半环上的准素同余和同余的准素分解

吴亚楠 任苗苗

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半环上的准素同余和同余的准素分解

    作者简介: 吴亚楠(1993−),女,山西人,硕士生,主要从事半群和半环代数方面的研究. E-mail:1792835497@qq.com;
    通讯作者: 任苗苗, miaomiaoren@yeah.net
  • 中图分类号: O153.5

The primary congruence and the primary decomposition of congruence on semirings

    Corresponding author: REN Miao-miao, miaomiaoren@yeah.net
  • CLC number: O153.5

  • 摘要: 主要研究了可换加法幂等元半环上的准素同余,给出了ρ-准素同余的定义,得出了它们结构的一些结果. 在此基础上,通过研究极小准素分解,得到唯一性定理.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-05-13
  • 录用日期:  2019-07-19
  • 网络出版日期:  2019-12-23
  • 刊出日期:  2020-03-01

半环上的准素同余和同余的准素分解

    作者简介:吴亚楠(1993−),女,山西人,硕士生,主要从事半群和半环代数方面的研究. E-mail:1792835497@qq.com
    通讯作者: 任苗苗, miaomiaoren@yeah.net
  • 西北大学 数学学院,陕西 西安 710127

摘要: 主要研究了可换加法幂等元半环上的准素同余,给出了ρ-准素同余的定义,得出了它们结构的一些结果. 在此基础上,通过研究极小准素分解,得到唯一性定理.

English Abstract

  • 众所周知,在环上同余和理想是一一对应的,同余在代数的研究过程中扮演着非常重要的角色. ${\rm{Joo}}$[1]通过类比交换环上的理想,引入了可换加法幂等元半环的准素同余的概念,且得出了准素同余的根是素同余,更多的代数系统的准素同余及相关研究见文献[212]. 受以上内容的启发,通过类比交换环上的准素理想,本文得出准素同余与 $\;\rho \text{-} $ 准素同余的结构的一些结果. 在此基础上,研究极小准素分解,给出唯一性定理.

    • 定义1[2] 设 $\left( {S, + , \cdot ,0,1} \right)$$(2,2,0,0)$ 型代数. 若 $S$ 满足下列条件:

      $(1)$$(S, + ,0)$ 是可换幺半群;

      $(2)$$(S, \cdot ,1)$ 是幺半群;

      $(3)$$(\forall a,b,c \in S)$$a(b + c) = ab + ac$$(a + b)c = ac + bc$

      $(4)$$(\forall a \in S)$$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

      $(5)$ $0 \ne 1$.

      则称 $S$ 是半环. 进一步,若 $(S, \cdot )$ 是交换半群,则称 $S$ 是交换半环.

      接下来给出交换半环上同余的概念.

      定义2 设 $S$ 是交换半环,$\;\rho $$S \times S$ 的子集. 若对于任意 $a,b,c,d \in S$,满足:

      $(1) $ $(a,a) \in \rho $

      $(2)$$(a,b) \in \rho $,则 $(b,a) \in \rho $

      $(3)$$(a,b),(b,c) \in \rho $,则 $(a,c) \in \rho $

      $(4)$$(a,b),(c,d) \in \rho $,则 $(a + c,b + d) \in \rho $

      $(5)$$(a,b),(c,d) \in \rho $,则 $(ac,bd) \in \rho $.

      则称 $\;\rho $$S$ 上的同余.

      容易验证,$\{ (a,a)|a \in S\} $$S$ 上最小的同余,称其为平凡同余,记为 $\Delta $. 另一方面,$S \times S$$S$ 上最大的同余,称其为 $S$ 上的泛同余,记为 $\nabla $. 若同余 $\;\rho $$S\times S $的真子集,则称 $\;\rho $$S$ 上的真同余. 一般地,设 $\varphi :R \to S$ 是交换半环上的满同态,且 $\;\rho $$S$ 上的同余. 则 ${\varphi ^{ - 1}}(\rho ) = \{ (a,b) \in R \times R|(\varphi (a),\varphi (b)) \in \rho \} $.

      定义3[1] 设 $S$ 是交换半环. 若 $(S, + )$ 是幂等元半群,则称 $\;\rho $ 为可换的加法幂等元半环.

      分配格和 ${\rm{Tropical}}$ 代数都是可换的加法幂等元半环的例子. 以下总假设 $S$ 为可换的加法幂等元半环.

