半群 G(n, r) 的秩和 (0, 1)- 平方幂等元秩

李晓敏 罗永贵 赵平

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半群 G(n, r) 的秩和 (0, 1)- 平方幂等元秩

    作者简介: 李晓敏(1994−),女,陕西人,硕士生,主要从事半群代数理论方面的研究. E-mail:596781636@qq.com;
    通讯作者: 罗永贵, luoyonggui851010@hotmail.com
  • 中图分类号: O152.7

On the rank and (0, 1)- square idempotent rank of the semigroup G(n, r)

    Corresponding author: LUO Yong-gui, luoyonggui851010@hotmail.com ;
  • CLC number: O152.7

  • 摘要: 引入了保升序且保序有限部分一一奇异变换半群,通过对其 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元和星格林关系的分析,分别获得了半群 $ G\left( {n,r} \right)$ 唯一的极小 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元生成集,秩和 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元秩. 进一步确定了当 $ 0 \leqslant l \leqslant r$ 时,半群 $ G\left( {n,\;r} \right)$ 关于其星理想 $ G\left( {n,\;l} \right)$ 的相关秩.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-05-15
  • 录用日期:  2019-07-19
  • 网络出版日期:  2019-12-23
  • 刊出日期:  2020-03-01

半群 G(n, r) 的秩和 (0, 1)- 平方幂等元秩

    作者简介:李晓敏(1994−),女,陕西人,硕士生,主要从事半群代数理论方面的研究. E-mail:596781636@qq.com
    通讯作者: 罗永贵, luoyonggui851010@hotmail.com
  • 贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025

摘要: 引入了保升序且保序有限部分一一奇异变换半群,通过对其 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元和星格林关系的分析,分别获得了半群 $ G\left( {n,r} \right)$ 唯一的极小 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元生成集,秩和 $ \left( {0,\;1} \right)$- 平方幂等元秩. 进一步确定了当 $ 0 \leqslant l \leqslant r$ 时,半群 $ G\left( {n,\;r} \right)$ 关于其星理想 $ G\left( {n,\;l} \right)$ 的相关秩.

English Abstract

  • $S$ 是半群且 $\varepsilon ,\alpha\in S$. 若 ${\varepsilon ^2} = \varepsilon \varepsilon= \varepsilon $,则称 $\varepsilon $$S$ 的一个幂等元,$S$ 中所有幂等元之集记为 $E\left( S \right)$. 若 ${\alpha ^2}$$S$ 的一个幂等元(即 ${\alpha ^4} = {\alpha ^2}$),则称 $\alpha $$S$ 的一个平方幂等元,$S$ 中所有平方幂等元之集记为 $Q\left( S \right)$. 易见,半群 $S$ 中的幂等元一定是平方幂等元,即 $E\left( S \right) \subseteq Q\left( S \right)$,但平方幂等元不一定是幂等元.

    通常一个有限半群 $S$ 的秩定义为 ${\rm{rank}}(S) = \min \left\{ {|A|:A \subseteq S,\langle A\rangle= S} \right\}$. 如果 $S$ 是由幂等元集 $E\left( S \right)$ 生成的,那么 $S$ 的幂等元秩定义为 ${\rm{idrank}}(S) = \min \left\{ {\left| A \right|} \right.:A \subseteq \left. {E(S),\langle A\rangle= S} \right\}$. 如果 $S$ 是由平方幂等元集 $Q\left( S \right)$ 生成的,那么 $S$ 的平方幂等元秩定义为 ${\rm{qidrank}}(S) = \min \left\{ {\left| A \right|} \right.:$$\left. {A \subseteq Q(S) \subseteq S,\langle A\rangle= S} \right\}$. 半群 $S$ 关于其子半群 $V$ 的相关秩定义为 $r(S,V)$$ = \min \left\{ {\left| A \right|} \right.:$$\left. {A \subseteq S,A \cap V = \emptyset ,\langle A \cup V\rangle= S} \right\}$. 目前,对于有限半群的生成集、幂等元生成集、平方幂等元生成集、秩、幂等元秩、平方幂等元秩及其相关秩的研究已有许多结果.

