适用. $k\Delta [\rho (x)vu]$ 为交错扩散项,此类交错扩散项由Shigesada等在文献[2]中提出,用来描述生物界中的种群分离现象. 本文中我们假设 $k$ 为正常数,这表示食饵向捕食者密度减少的方向流动,生态上描述的是食饵躲避捕食者以逃避被捕食的情形. 目前,对带Ivlev反应项的捕食模型的研究多集中于常微分模型[3-4]以及含有一般扩散的弱耦合反应扩散模型[5-6]. 据我们所知,对强耦合的反应扩散模型(1)的研究结果相对较少.

    模型(1)中,${\Omega _0}$ 表示一个食饵能够自由进出的保护区域. 捕食者不能进入 ${\Omega _0}$ 而只能在 ${\Omega _0}$ 以外捕食食饵. Du等在文献[7-9]中分别研究了保护区域对Lotka-Volterra型捕食模型、Leslie型捕食模型、Holling II型捕食模型的影响. 然而,据我们所知,具有保护区域的Ivlev型交错扩散捕食模型尚未得到研究.

    因此,本文中我们关注保护区域和交错扩散对模型(1)的影响. 特别地,我们关注系统(1)的稳态正解的存在性,生物上这表示2个物种的共存. 令 ${\Omega _1} = \Omega \backslash {\overline \Omega _0}$$U = \left( {1 + k\rho \left( x \right)v} \right)u$,则模型(1)的平衡态问题可以表述为

    $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \Delta U + \dfrac{U}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}\left( {\lambda - \dfrac{U}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}} \right) - b\left( x \right)v\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU}}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}}}} \right) = 0,x \in \Omega , \\ \Delta v + v\left[ {\mu - v + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU}}{{1 + kv}}}}} \right)} \right] = 0,\;\; x \in {\Omega _1}, \\ \dfrac{{\partial U}}{{\partial \nu }} = 0,\;\; x \in \partial \Omega ,\;\; \dfrac{{\partial v}}{{\partial \nu }} = 0,\;\;\; x \in \partial {\Omega _1}, \\ \end{array} \right.$

    其中,

    $\qquad\rho \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1 ,x \in \Omega \backslash \overline{\Omega }_0,\\ 0 ,x \in {\Omega }_0, \end{array} \right.\;\;\;\;\;\; b\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \beta , x \in \Omega \backslash \overline{\Omega }_0,\\ 0, x \in {\Omega}_0, \end{array} \right. $

    这里 $\beta $ 是一个正常数,易见 $\left( {u,v} \right)$ 是系统(1)的正稳态解当且仅当 $\left( {U,v} \right)$ 是系统(2)的正解. 所以下面只研究系统(2).

    本文第1节运用分歧理论证明系统(2)从半平凡解曲线产生的分歧正解的存在性. 第2节研究共存区域对交错扩散系数 $k$ 和保护区域 ${\Omega _0}$ 的依赖性.

    • 首先我们介绍下述引理1,此引理在证明共存解的存在性时起重要作用.

      引理1 设 $\mu > 0$N是正整数,对任意给定的 $r$$k$${\Omega _0}$,存在唯一的 ${\lambda ^ * }\left( \mu \right) \in \left( {0,\beta r\mu } \right)$,使得 $\lambda _1^N\left( {\dfrac{{rb\left( x \right)\mu \!-\! {\lambda ^ * }}}{{1 \!+\! k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right)\! =\! 0.$ 此外, ${\lambda ^ * }\left( \mu \right)$ 关于 $\mu $ 连续、严格单调递增,并且 $\mathop {\lim }\limits_{\,\mu \to 0} {\lambda ^ * }\left( \mu \right) = 0$$\mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } {\lambda ^ * }\left( \mu \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right)$,其中 $\lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right)$$ - \Delta $ 算子在区域 ${\overline \Omega _0}$ 上带有齐次Dirichlet边界条件的主特征值.