      定义4[1] 设 $S$ 是可换的加法幂等元半环. 若存在 $a,b,c \in S,ab = ac$,则 $a = 0$$b = c$,则称 $S$ 是可消去的.

      定义5[1] 设 $S$ 为可换的幂等元半环. 在 $S \times S$ 上定义二元运算如下:

      $\qquad({a_1},{a_2})({b_1},{b_2}) = ({a_1}{b_1} + {a_2}{b_2},{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}),$

      称上述运算为扭积运算.

      定义6[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 若 $S/\rho $ 可消去的,则称 $\;\rho $$QC$ 同余.

      定义7[1] 设 $\;\rho ,\sigma $$S$ 上的同余. 称 $\{ \alpha \beta |\alpha \in \rho ,\beta \in \sigma \} $ 生成的同余为 $\;\rho $$\sigma $ 的积,记为 $\;\rho \sigma $.

      定义8[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的真同余. 若对于任意的 $(\alpha ,\beta ) \in S \times S,\alpha \beta \in \rho $,则 $\alpha \in \rho $$\;\beta \in \rho $,则称 $\;\rho $$S$ 上的素同余.

      定义9[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 称包含 $\;\rho $ 的所有素同余的交是同余的根,记为 $\sqrt \rho $.

      引理1[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 则 $\sqrt \rho = \{ \alpha \in S \times S|({\alpha ^{ * k}} + (c,0)){\alpha ^l} \cap \rho \ne \phi \} $,其中 $\alpha = (a,b),{\alpha ^ * } = (a + b,0),GP(\alpha ) = $$ \{ ({\alpha ^{ * k}} + (c,0)){\alpha ^l}|c \in S,k,l \in {Z^ + }\} .$

      定义10[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 若 $\sqrt \rho = \rho $,则称 $\;\rho $ 是根同余.

      定义11[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的真同余. 若 $(\alpha ,\beta ) \in S \times S,\alpha \beta \in \rho ,\alpha \in \rho $,则 $\;\beta \in \sqrt \rho $,称 $\;\rho $ 是准素同余.

      由上述定义可知,$S$ 上的素同余均是准素的.

    • 为了方便叙述,本文将 $\{ 1,2, \cdots ,n\} $ 记为 $\underline n $.

      命题1 设 $\;\rho $$S$ 上的真同余. 则 $\;\rho $ 是准素同余当且仅当若 $\alpha ,\beta \in S \times S$$\alpha \beta \in \rho $$\;\beta \notin \sqrt \rho $,则 $\alpha \in \rho $.

      证明 设 $\;\rho $ 是准素同余,且 $\alpha \notin \rho $. 由定义 $11$ 可得 $\;\beta \in \sqrt \rho $,与 $\;\beta \notin \sqrt \rho $ 相矛盾. 反之,设 $\;\beta \notin \sqrt \rho $. 由 $\alpha \beta \in \rho $,可得 $\alpha \in \rho $,与准素同余定义中 $\alpha \notin \rho $ 相矛盾. 证毕.

      注1 由文献[1]知,如果 $\;\rho $$S$ 上的准素同余,则 $\sqrt \rho $$S$ 上的包含 $\;\rho $ 的最小素同余. 反之不成立,但是若给 $\;\rho $ 添加条件就有如下结果.

      引理2[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的 $QC$ 同余. 则 $\;\rho $$S$ 上的根同余.

      命题2 设 $\;\rho $$S$ 上的真同余. 若 $\sqrt \rho $$S$ 上的素同余,且 $\;\rho $$QC$ 同余,则 $\;\rho $$S$ 上的准素同余.

      证明 设 $\alpha \beta \in \rho ,\beta \notin \sqrt \rho $. 由于 $\rho \subseteq \sqrt \rho $,可得 $\alpha \beta \in \sqrt \rho ,\beta \notin \sqrt \rho $. 由 $\sqrt \rho $ 是准素同余可得 $\alpha \in \sqrt \rho $. 由引理 $2$ 可知 $\alpha \in \rho $. 证毕.

      由素同余和准素同余的这层关系,可引入 $\;\rho {\text{ - }}$ 准素同余的概念.

      定义12 设 $\;\rho $$S$ 上的素同余,$\sigma $$S$ 上的准素同余. 若 $\;\rho = \sqrt \sigma $,则称 $\sigma $$\;\rho {\text{ - }}$ 准素同余,$\;\rho $ 是属于 $\sigma $ 的素同余.