    $[n] = \{ 1,2,3, \cdots ,n - 1,n\} (n \geqslant 3)$ 并赋予自然数的大小序. ${S_n}$${I_n}$ 分别表示 $\left[ n \right]$ 上的对称群与部分一一变换半群(即,对称逆半群),$S{I_n} = {I_n}\backslash {S_n}$$\left[ n \right]$ 上的部分一一奇异变换半群. 设 $\alpha\in S{I_n}$,若对任意的 $x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$$x\alpha\geqslant x$,则称 $\alpha $ 是保升序的. 记 $SI_n^ + $$\left[ n \right]$ 上的保升序有限部分一一奇异变换半群. 若对任意的 $x,y \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right),x \leqslant y$ 可推出 $x\alpha\leqslant y\alpha $,则称 $\alpha $ 是保序的.

    $O{I_n}$$\left[ n \right]$ 上的保序有限部分一一奇异变换半群. 令 ${G_n} = SI_n^ +\cap O{I_n}$. 显然,${G_n}$$S{I_n}$ 的子半群,称为保升序且保序有限部分一一奇异变换半群. 记

    $ \qquad G(n,r) = \left\{ {\alpha\in {G_n}:} \right. \left. {\left| {{\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}}} \right| \leqslant r} \right\},1 \leqslant r \leqslant n - 1, $

    易见 $G\left( {n,r} \right)$${G_n}$ 的子半群且对任意的 $\alpha\in G\left( {n,r} \right)$$\beta ,\gamma \in {G_n}$,均有 $\left| {{\rm{Im(}}\beta \alpha \gamma {\rm{)}}} \right| \leqslant r$,即 $\beta \alpha \gamma \in G(n,r)$,因而 $G\left( {n,r} \right)$${G_n}$ 的双边星理想. 文献[1]证明了保降序且保序有限奇异变换半群 ${H_n}$ 是由秩为 $n - 1$ 的幂等元生成的,且它的秩和幂等元秩都为 $n - 1$. 文献[2]确定了保降序且保序有限奇异变换半群 ${H_n}$ 的星理想 $H\left( {n,r} \right)$ 是由秩为 $r$ 的幂等元生成的,且它的秩和幂等元秩都为 $C_{n - 1}^{r - 1}$(其中,$C_{n - 1}^{r - 1}$ 是从 $n - 1$ 个元素中取出 $r - 1$ 个元素的组合数). 文献[3]获得了保降序且保序有限部分奇异变换半群 $P{H_n}$ 的星理想 $P\left( {n,r} \right)$ 是由秩为 $r$ 的幂等元生成的,且它的秩和幂等元秩都为 $\displaystyle\sum\limits_{i = r}^n {C_n^i} C_{i - 1}^{r - 1}$(注:$C_0^0 = C_{ - 1}^{ - 1} = 1,C_{i - 1}^{ - 1} = 0$,其中,$i = 1,2, \cdots ,n - 1,n$). 文献[4]研究降序全变换半群. 文献[5]获得了部分有限降序变换半群的秩. 文献[6]确定了部分保序变换半群的秩. 文献[7]在文献[6]的基础上确定了部分保序变换半群的幂等元秩. 文献[8]研究了一笔相关总索赔的分布. 文献[9]研究了关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用. 文献[10]获得了第一型曲面积分的一题多解的方法. 文献[11]给出了基于矩阵奇异值分解的证据冲突度量算法.