      证明 由于特征值 $\lambda _1^N\left( {q,\Omega } \right)$ 关于 $q$ 连续且严格单调递增,而函数 $q\left( x \right) = \dfrac{{rb\left( x \right)\mu - \lambda }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}$ 关于 $\lambda $ 连续且严格单调递减,所以函数

      $\qquad\lambda \to \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - \lambda }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right):\left( {0,\infty } \right) \to {\rm{R}}$

      连续且严格单调递减. 又由于 $\lambda _1^N\left( {0,\Omega } \right) = 0$,所以

      $\qquad\lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) > 0,\;\; \;\; \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - \beta r\mu }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) < 0.$

      由连续函数的介值定理知,对任意的 $\mu > 0$ 存在唯一的 ${\lambda ^ * } = {\lambda ^ * }\left( \mu \right) \in \left( {0,\beta r\mu } \right)$,使得 $\lambda _1^N\left( {\dfrac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) = 0.$ 又由于函数

      $\qquad\mu \to \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - \lambda }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right):\left( {0,\infty } \right) \to {\rm{R}}$

      连续且严格单调递增,所以 ${\lambda ^ * }\left( \mu \right)$ 关于 $\mu $ 连续且严格单调递增,并且 $\mathop {\lim }\limits_{\mu \to 0} {\lambda ^ * }\left( \mu \right) = 0$.

      最后,证明 $\mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } {\lambda ^ * }\left( \mu \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right)$. 由特征值的极小性知,

      $\qquad \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) = \mathop {\inf }\limits_{\phi \in {H^1}\left( \Omega \right)} \int_\Omega {\left( {{{\left| {\nabla \phi } \right|}^2} + \frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}{\phi ^2}} \right)} {\rm{d}}x=0,$

      其中 $\displaystyle\int_\Omega {{\phi ^2}} {\rm{d}}x = 1$. 令 ${\phi _1}$ 满足

      $\qquad - \Delta {\phi _1} = \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right){\phi _1},\;\; x \in {\Omega _0},\;\; {\phi _1} = 0,\;\; x \in \partial {\Omega _0}.$

      并按如下方式进行延拓

      $\qquad{\tilde \phi _1} \equiv {\phi _1},\;\; x \in {\Omega _0},\;\; {\tilde \phi _1} \equiv 0,\;\; x \in \Omega \backslash {\overline \Omega _0}.$

      在(4)式中取 $\phi = {\tilde \phi _1}$,有

      $\qquad 0 \leqslant \int_\Omega {\left( {{{\left| {\nabla {{\tilde \phi }_1}} \right|}^2} + \frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}{{\tilde \phi }_1}^2} \right)} {\rm{d}}x = \int_{{\Omega _0}} {\left( {{{\left| {\nabla {\phi _1}} \right|}^2} - {\lambda ^ * }{\phi _1}^2} \right){\rm d}x = \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right) - {\lambda ^ * }\left( \mu \right)} .$

      从而对任意的 $\mu > 0$,有 ${\lambda ^ * }\left( \mu \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right)$. 由 ${\lambda ^ * }\left( \mu \right)$ 关于 $\mu $ 连续且严格单调递增知,$\mathop {\lim }\limits_{\;\mu \to \infty } {\lambda ^ * }\left( \mu \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right)$. 证毕.

      下面以 $\lambda $ 为分歧参数,应用局部分歧理论[10], 讨论系统(2)的2个半平凡解曲线

      $\qquad{\Gamma _U} = \left\{ {\left( {\lambda ;U,v} \right) = \left( {\lambda ;\lambda ,0} \right):\lambda > 0} \right\},\;\; \;\; {\Gamma _v} = \left\{ {\left( {\lambda ;U,v} \right) = \left( {\lambda ;0,\mu } \right):\lambda > 0,\mu > 0} \right\}.$

      对任意的 $p > N$,记

      $\qquad{X_1} = \left\{ {\left( {\phi ,\psi } \right):\phi \in {W^{2,p}}\left( \Omega \right),\psi \in {W^{2,p}}\left( {{\Omega _1}} \right),{\partial _\nu }\phi {|_{\partial \Omega }} = {\partial _\nu }\psi {|_{\partial {\Omega _1}}} = 0} \right\},\;\; \;\; {X_2} = {L^p}\left( \Omega \right) \times {L^p}\left( {{\Omega _1}} \right).$