      引理3[12] 设 $\;{\rho _i}\{ i \in \underline n \} $$S$ 上的一族同余. 则 $\sqrt {\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} } = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{\rho _i}} } $.

      证明 运用归纳法. 当 $n = 2$ 时,对于任意的 $\alpha \in \sqrt {\rho \cap \sigma } $,得 $GP(\alpha ) \cap (\rho \cap \sigma ) \ne \varphi $,则存在 $\;\beta \in S \times S$,使得 $\;\beta \in GP(\alpha ),\beta \in \rho \cap \sigma $. 可得 $\;\beta \in GP(\alpha ) \cap \rho ,\beta \in GP(\alpha ) \cap \sigma $,得 $GP(\alpha ) \cap \rho \ne \varphi ,GP(\alpha ) \cap \sigma \ne \varphi $. 则 $\alpha \in \sqrt \rho \cap \sqrt \sigma $,故 $\sqrt {\rho \cap \sigma } \subseteq \sqrt \rho \cap \sqrt \sigma $. 反之,对于任意的 $\alpha \in \sqrt \rho \cap \sqrt \sigma $,有 $\alpha \in \sqrt \rho $$\alpha \in \sqrt \sigma $,从而存在 $k,l,m,n$ 均是非负数,$c,d \in S$,使得 $({\alpha ^{ * k}} + (c,0)){\alpha ^l} \in \rho ,({\alpha ^{ * m}} + (d,0)){\alpha ^n} \in \sigma $. 运用扭积运算,有

      $\qquad({\alpha ^{ * k}} + (c,0)){\alpha ^l}({\alpha ^{ * m}} + (d,0)){\alpha ^n} \in \rho \sigma \in \rho \cap \sigma ,$

      从而 $GP(\alpha ) \cap (\rho \cap \sigma ) \ne \varphi $,得 $\alpha \in \sqrt {\rho \cap \sigma } $,故 $\sqrt \rho \cap \sqrt \sigma \subseteq \sqrt {\rho \cap \sigma } $.

      假设 $n = k - 1$ 时命题成立. 则当 $n = k$ 时,

      $\sqrt {\bigcap\limits_{i = 1}^k {{\rho _i}} } = \sqrt {\bigcap\limits_{i = 1}^{k - 1} {{\rho _i}} \cap {\rho _k}} = \sqrt {\bigcap\limits_{i = 1}^{k - 1} {{\rho _i}} } \cap \sqrt {{\rho _k}} = \bigcap\limits_{i = 1}^{k - 1} {\sqrt {{\rho _i}} } \cap \sqrt {{\rho _k}} = \bigcap\limits_{i = 1}^k {\sqrt {{\rho _i}} } .$

      故当 $n = k$ 时,命题也成立. 证毕.

      命题3 设 $\;\rho $$S$ 上的素同余,${\sigma _i}\{ i \in \underline n \} $$S$ 上的一族 $\;\rho {\text{ - }}$ 准素同余. 则 $\sigma = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} $$\;\rho {\text{ - }}$ 准素同余.

      证明 先证 $\;\rho = \sqrt \sigma $. 由条件可知 $\;\rho = \sqrt {{\sigma _i}} \{ i \in \underline n \} $. 由引理 $3$,则有 $\sqrt {\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} } = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{\sigma _i}} } = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {\rho = \rho } $. 其次证 $\sigma $$S$ 上的准素同余. 设 $\alpha \beta \in \sigma ,\beta \notin \sqrt \sigma $. 由 $\sigma = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} $,则对于任意的 $i \in \underline n $,都有 $\alpha \beta \in {\sigma _i}$,且 $\;\beta \notin \sqrt \sigma = \sqrt {{\sigma _i}} = \rho $. 由于 ${\sigma _i}$ 是准素的,可得 $\alpha \in {\sigma _i}$. 由 $i$ 的任意性,则 $\alpha \in \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} = \sigma $. 证毕.

      命题4 设 $\varphi :S \to R$ 是可换的加法幂等元半环上的满同态,$\;\rho ,\sigma $ 分别是 $S,R$ 上的同余,$\tau $$R$ 上的素同余,且有 ${\varphi ^{ - 1}}(\sigma ) = \rho $. 则:

      $(1)$$\;\rho $ 是准素的,则 $\varphi (\sqrt \rho )$ 是素同余.

      $(2)$ $\;\rho $ 是准素同余当且仅当 $\sigma $ 是准素同余.