    $A$ 是自然序集 $\left[ n \right]$ 的非空子集,符号 ${\varepsilon _A}$ 表示 $A$ 上的恒等变换. 设 $\alpha\in G\left( {n,r} \right)$,用 $\operatorname{Im} \left( \alpha\right)$ 表示 $\alpha $ 的象集,用 ${\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 表示 $\alpha $ 的定义域,${\rm{Ker}}\left( \alpha\right)$ 表示 ${\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 上的如下等价关系:${\rm{Ker}}\left( \alpha\right) =\{ \left( {x,y} \right) \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right) \times{\rm{Dom}}\left( \alpha\right):$$ x\alpha= y\alpha \}$. 对任意的 $t \in \operatorname{Im} \left( \alpha\right)$$t{\alpha ^{ - 1}}$ 表示 $t$ 的原象集,且 $\left| {t{\alpha ^{ - 1}}} \right| = 1$. 用 $f\left( \alpha\right)$ 表示 $F\left( \alpha\right) = \left\{ {x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right):x\alpha= x} \right\}$ 的基数,则 $f\left( \alpha\right) = \left| {\left\{ {t \in \operatorname{Im} \left( \alpha\right):t \in t{\alpha ^{ - 1}}} \right\}} \right| = \left| {\left\{ {x \in } \right.} \right.{\rm{Dom}}$$\left. {\left. {\left( \alpha\right):x\alpha= x} \right\}} \right|$. 若 $\left| {\operatorname{Im} \alpha } \right| = k,1 \leqslant k \leqslant r \leqslant n - 1$,则由保升序性和保序性容易验证 $\alpha $ 有如下表示法(称为 $\alpha $ 的标准表示),

    $\qquad\alpha= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{b_{k - 1}}}&{{b_k}} \end{array}} \right),$

    其中,$ {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_i} < \cdots < {a_{k - 1}} < {a_k}$$ {b_1} < {b_2} < \cdots < {b_i} < \cdots < {b_{k - 1}} < {b_k}$,且对任意的 $j \in \left\{ {1,2, \cdots ,i - 1,i,i +1, \cdots ,} \right.$$ k - 1,\left. k \right\}$${b_i} \geqslant {a_j}$.

    为叙述方便,这里引用 ${\rm{Gree}}{{\rm{n}}^ * }{\rm{ - }}$ 等价关系. 不难验证,在半群 $G\left( {n,r} \right)$${L^ * },{R^ * },{J^ * }$ 具有如下刻画:对任意的 $ \alpha ,\beta \in G(n,r)$$(\alpha ,\beta ) \in {L^ * } \Leftrightarrow \operatorname{Im} (\alpha ) = \operatorname{Im} (\beta )$

    $\qquad \begin{array}{l} (\alpha ,\beta ) \in {R^ * } \Leftrightarrow {\rm{Ker(}}\alpha ) = {\rm{Ker(}}\beta ),\\ (\alpha ,\beta ) \in J ^* \Leftrightarrow \left| {\operatorname{Im} \alpha } \right| = \left| {\operatorname{Im} \beta } \right|. \end{array} $

    易见 ${L^ * } \subseteq {J^ * },{R^ * } \subseteq {J^ * }$. 记 $J_k^ *= \left\{ {\alpha\in G\left( {n,r} \right):\left| {\operatorname{Im} \alpha } \right| = k} \right\},k = 0,1,2, \cdots ,r - 1,r$. 显然 $J_0^ * ,J_1^ * ,J_2^ * , \cdots ,$$J_{k - 1}^ * ,J_k^ * ,$ 恰好是 $G\left( {n,r} \right)$$r + 1$${J^ * } - $ 类,并且 $G(n,r) = \{ \alpha\in {G_n}:|\operatorname{Im} \alpha | \leqslant r\}= $$\displaystyle\bigcup\limits_{k = 0}^r {J_k^ * } $. 不难验证 ${G_n}$ 具有如下包含关系的双边星理想链 $G(n,0) \subset G(n,1) \subset G(n,2) \subset \cdots $$ \subset \cdots \subset G(n,n - 2)\subset G(n,n - 1) = {G_n}.$

    $\alpha\in G\left( {n,r} \right)$,如果 $\alpha $ 是平方幂等元且对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 都有 $\displaystyle\sum\limits_{x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)} {\left| {x\alpha- x} \right|}= m$,则称 $\alpha $ 是半群 $G\left( {n,r} \right)$$m $- 平方幂等元. 半群 $G\left( {n,r} \right)$ 中所有的 $m$- 平方幂等元之集记为 ${Q^m}\left( {G(n,r)} \right)$. 用 $E(J_k^ * )$ 表示 $J_k^ * $ 的幂等元集,${Q^m}(J_k^ * )$ 表示 $J_k^ * $ 中的 $m$- 平方幂等元集.