      定义

      $\qquad{\phi _ * } = \left( { - \Delta + {\lambda _ * }} \right)_\Omega ^{ - 1}\left[ {{\lambda _ * }^2k\rho \left( x \right) + b\left( x \right)\left( {{{\rm e}^{ - r{\lambda _ * }}} - 1} \right)} \right],$

      其中 ${\lambda _ * } = - \dfrac{1}{r}\ln \dfrac{{c + \mu }}{c}$$\mu \in \left( { - c,0} \right)$. 令 ${\phi ^ * }$ 为特征值问题

      $ \qquad - \Delta {\phi ^ * } + \frac{{ - {\lambda ^ * } + rb\left( x \right)\mu }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}{\phi ^ * } = 0,\;\; x \in \Omega ,\;\; {\partial _\nu }{\phi ^ * } = 0,\;\; x \in \partial \Omega $

      的正的主特征函数,

      $\qquad {\psi ^ * }{\rm{ = }}\left( { - \Delta + \mu } \right)_{{\Omega _1}}^{ - 1}\left( {\frac{{cr\mu {\phi ^ * }}}{{1 + k\mu }}} \right).$

      首先我们讨论局部分支解曲线的存在性,有以下结论成立.

      定理1 (1) $\left( {{\lambda _ * };{\lambda _ * },0} \right)$${\Gamma _U}$ 上唯一的分歧点,且在 $\left( {{\lambda _ * };{\lambda _ * },0} \right)$ 的邻域内存在系统(2)的正解曲线

      $\qquad {\Gamma _ * } = \left\{ {\left( {\lambda ;U,v} \right) = \left( {\lambda \left( s \right);\lambda + s\left( {{\phi _ * } + \hat U\left( s \right)} \right),s\left( {1 + \hat v\left( s \right)} \right)} \right):s \in \left( {0,\hat \delta } \right)} \right\},$

      其中 $\hat \delta > 0$ 充分小,$\lambda \left( s \right)$$\hat U\left( s \right)$$\hat v\left( s \right)$${C^1}$ 曲线,且满足 $\lambda \left( 0 \right) = {\lambda _ * }$$\hat U\left( 0 \right) = \hat v\left( 0 \right) = 0$$\displaystyle\int_{{\Omega _1}} {\hat v\left( s \right)} {\rm{d}}x = 0$.

      (2) $\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right)$${\Gamma _v}$ 上唯一的分歧点,且在 $\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right)$ 的邻域内存在系统(2)的正解曲线

      $\qquad{\Gamma ^ * } = \left\{ {\left( {\lambda ;U,v} \right) = \left( {\lambda \left( s \right);s\left( {{\phi ^ * } + \tilde U\left( s \right)} \right),\mu + s\left( {{\psi ^ * } + \tilde v\left( s \right)} \right)} \right):s \in \left( {0,\tilde \delta } \right)} \right\},$

      其中 $\tilde \delta > 0$ 充分小,$\lambda \left( s \right)$$\tilde U\left( s \right)$$\tilde v\left( s \right)$${C^1}$ 曲线,且满足 $\lambda \left( 0 \right) = {\lambda ^ * }$$\tilde U\left( 0 \right) = \tilde v\left( 0 \right) = 0$$\displaystyle\int_\Omega {\tilde U\left( s \right){\phi ^ * }} {\rm{d}}x = 0$. 这里 ${\lambda ^ * }$$\lambda _1^N\left( {\dfrac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) = 0$ 确定.

      证明 (1) 令 $z = U - \lambda $ 并且定义映射 $F:{\bf R} \times {X_1} \to {X_2}:$

      $\qquad F\left( {\lambda ;z,v} \right) = \left( \begin{array}{l} \Delta z + \dfrac{{z + \lambda }}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}\left( {\lambda - \dfrac{{z + \lambda }}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}} \right) - b\left( x \right)v\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{r\left( {z + \lambda } \right)}}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}}}} \right) \\ \Delta v + v\left[ {\mu - v + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{r\left( {z + \lambda } \right)}}{{1 + kv}}}}} \right)} \right] \\ \end{array} \right).$