      $(3)$$\sigma $$R$ 上的 $\tau \text{ -} $ 准素同余, 则 $\;\rho $${\varphi ^{ - 1}}(\tau ) {\text{-}} $ 准素同余.

      证明 (1) 对于任意 $(\varphi (a),\varphi (b)),(\varphi (c),\varphi (d)) \in \varphi (\sqrt \rho )$. 则

      $\qquad(\varphi (a)\varphi (c) + \varphi (b)\varphi (d),\varphi (a)\varphi (d) + \varphi (b)\varphi (c)) \in \varphi (\sqrt \rho ),$

      从而 $(\varphi (ac + bd),\varphi (ad + bc)) \in \varphi (\sqrt \rho )$,得 $(ac + bd,ad + bc) \in \sqrt \rho $. 由 $\sqrt \rho $ 是素同余,得 $(a,b) \in \sqrt \rho $$(c,d) \in \sqrt \rho $,则 $(\varphi (a),\varphi (b)) \in \varphi (\sqrt \rho )$$(\varphi (c),\varphi (d)) \in \varphi (\sqrt \rho )$.

      $(2)$ 首先证 $\sqrt {\varphi (\rho )} = \varphi (\sqrt \rho )$,其中 $\;\rho $ 是准素的. 由 $\sqrt \rho $ 的定义得 $\;\rho \subseteq \sqrt \rho $,则 $\varphi (\rho ) \subseteq \varphi (\sqrt \rho )$,由 $(1)$ 可得 $\varphi (\sqrt \rho )$ 是包含 $\varphi (\rho )$ 的素同余. 则 $\sqrt {\varphi (\rho )} \subseteq \varphi (\sqrt \rho )$. 反之,对于任意的 $(\varphi (a),\varphi (b)) \in \varphi (\sqrt \rho )$,可得 $(a,b) \in \sqrt \rho $,则存在 $k,l$ 使得 $({(a,b)^{ * k}} + (c,0)){(a,b)^l} \in \rho $. 由 $\varphi $ 的相容性可得 $(\varphi (a + b),0)(\varphi (c),0)){(\varphi (a),\varphi (b))^l} \in \varphi (\rho )$,则 $ GP((\varphi (a),\varphi (b)) \cap $$\varphi (\rho ) \ne \varphi $,所以 $\varphi (\sqrt \rho ) \subseteq \sqrt {\varphi (\rho )} $.

      其次, 对于任意的 $(\varphi (a),\varphi (b))(\varphi (c),\varphi (d)) \in \varphi (\rho )$,可得

      $\qquad(\varphi (a)\varphi (c) + \varphi (b)\varphi (d),\varphi (a)\varphi (d) + \varphi (b)\varphi (c)) \in \varphi (\rho ),$

      $(\varphi (ac + bd),\varphi (ad + bc)) \in \varphi (\rho )$,得 $(ac + bd,ad + bc) \in \rho $. 由 $\rho $ 是准素同余,得 $(a,b) \in \rho $$(c,d) \in \sqrt \rho $,则 $(\varphi (a),\varphi (b)) \in \varphi (\rho )$$(\varphi (c),\varphi (d)) \in \varphi (\sqrt \rho ) = \sqrt {\varphi (\rho )} $,则 $\sigma = \varphi (\rho )$ 是准素的. 反之,对于任意的 $(a,b)(c,d) \in \rho $,可得 $(ac + bd,ad + bc) \in \rho $,则 $(\varphi (ac + bd),\varphi (ad + bc)) \in \varphi (\rho )$. 由 $\varphi $ 的相容性,得 $(\varphi (a),\varphi (b))(\varphi (c),\varphi (d)) \in \varphi (\rho )$. 由 $\varphi (\rho ) = \sigma $ 是准素的,得 $(\varphi (a),\varphi (b)) \in \varphi (\rho )$$(\varphi (c),\varphi (d)) \in \sqrt {\varphi (\rho )} = \varphi (\sqrt \rho )$,可得 $(a,b) \in \rho $$(c,d) \in \sqrt \rho $.

      $(3)$$(2)$ 可知 $\;\rho $ 是准素的,只需证 ${\varphi ^{ - 1}}(\tau ) = \sqrt \rho $,即证 $\tau = \varphi (\sqrt \rho )$. 由于 $\tau = \sqrt \sigma $,由 $(1)$$(2)$ 可得 $\tau = \sqrt {\varphi (\rho )} = \varphi (\sqrt \rho )$. 证毕.