    特别地,$0\text{-}$ 平方幂等元和 $1\text{-}$ 平方幂等元统称为 $(0,1)$- 平方幂等元,记 $D(J_k^ * ) = {Q^0}(J_k^ * ) \cup {Q^1}(J_k^ * ).$

    文中主要证明半群 $G\left( {n,r} \right)$ 是由 $(0,1)$- 平方幂等元生成的,记半群 $G\left( {n,r} \right)$$(0,1)$- 平方幂等元秩为 ${\rm{qidrank}}_{\rm{1}}^{\rm{0}}(G(n,r))$.

    本文未定义的术语及符号参见文献[1213].

    本文在文献[17]的基础上,继续考虑保升序且保序有限部分一一奇异变换半群 ${G_n}$ 的双边星理想 $G\left( {n,r} \right)$ 的秩,$(0,1)$- 平方幂等元秩及其相关秩. 获得了如下结果.

    引理1 设 $\alpha\in G\left( {n,r} \right)$,则下列条件等价:

    (1) $\alpha $ 是幂等元.

    (2)对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$$x\alpha= x$.

    (3) $\alpha $$0$- 平方幂等元.

    证明 $(1) \Rightarrow (2)$$\alpha $ 是幂等元,则 ${\alpha ^2} = \alpha $. 于是,对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$$(x\alpha )\alpha= x{\alpha ^2} = $$x\alpha $,可知 $(x\alpha ,x) \in {\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}}$. 注意到,${\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}}$ 中的每一个等价类都是单点集,必有 $x\alpha= x$,即,对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$$x\alpha= x$.

    $(2) \Rightarrow (1)$ 对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$$x\alpha= x$,可知 $x{\alpha ^2} = (x\alpha )\alpha= x\alpha $. 于是 ${\alpha ^2} = \alpha $,即 $\alpha $ 是幂等元.

    $(3) \Rightarrow (2)$$\alpha $$0 $- 平方幂等元,则对任意的 $x$$ \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 都有 $\displaystyle\sum\limits_{{\rm{ }}x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right){\rm{ }}} {\left| {x\alpha- x} \right|}= 0$,于是 $\left| {x\alpha- x} \right| = 0$,即,$x\alpha= x$.

    $(2) \Rightarrow (3)$ 是显然的.

    证毕.

    引理2 设 $ \alpha \in G\left( {n,r} \right)$,则 $ \alpha$$ 1$- 平方幂等元当且仅当存在唯一的 $ i \in {\rm{Dom}}\left( \alpha \right)$$ i\alpha - i =1 $ 且对任意的 $j \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)\backslash \{ i\} $$j\alpha= j$.

    证明 充分性显然,只需证必要性.

    假设存在 $i,j \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $i\alpha\ne i$$j\alpha\ne j$,则 $i\alpha- i \geqslant 1,j\alpha- j \geqslant 1$. 易见,对任意的 $x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $\displaystyle\sum\limits_{{\rm{ }}x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right){\rm{ }}} {\left| {x\alpha- x} \right|} \geqslant 2$$\displaystyle\sum\limits_{{\rm{ }}x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right){\rm{ }}} {\left| {x\alpha- x} \right|}= 1$ 矛盾. 结合引理1可知存在唯一的 $i \in $${\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $i\alpha\ne i$,则 $i\alpha- i = 1$$i\alpha- i \geqslant 2$. 若 $i\alpha- i \geqslant 2$. 由此可知:对任意的 $x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $\displaystyle\sum\limits_{{\rm{ }}x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right){\rm{ }}} {\left| {x\alpha- x} \right|} \geqslant 2$$\displaystyle\sum\limits_{{\rm{ }}x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right){\rm{ }}} {\left| {x\alpha- x} \right|}= 1$ 矛盾. 即,存在唯一的 $i \in $${\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $i\alpha- i = 1$ 且对任意的 $j \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)\backslash \{ i\} $$j\alpha= j$. 证毕.