      $F$$\left( {\lambda ;0,0} \right)$ 处的Fréchet导算子为

      $\qquad {F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {\lambda ;0,0} \right)\left[ {\phi ,\psi } \right] = \left( \begin{array}{l} \Delta \phi - \lambda \phi {\rm{ + }}{\lambda ^2}k\rho \left( x \right)\psi + b\left( x \right)\left( {{{\rm{e}}^{ - r\lambda }} - 1} \right)\psi \\ \Delta \psi + \left[ {\mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - r\lambda }}} \right)} \right]\psi \\ \end{array} \right).$

      根据Krein-Rutman定理[11]知,当且仅当 $\lambda = {\lambda _ * }$ 时,${F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {\lambda ;0,0} \right)\left[ {\phi ,\psi } \right] = \left( {0,0} \right)$ 有一个解 $\psi > 0$. 因此,$\left( {{\lambda _ * };0,0} \right)$${\Gamma _U}$ 上唯一的分歧点且 ${\rm{Ker }}{F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right) = {\rm{span}}\left\{ {\left( {{\phi _ * },1} \right)} \right\}$. 故 $\dim {\rm{Ker }}{F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right) = 1$. 由Fredholm二择一定理[12]知,

      $\qquad {\rm{Range }}{F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right) = \left\{ {\left( {\phi ,\psi } \right) \in {X_2}:\int_{{\Omega _1}} {\psi {\rm{d}}x = 0} } \right\}.$

      所以,${\rm{codim}} \;{\rm{Range }}{F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right) = 1$. 此外,

      $\qquad{F_{\lambda \left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right)\left[ {{\phi _ * },1} \right] = \left( \begin{array}{l} - {\phi _ * } + 2k\rho \left( x \right){\lambda _ * } - rb\left( x \right){{\rm e}^{ - r{\lambda _ * }}} \\ cr{{\rm e}^{ - r{\lambda _ * }}} \\ \end{array} \right) \notin {\rm{Range}}{F_{\left( {z,v} \right)}}\left( {{\lambda _ * };0,0} \right).$

      因此, 由局部分支定理得到结论(1).

      (2) 定义映射 $G:{\bf R} \times {X_1} \to {X_2}:$

      $\qquad G\left( {\lambda ;U,v} \right) = \left( \begin{array}{l} \Delta U + \dfrac{U}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}\left( {\lambda - \dfrac{U}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}} \right) - b\left( x \right)v\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU}}{{1 + k\rho \left( x \right)v}}}}} \right) \\ \Delta v + v\left[ {\mu - v + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU}}{{1 + kv}}}}} \right)} \right] \\ \end{array} \right).$

      $G$$\left( {\lambda ;0,\mu } \right)$ 处的Fréchet导算子为

      $\qquad {G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {\lambda ;0,\mu } \right)\left[ {\phi ,\psi } \right] = \left( \begin{array}{l} \Delta \phi + \dfrac{{\lambda - rb\left( x \right)\mu }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}\phi \\ \Delta \psi - \mu \psi + \dfrac{{cr\mu }}{{1 + k\mu }}\phi \\ \end{array} \right).$

      根据Krein-Rutman定理[11]知,当且仅当 $\lambda = {\lambda ^ * }$ 时,${G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {\lambda ;0,\mu } \right)\left[ {\phi ,\psi } \right] = \left( {0,0} \right)$ 有一个解 $\phi > 0$. 因此,$\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right)$${\Gamma _v}$ 上唯一的分歧点且 ${\rm{Ker }}{G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right) = {\rm{span}}\left\{ {\left( {{\phi ^ * },{\psi ^ * }} \right)} \right\}$. 故 $\dim {\rm{Ker }}{G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right) = 1$. 此外,得到

      $\qquad {\rm{ Range }}{G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right) = \left\{ {\left( {\phi ,\psi } \right) \in {X_2}:\int_\Omega {\phi {\phi ^ * }{\rm{d}}x = 0} } \right\}.$

      由上式可以推出

      $\qquad {G_{\lambda \left( {U,v} \right)}}\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right)\left[ {{\phi ^ * },{\psi ^ * }} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{\phi ^ * }}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}}\\ 0 \end{array}} \right) \notin {\rm{Range }}{G_{\left( {U,v} \right)}}\left( {{\lambda ^ * };0,\mu } \right).$

      因此, 由局部分歧定理得到结论(2). 证毕.