      定义13[11] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余,且 $\;\rho \subseteq \sigma $. 则 $\sigma /\rho = \{ (a\rho ,b\rho )|(a,b) \in \sigma \} $ 是同余.

      定义14[1] 设 $\alpha \in S \times S$. 若 $GP(\alpha ) \cap \Delta \ne \varphi $,则称 $\alpha $$S \times S$ 上的幂零元.

      注2 在文献[1]中可知,$\sqrt \Delta $$S$ 上的所有幂零元的集合,则在 $S$ 的商集合中有如下结果.

      命题5 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 则 $\sqrt \rho /\rho = {\rm{Nil}}(S/\rho )$,其中 ${\rm {Nil}}(S/\rho )$$S/\rho \times S/\rho $ 上的所有幂零元集合,$\overline \Delta $$S/\rho \times S/\rho $ 上的平凡同余.

      证明 对于任意的 $(a\rho ,b\rho ) \in \sqrt \rho /\rho $,有 $(a,b) \in \sqrt \rho $. 由 $\sqrt \rho $ 的定义可得,存在 $k,l \in {Z^ + },c \in S$,使得 $({(a,b)^{ * k}} + $$ (c,0)){(a,b)^l} \in \rho $. 由 $\;\rho $ 是同余可得 $({(a\rho ,b\rho )^{ * k}} + (c\rho ,0)){(a\rho ,b\rho )^l} \in \rho /\rho $,则 $GP(a\rho ,b\rho ) \cap \overline \Delta \ne \varphi $,则 $(a\rho ,b\rho ) \in {\rm{Nil}}(S/\rho )$. 反之, 对于任意的 $(a\rho ,b\rho ) \in {\rm {Nil}}(S/\rho )$,则由幂零元的定义得存在 $k,l \in {Z^ + },c\rho \in S/\rho $,使得 $({(a\rho ,b\rho )^{ * k}} + $$ (c\rho ,0)){(a\rho ,b\rho )^l} \in \overline \Delta $,则 $({(a,b)^{ * k}} + (c,0)){(a,b)^l} \in \rho $,则 $(a,b) \in \sqrt \rho $,得 $(a\rho ,b\rho ) \in \sqrt \rho /\rho $. 证毕.

      定义15 设 $\alpha \in S \times S\backslash \Delta $. 若存在 $\;\beta \in S \times S\backslash \Delta $,使得 $\alpha \beta \in \Delta $,则称 $\alpha $$S \times S$ 上的零因子.

      定理1 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 则 $\;\rho $ 是准素同余当且仅当 $S/\rho \times S/\rho $ 上的零因子均是幂零元.

      证明 设$(a\rho ,b\rho )$$(S/\rho ,S/\rho )$ 的任意零因子. 则存在 $(c\rho ,d\rho ) \notin \overline \Delta $,使得 $(a\rho ,b\rho )(c\rho ,d\rho ) \in \overline \Delta $,由命题 $5$ 可得 $(a,b) \notin \rho ,(c,d) \notin \rho ,(a,b)(c,d) \in \rho $. 由 $\;\rho $ 是准素的可得 $(a,b) \in \sqrt \rho ,(c,d) \in \sqrt \rho $,则 $(a\rho ,b\rho ) \in \sqrt \rho /\rho , (c\rho ,d\rho ) \in$$ \sqrt \rho /\rho $. 由命题 $5$ 可得,$(a\rho ,b\rho ),(c\rho ,d\rho )$ 是幂零元. 反之, 设 $(a,b)(c,d) \in \rho ,(a,b) \notin \rho $. 则有 $(ac + bd,ad + bc) \in \rho $,则有 $((ac + bd)\rho ,(ad + bc)\rho ) \in \overline \Delta $,从而 $(a\rho ,b\rho )(c\rho ,d\rho ) \in \overline \Delta $$(a\rho ,b\rho ) \notin \overline \Delta $. 设 $(c\rho ,d\rho ) \notin \overline \Delta $. 则 $(a\rho ,b\rho )$$(c\rho ,d\rho )$ 均为 $S/\rho $ 的零因子,可得 $(a\rho ,b\rho ),(c\rho ,d\rho )$ 是幂零元. 由命题 $5$ 可得 $(c,d) \in \sqrt \rho $. 若 $(c\rho ,d\rho ) \in \overline \Delta $,则 $(c,d) \in \rho \subseteq \sqrt \rho $. 证毕.