    引理3 设 $\alpha ,\beta \in G\left( {n,r} \right)$,则 $F(\alpha \beta ) = F(\alpha ) \cap F(\beta ) = F(\beta \alpha )$.

    证明 若对任意的 $x \in F(\alpha \beta )$ 必有 $x(\alpha \beta ) = (x\alpha )\beta= x$. 令 $x\alpha= y$,则 $y\beta= x$. 注意到 $\alpha ,\beta $ 都具有保升序性,可推出 $x \leqslant y$$y \leqslant x$,即 $x = y$. 进而,对任意的 $x \in F(\alpha \beta )$ 必有 $x\alpha= x\beta= $$x(\alpha \beta ) = x$ 可知 $x \in F(\alpha ) \cap F(\beta )$,即 $F(\alpha \beta ) \subseteq F(\alpha ) \cap F(\beta )$. 若对任意的 $x \in F(\alpha ) \cap F(\beta )$ 必有 $x\alpha= x$$x\beta= x$ 可知 $x(\alpha \beta ) = (x\alpha )\beta= x\beta= x$,进而有 $x \in F(\alpha \beta )$,即 $F(\alpha ) \cap F(\beta ) \subseteq F(\alpha \beta )$. 结合上述有 $F(\alpha \beta ) = F(\alpha ) \cap F(\beta )$. 同理可证 $F(\beta \alpha ) = F(\beta ) \cap F(\alpha )$. 综合上述有 $F(\alpha \beta ) = F(\alpha ) \cap F(\beta ) = F(\beta \alpha )$. 证毕.

    引理4 对 $0 \leqslant k \leqslant r \leqslant n - 1$,有 $J_k^ * \subseteq \langle D(J_k^ * )\rangle $.

    证明 以下分2种情形加以证明.

    情形1 当 $k = 0$ 时,令 $\phi $ 为空变换,则 $J_0^ *= D(J_0^ * ) = {Q^0}(J_0^ * ) = \{ \phi \} $,即 $J_0^ * \subseteq \langle D(J_0^ * )\rangle $.

    情形2 当 $1 \leqslant k \leqslant r \leqslant n - 1$ 时,设 $\alpha $ 的标准表示如下:

    $\qquad\alpha= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{b_{k - 1}}}&{{b_k}} \end{array}} \right),$

    其中,$ {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_i} < \cdots < {a_{k - 1}} < {a_k}$$ {b_1} < {b_2} < \cdots < {b_i} < \cdots < {b_{k - 1}} < {b_k}$,且对任意的 $j \in \left\{ {1,2, \cdots ,i - 1,i,i + 1, \cdots ,} \right.$$k - 1,\left. k \right\}$${b_i} \geqslant {a_j}$.

    由引理1可知,$\alpha\in E(J_k^ * ) = {Q^0}(J_k^ * )$ 当且仅当 $f(\alpha ) = k$. 再由 $1 $- 平方幂等元的定义可知 $\alpha\in {Q^1}(J_k^ * )$ 当且仅当存在唯一的元素 $x \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)$ 使得 $x\alpha- x = 1$,且对任意的 $y \in {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)\backslash \{ x\} $$y\alpha= y$. 易见 $F(\alpha ) = {\rm{Dom}}\left( \alpha\right)\backslash \{ x\} $$f(\alpha ) = k - 1$.

    如果 ${b_k} = {a_k}$ 时,将考虑 ${b_{k{\rm{ - }}1}} = {a_{k{\rm{ - }}1}}$$ {b_{k{\rm{ - }}1}} > {a_{k{\rm{ - }}1}}$. 如果 $ {a_k} < {b_k}$ 时,记 ${b_k} - {a_k} = d$,即 ${a_k} + d = {b_k}$. 令

    $\qquad{\alpha _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + 1} \end{array}} \right),$

    $\qquad{\alpha _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + 1} \\ {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + 2} \end{array}} \right), \cdots ,$