      局部分支定理仅给出了分支点附近分支正解曲线的刻画,当分支正解曲线远离分支点时需要进行全局分支结构的分析[12]. 为此,我们需要得到正稳态解的一个先验估计.

      引理2 设 $\left( {U,v} \right)$ 是系统(2)的任意正解,则

      $\qquad 0 < U\left( x \right) \leqslant \lambda \left[ {1 + k\left( {\mu + c} \right)} \right]{\kern 1pt} {\kern 1pt},x \in \overline \Omega ,\;\;\;\;\;0 < v\left( x \right) \leqslant \mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - r\lambda }}} \right),\;\; x \in {\overline \Omega _1}.$

      $\mu \geqslant 0$ 时,对任意的 $x \in {\overline \Omega _1}$$v\left( x \right) > \mu $.

      证明 令 $U\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\max }\limits_{x \in \overline \Omega } U\left( x \right)$,由最大值原理得

      $\qquad \frac{{U\left( {{x_0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right)}}\left( {\lambda - \frac{{U\left( {{x_0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right)}}} \right) - b\left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right)\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU\left( {{x_0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right)}}}}} \right) \geqslant 0,$

      $\qquad U\left( {{x_0}} \right) \leqslant \lambda \left( {1 + k\rho \left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right)} \right) \leqslant \lambda \left( {1 + k\mathop {\max }\limits_{x \in {{\overline \Omega }_1}} v\left( x \right)} \right) . $

      $v\left( {{x_1}} \right) = \mathop {\max }\limits_{x \in {{\overline \Omega }_1}} v\left( x \right)$,则系统(2)的第2个方程满足

      $\qquad v\left( {{x_1}} \right)\left[ {\mu - v\left( {{x_1}} \right) + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU\left( {{x_1}} \right)}}{{1 + kv\left( {{x_1}} \right)}}}}} \right)} \right] \geqslant 0. $

      从而,

      $\qquad v\left( {{x_1}} \right) \leqslant \mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU\left( {{x_1}} \right)}}{{1 + kv\left( {{x_1}} \right)}}}}} \right).$

      把(9)式代入(10)式得 $v\left( {{x_1}} \right) \leqslant \mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - r\lambda }}} \right)$. 所以,对任意的 $x \in {\overline \Omega _1}$,有 $v\left( x \right) \leqslant \mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - r\lambda }}} \right)$. 因此,对任意的 $x \in \overline \Omega $,有 $0 < U\left( x \right) \leqslant \lambda \left[ {1 + k\left( {\mu + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - r\lambda }}} \right)} \right)} \right] \leqslant \lambda \left[ {1 + k\left( {\mu + c} \right)} \right]$. 另一方面,

      $ \qquad - \Delta v = v\left[ {\mu - v + c\left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{{rU}}{{1 + kv}}}}} \right)} \right] > v\left( {\mu - v} \right),\;\; x \in {\Omega _1},\;\; {\partial _\nu }v = 0\;\; x \in \partial {\Omega _1}.$

      由比较原理得,如果 $\mu \geqslant 0$ 时,则当 $x \in {\overline \Omega _1}$ 时,$v\left( x \right) > \mu $. 证毕.

      类似于文献[13]定理2.2的证明过程,通过标准的全局分支的讨论,可以得到如下定理2,证明过程略.

      定理2 (1) 若 $\mu \geqslant 0$,则当 $\lambda > {\lambda ^ * }\left( \mu \right)$ 时,系统(2)至少存在一个正解.

      (2) 若 $\mu < 0$,则当 $\lambda > {\lambda _ * }\left( \mu \right)$ 时,系统(2)至少存在一个正解.

    • 本小节考察共存区域对交错扩散系数 $k$ 和保护区域 ${\Omega _0}$ 的依赖. 下面用 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)$ 代替前文中的 ${\lambda ^ * }\left( \mu \right)$,以便强调 ${\lambda ^ * }$$k$${\Omega _0}$ 的依赖. 定义

      $\qquad \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right).$

      定理3 (1) 设 $\mu > 0$,则 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)$ 关于 $k$ 严格单调递减.