    • $\;\rho $$S$ 上的同余,$\alpha = (a,b) \in S \times S$${\alpha ^ * } = (a + b,0)$,在 $S$ 上定义 $(\alpha :\rho ) = \{ \beta \in S \times S|{\alpha ^ * }\beta \in \rho \} $,易验证 $(\alpha :\rho )$ 是同余.

      命题6 设 $\;\rho ,{\rho _i}\{ i \in \underline n \} $$S$ 上的同余,$\alpha \in S \times S$. 则:

      (1) $\;\rho \subseteq (\alpha :\rho )$.

      (2) $(\alpha :\rho ){\alpha ^ * } \subseteq \rho $.

      (3) $(\alpha :\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ) = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} $.

      证明 (1),(2)显然,只证(3). 对于任意的 $\;\beta \in (\alpha :\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} )$. 可得 ${\alpha ^ * }\beta \in \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,则 ${\alpha ^ * }\beta \in {\rho _i}\{ i \in \underline n \} $,则 $\;\beta \in \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} $. 反之,对于任意的 $\;\beta \in \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} $. 则 $\;\beta \in (\alpha :{\rho _i})(\forall i \in \underline n )$,则有 ${\alpha ^ * }\beta \in {\rho _i}\{ i \in \underline n \} $. 由 $i$ 的任意性可得 ${\alpha ^ * }\beta \in \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,则 $\;\beta \in (\alpha :\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} )$. 证毕.

      引理4[1] 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 若 $\alpha \in \rho ,\beta \in S \times S$,则 $\alpha \beta \in \rho $.

      命题7 设 $\sigma $$S$ 上的 $\;\rho \text{-}$ 准素同余,$\alpha \in S \times S $. 则:

      $(1)$${\alpha ^ * } \in \sigma $,则 $(\alpha :\sigma ) = \Delta $.

      $(2)$${\alpha ^ * } \notin \rho $,则 $(\alpha :\sigma ) = \sigma $.

      $(3)$${\alpha ^ * } \notin \sigma $,则 $(\alpha :\sigma )$$\;\rho \text{ -} $ 准素同余.

      证明 $(1)$ 由引理 $4$ 可得.

      $(2)$ 对于任意 $\;\beta \in (\alpha :\sigma )$,可得 ${\alpha ^ * }\beta \in \sigma $,而 ${\alpha ^ * } \notin \rho $. 由 $\sigma $ 是准素的,得 $\;\beta \in \sigma $.

      $(3)$ 先证 $\sqrt {(\alpha :\sigma )} = \rho $. 对于任意 $\;\beta \in (\alpha :\sigma )$,可得 ${\alpha ^ * }\beta \in \sigma $,已知 ${\alpha ^ * } \notin \sigma $,可得 $\;\beta \in \sqrt \sigma $,则 $\sigma \subseteq (\alpha :\sigma ) \subseteq \rho $,取根得 $\sqrt \sigma \subseteq \sqrt {(\alpha :\sigma )} \subseteq \sqrt \rho $,得 $\sqrt {(\alpha :\sigma )} = \rho $. 再证 $(\alpha :\sigma )$ 是准素同余. 设 $\;\beta \gamma \in (\alpha :\sigma )$,且 $\gamma \notin \sqrt {(\alpha :\sigma )} = \rho $,则 ${\alpha ^ * }\beta \gamma \in \sigma $$\gamma \notin \sqrt \sigma = \rho $,可得 ${\alpha ^ * }\beta \in \sigma $,则 $\;\beta \in (\alpha :\sigma )$. 证毕.

      定义16 设 $\;\rho $$S$ 上的同余. 若 $\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ({\rho _i}$ 是准素同余 $)$,则称 $\;\rho $ 是可准素分解的,每个 ${\rho _i}$$\;\rho $ 的准素分支.

      如果 $\;\rho $ 的准素分解式中某个准素分支 $\;{\rho _i}$ 包含 $n - 1$ 个准素分支的交,则定义 $16$ 中可去掉 $\;{\rho _i}$ 而不影响 $\;\rho $ 的准素分解式,从而得到 $\;\rho $ 的一个更简单的准素分解式;如果准素分支中存在一些分支有相同的根,例如 $\sqrt {{\rho _1}} = \sqrt {{\rho _2}} = \cdots = \sqrt {{\rho _s}} = \sigma $,由命题 $4$ 可知 $\tau = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $ 仍是 $\sigma {\text{ - }}$ 准素同余,于是将定义 $16$ 中分解式中 $\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $ 改为 $\tau $,又得到一个更简单的准素分解式,所以若同余 $\;\rho $ 可准素分解,总可以经过上述化简得到如下准素分解式.

      定义17 设 $\;\rho $$S$ 上是可准素分解同余,$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,若满足:

      $(1)$$\sqrt {{\rho _i}} (i \in \underline k )$ 是互不相同的素同余.

      $(2)$$\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} \not\subset {\rho _j}$.

      则称同余 $\;\rho $ 的准素分解式为 $\;\rho $ 的极小准素分解.

      命题8 $(1)$ 可准素分解的同余的有限交仍是可准素分解的.

      $(2)$${S_1}$$S$ 的子集,且 $\;\rho $$S$ 的可准素分解同余. 则 $\;\rho \cap {S_1} \times {S_1}$${S_1}$ 上的准素可分解同余.

      $(3)$$\;\rho $$S$ 上的可准素分解同余,$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,若存在 $\alpha \in S \times S,{\alpha ^ * } \in {\rho _i}\{ i \in \underline n \} $,则 $(\alpha :\rho )$$S$ 上的可准素分解同余.

      $(4)$$\varphi :R \to S$ 是可换的加法幂等元半环上的满同态. 若 $\;\rho $$S$ 上的可准素分解同余,则 ${\varphi ^{ - 1}}(\rho )$$R$ 上的可准素分解同余.

      证明  (1)显然.

      (2)设 $\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ({\rho _i}$ 是准素同余),可得

      $ \qquad \rho \cap {S_1} \times {S_1} = ({\rho _1} \cap {S_1} \times {S_1}) \cap ({\rho _2} \cap {S_1} \times {S_1}) \cap \cdots \cap ({\rho _n} \cap {S_1} \times {S_1}), $

      为此只需证 $\;{\rho _i} \cap {S_1} \times {S_1}\{ i \in \underline n \} $ 是准素的. 对于任意 $\alpha ,\beta \in {S_1} \times {S_1}$,有 $\alpha \beta \in {\rho _i} \cap {S_1} \times {S_1}$,则有 $\alpha \beta \in {\rho _i}$$\alpha \beta \in {S_1} \times {S_1}$. 由于 $\;{\rho _i}$ 是准素的,则有 $\alpha \in {\rho _i}$$\;\beta \in \sqrt {{\rho _i}} $,可得 $\alpha \in {\rho _i} \cap {S_1} \times {S_1}$$\;\beta \in \sqrt {{\rho _i}} \cap {S_1} \times {S_1} = $$ \sqrt {{\rho _i}} \cap {S_1} \times {S_1}$.

      $(3)$ 由于 $(\alpha :\rho ) = (\alpha :\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ) = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} $,则只需证 $(\alpha :{\rho _i})$ 是准素的. 设 $\;\beta \gamma \in (\alpha :{\rho _i})$. 则 ${\alpha ^ * }\beta \gamma \in {\rho _i}$. 由命题 $7$ 则有 ${\alpha ^ * }\beta \in {\rho _i}$$\gamma \in \sqrt {{\rho _i}} = \sqrt {(\alpha :{\rho _i})} $,则 $\;\beta \in (\alpha :{\rho _i})$$\gamma \in \sqrt {(\alpha :{\rho _i})} $.

      $(4)$$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ({\rho _i}$ 是准素同余 $)$,则 ${\varphi ^{ - 1}}(\rho ) = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\varphi ^{ - 1}}({\rho _i})} $. 由命题 $4$ 可知,${\varphi ^{ - 1}}({\rho _i})$ 是准素的,故 ${\varphi ^{ - 1}}(\rho )$ 是可准素分解的. 证毕.

      引理5[12] 设 $\;{\rho _i}\{ i \in \underline n \} $$S$ 上的一族同余,$\;\rho $$S$ 上的素同余.

      $(1)$$\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} \subseteq \rho $,则存在 $i \in \underline n $ 使得 $\;{\rho _i} \subseteq \rho $.

      $(2)$$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,则存在 $i \in \underline n $ 使得 $\;{\rho _i} = \rho $.

      证明 $(1)$ 对于任意的 $i \in \underline n $$\;{\rho _i} \not\subset \rho $. 则存在 ${\alpha _i} \in S \times S$,使得 ${\alpha _i} \in {\rho _i},{\alpha _i} \notin \rho \{ i \in \underline n \} $. 由引理 $4$ 可知 $\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {\alpha _i} \in $$ \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} \subseteq \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i} \subseteq \rho } $. 另一方面,对于任意的 $i \in \underline n $${\alpha _i} \notin \rho $. 由 $\rho $ 是素同余可得 $\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} \notin \rho $,矛盾.