      (2) 令 $\Theta ' = \left\{ {\phi \in {H^1}\left( \Omega \right):\displaystyle\int_{{\Omega _0}} {{\phi ^2}{\rm{d}}x > 0} } \right\}$. 对任意的 $k > 0$,有

      $\qquad \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) = \mathop {\inf }\limits_{\phi \in \Theta '} \dfrac{{\displaystyle\int_\Omega {{{\left| {\nabla \phi } \right|}^2}{\rm{d}}x + \dfrac{{r\beta }}{k}\displaystyle\int_{\Omega \backslash {\Omega _0}} {{\phi ^2}{\rm{d}}x} } }}{{\displaystyle\int_{{\Omega _0}} {{\phi ^2}{\rm{d}}x} }} \leqslant \dfrac{{r\beta \left| {\Omega \backslash {\Omega _0}} \right|}}{{k\left| {{\Omega _0}} \right|}}.$

      证明 固定 $\mu > 0$${\Omega _0}$,注意 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)$ 满足

      $\qquad \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) = 0.$

      由假设(3)知,

      $\qquad \frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{r\beta \mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)}}{{1 + k\mu }},}&{x \in \Omega \backslash {\Omega _0},}\\ { - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right),{\kern 1pt} }&{x \in {\Omega _0}.} \end{array}} \right.$

      $\lambda _1^N\left( {q,\Omega } \right)$ 关于 $q$ 连续且严格单调递增的性质以及 $\lambda _1^N\left( {0,\Omega } \right) = 0$,得 $r\beta \mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) > 0$. 对任意满足(11)式的 ${k_1}$${k_2}$ (不妨设 ${k_2} > {k_1}$),有

      $\qquad \frac{{r\beta \mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_1},{\Omega _0}} \right)}}{{1 + {k_2}\mu }} < \frac{{r\beta \mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_1},{\Omega _0}} \right)}}{{1 + {k_1}\mu }},$

      所以,

      $\qquad \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_1},{\Omega _0}} \right)}}{{1 + {k_2}\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) < \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_1},{\Omega _0}} \right)}}{{1 + {k_1}\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right) = \lambda _1^N\left( {\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_2},{\Omega _0}} \right)}}{{1 + {k_2}\rho \left( x \right)\mu }},\Omega } \right).$

      因此,若 ${k_2} > {k_1}$,则 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_1},{\Omega _0}} \right) > {\lambda ^ * }\left( {\mu ,{k_2},{\Omega _0}} \right)$. 这表明 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)$ 关于 $k$ 严格单调递减.

      下面证明结论(2)成立. 对任意的 $\mu \geqslant 0$,令 ${\phi _\mu }$

      $\qquad - \Delta {\phi _\mu }{\rm{ + }}\frac{{rb\left( x \right)\mu - {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}{\phi _\mu } = 0,\;\; x \in \Omega ,\;\; {\partial _\nu }{\phi _\mu } = 0,\;\; x \in \partial \Omega ,\;\; \int_\Omega {\phi _\mu ^2{\rm{d}}x} = 1$

      的唯一正解. 在(13)式两边同乘 ${\phi _\mu }$ 后在 $\Omega $ 上积分,并结合引理1得

      $\qquad{\displaystyle\int_\Omega {\left| {\nabla {\phi _\mu }} \right|} ^2}{\rm{d}}x = \displaystyle\int_\Omega {\frac{{{\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) - rb\left( x \right)\mu }}{{1 + k\rho \left( x \right)\mu }}} \phi _\mu ^2{\rm{d}}x \leqslant \displaystyle\int_\Omega {{\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) } \phi _\mu ^2dx \leqslant {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) \leqslant \lambda _1^D\left( {{\Omega _0}} \right),$

      所以,${\left\{ {{\phi _\mu }} \right\}_{\mu \geqslant 0}}$${H^1}\left( \Omega \right)$ 中有界. 从而存在一列 $\left\{ {{\mu _i}} \right\}_{i = 1}^\infty $ 满足 $\mathop {\lim }\limits_{i \to \infty } {\mu _i} = \infty $,使得 ${\phi _{{\mu _i}}} \to {\phi _\infty }$${H^1}\left( \Omega \right)$ 中,${\phi _{{\mu _i}}} \to {\phi _\infty }$${L^2}\left( \Omega \right)$ 中,其中 ${\phi _\infty }$${H^1}\left( \Omega \right)$ 中的非负函数且满足 $\displaystyle\int_\Omega {\phi _\infty ^2} {\rm{d}}x = 1$. 由(13)式得, 对任意的 $\psi \in {H^1}\left( \Omega \right)$

      $\qquad \int_\Omega {\left( {\nabla {\phi _{{\mu _i}}}\nabla \psi + \frac{{rb\left( x \right){\mu _i} - {\lambda ^ * }\left( {{\mu _i},k,{\Omega _0}} \right)}}{{1 + k\rho \left( x \right){\mu _i}}}{\phi _{{\mu _i}}}\psi } \right)} {\rm{d}}x = 0.$

      上式令 $i \to \infty $,有

      $\qquad \int_\Omega {\nabla {\phi _\infty }\nabla \psi {\rm{d}}x + \frac{{r\beta }}{k}} \int_{\Omega \backslash {\Omega _0}} {{\phi _\infty }\psi {\rm{d}}x} - \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right)\int_{{\Omega _0}} {{\phi _\infty }\psi {\rm{d}}x} = 0,$

      其中 $\lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } {\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right)$. 从而 ${\phi _\infty }$ 是问题

      $\qquad - \Delta {\phi _\infty } + \frac{{r\beta }}{k}{\chi _{\Omega \backslash {\Omega _0}}}{\phi _\infty } - \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right){\chi _{{\Omega _0}}}{\phi _\infty } = 0,\;\; x \in \Omega ,\;\; {\partial _\nu }{\phi _\infty } = 0,\;\; x \in \partial \Omega $

      的一个弱解. 由于在 $\overline \Omega $${\phi _\infty } \geqslant 0$$\displaystyle\int_\Omega {\phi _\infty ^2} {\rm{d}}x = 1$,所以由强最大值原理知,在 $\overline \Omega $${\phi _\infty } > 0$. 这就意味着 $\lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right)$ 是特征值问题

      $\qquad - \Delta \phi + \frac{{r\beta }}{k}{\chi _{\Omega \backslash {\Omega _0}}}\phi = \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right){\chi _{{\Omega _0}}}\phi ,\;\; x \in \Omega ,\;\; {\partial _\nu }\phi = 0,\;\; x \in \partial \Omega $

      的主特征值. 由主特征值的变分不等式得

      $\qquad \lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) = \mathop {\inf }\limits_{\phi \in \Theta '} \dfrac{{\displaystyle\int_\Omega {{{\left| {\nabla \phi } \right|}^2}{\rm{d}}x + \dfrac{{r\beta }}{k}\displaystyle\int_{\Omega \backslash {\Omega _0}} {{\phi ^2}{\rm{d}}x} } }}{{\displaystyle\int_{{\Omega _0}} {{\phi ^2}{\rm{d}}x} }}.$

      在(14)式中取 $\phi \equiv 1$$\overline \Omega $,得 $\lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) \leqslant \dfrac{{r\beta \left| {\Omega \backslash {\Omega _0}} \right|}}{{k\left| {{\Omega _0}} \right|}}.$ 证毕.

      注1 定理3中结论(1)表明共存区域随着交错扩散系数 $k$ 的增大而扩大,因而交错扩散有利于物种的共存. 结论(2)表明当 $k \to \infty $ 或者 ${\Omega _0}$ 扩大到整个 $\Omega $ 时,食饵的临界增长率 $\lambda _\infty ^ * \left( {k,{\Omega _0}} \right) \to 0$. 由 ${\lambda ^ * }$ 关于 $\mu $ 连续且严格单调递增知 ${\lambda ^ * }\left( {\mu ,k,{\Omega _0}} \right) \to 0$. 即当 $k \to \infty $ 或者 ${\Omega _0}$ 扩大到整个 $\Omega $ 时,对任意的 $\lambda > 0$$\mu > 0$,2个物种都能共存. 生态上, 这意味着如果食饵躲避捕食者的能力很强, 或者在系统中将食饵完全保护起来, 食饵和捕食者总会共存.

参考文献 (13)

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