      $(2)$$(1)$ 可得存在 $i \in \underline n $ 使得 $\;\rho \supseteq {\rho _i}$. 反之,$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} \subseteq {\rho _i}$. 故 $\;\rho = {\rho _i}$. 证毕.

      ${\rm{Spe}}{{\rm{c}}^{\rm{c}}}(S)$ 表示 $S$ 上的素同余的全体.

      定理2 (唯一性) 设 $\;\rho $$S$ 上的同余,$\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $$\;\rho $ 的极小准素分解,${\sigma _i} = \sqrt {{\rho _i}} \{ i \in \underline n \} $. 则 $\{ {\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _n}\} $ 是由 $\;\rho $ 唯一确定,与极小准素分解的选择无关,均称为属于 $\;\rho $ 的素同余.

      证明 令 $S = \{ \sigma \in {\rm{Spe}}{{\rm{c}}^{\rm{c}}}{\rm{(S)}}|$ 存在$ \alpha \in S \times S,\sqrt {(\alpha :\rho )} = \sigma \} $,它是由 $\;\rho $ 唯一确定,下证 $S = \{ {\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _n}\} $. 由命题6,可得对于任意的 $\alpha \in S \times S$,有 $(\alpha :\rho ) = (\alpha :\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ) = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} $. 由命题3和命题7,取根得

      $\qquad\sqrt {(\alpha :\rho )} = \sqrt {\bigcap\limits_{i = 1}^n {(\alpha :{\rho _i})} } = \bigcap\limits_{I = 1}^n {\sqrt {(\alpha :{\rho _i})} } = \bigcap\limits_{i = 1,{\alpha ^ * } \ne {\rho _i}}^n {{\sigma _i}} .$

      对于任意的 $\sigma \in S$,有 $\sigma = \sqrt {(\alpha :\rho )} = \displaystyle\bigcap\limits_{j = 1}^n {{\sigma _j}} $. 由于 $\sigma $ 是素同余,则由引理 $5$ 可得存在 ${\sigma _j}$,有 ${\sigma _j} = \rho $,故 $S \subseteq \{ {\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _n}\} $. 反之,由准素分解的极小性可知,对于每一个 $j$ 均存在 ${({\alpha _j})^ * } \in (\displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} )\backslash {\rho _j}$,则有 $\sqrt {({\alpha _j}:\rho )} = {\sigma _j}$,则对于任意 $j$,都有 ${\sigma _j} \in S$,故 $\{ {\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _n}\} \subseteq S$. 证毕.

      $S$ 的同余 $\;\rho $ 有极小准素分解, $\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} ({\rho _i}$ 是准素同余 $)$, ${\sigma _i} = \sqrt {{\rho _i}} $. 在 $\{ {\sigma _1},{\sigma _2}, \cdots ,{\sigma _n}\} $ 中关于包含关系的极小元 ${\sigma _i}$ 为属于 $\;\rho $ 的极小素同余.

      定理3 设 $\;\rho $$S$ 上的可准素分解同余,则 $S$ 的每个包含关系的素同余必包含某个属于 $\;\rho $ 的极小素同余. 于是,属于 $\;\rho $ 的全部极小素同余恰好是集合 $\{ \sigma \in {\rm{Spe}}{{\rm{c}}^{\rm{c}}}{\rm{(S)}}|\rho \subseteq \sigma \} $ 中关于包含关系的全部极小元.

      证明 设 $\;\rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $ 是极小准素分解同余, ${\sigma _i} = \sqrt {{\rho _i}} \{ i \in \underline n \} $,且 $\sigma $ 为包含 $\rho $ 的素同余. 则有 $\sigma \supseteq \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\rho _i}} $,取根得 $\sqrt \sigma = \sigma = \sqrt \rho = \displaystyle\bigcap\limits_{i = 1}^n {{\sigma _i}} $. 由于 $\sigma $ 是素同余,则由引理 $5$ 得存在 ${\sigma _i}$$\sigma = {\sigma _i} = \sqrt \rho $,从而 $\sigma $ 等于某个 ${\sigma _i}$ 是属于 $\;\rho $ 的素同余,故 $\sigma $ 包含某个属于 $\;\rho $ 的极小素同余. 证毕.

参考文献 (12)

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