    $\qquad{\alpha _i} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + i - 1} \\ {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + i} \end{array}} \right), \cdots ,$

    $\qquad{\alpha _{d - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + d - 2} \\ {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + d - 1} \end{array}} \right),$

    $\qquad\beta= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_i}}& \cdots \\ {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_i}}& \cdots \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{k - 1}}}&{{a_k} + d - 1} \\ {{b_{k - 1}}}&{{b_k}} \end{array}} \right),$

    ${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _i}, \cdots ,{\alpha _{d - 1}} \in {Q^1}(J_k^ * )$$\beta \in J_k^ * $$\alpha= {\alpha _1}{\alpha _2} \cdots {\alpha _i} \cdots {\alpha _{d - 1}}\beta ,f(\beta ) = f(\alpha )$.

    $i + 1 \leqslant m \leqslant k$${b_m} = {a_m}$. 如果 ${b_i} = {a_i}$ 时,将考虑 ${b_{i{\rm{ - }}1}} = {a_{i{\rm{ - }}1}}$$ {b_{i{\rm{ - }}1}} > {a_{i{\rm{ - }}1}}$. 如果 $ {a_i} < {b_i}$ 时,记 ${b_i} - {a_i} = l$,即 ${a_i} + l = {b_i}$. 令

    $\qquad{\alpha _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i}}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + 1}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \end{array}} \right),$

    $\qquad{\alpha _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + 1}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + 2}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \end{array}} \right), \cdots ,$

    $\qquad{\alpha _i} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + i - 1}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + i}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \end{array}} \right), \cdots ,$

    $\qquad{\alpha _{l - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + i - 2}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + i - 1}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \end{array}} \right),$

    $\qquad\beta= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}& \cdots &{{a_{i - 1}}}&{{a_i} + l - 1}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \\ {{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_{i - 1}}}&{{b_i} + i}&{{a_{i + 1}}}& \cdots &{{a_{k - 1}}}&{{a_k}} \end{array}} \right),$

    ${\alpha _1},{\alpha _2}, \cdots ,{\alpha _i}, \cdots ,{\alpha _{l - 1}} \in {Q^1}(J_k^ * )$$\beta \in J_k^ * $$\alpha= {\alpha _1}{\alpha _2} \cdots {\alpha _i} \cdots {\alpha _{l - 1}}\beta ,f(\beta ) = f(\alpha )$.

    由情形2可知,对 $1 \leqslant k \leqslant r \leqslant n - 1$$J_k^ * \subseteq \langle D(J_k^ * )\rangle $.

    综合上述2种情形可知,对任意的 $\alpha\in J_k^ * $ 必有 $\alpha\in \langle D(J_k^ * )\rangle $$\alpha $ 可以表达为 $D(J_k^ * )$ 中若干元素的乘积. 即证得,对 $0 \leqslant k \leqslant r \leqslant n - 1$,有 $J_k^ * \subseteq \langle D(J_k^ * )\rangle $. 证毕.

    引理5 对 $0 \leqslant k \leqslant r - 1 \leqslant n - 2$,有 $D(J_k^ * ) \subseteq D(J_{k + 1}^ * ) \cdot D(J_{k + 1}^ * )$.

    证明 以下分2种情形加以证明.

    情形1 当 $k = 0$ 时,由引理2的情形1,知 $D(J_0^ * ) = \{ \phi \} $. 令 ${\varepsilon _1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \end{array}} \right),{\varepsilon _2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 2 \end{array}} \right),$${\varepsilon _1},{\varepsilon _2} \in D(J_1^ * )$$\phi= {\varepsilon _1}{\varepsilon _2} = {\varepsilon _2}{\varepsilon _1}$. 易见 $D(J_0^ * ) \subseteq D(J_1^ * ) \cdot D(J_1^ * )$.

    情形2 当 $1 \leqslant k \leqslant r - 1 \leqslant n - 2$ 时,对任意的 $\alpha\in D(J_k^ * )$,若 $\alpha\in {Q^0}(J_k^ * )$ 时,注意到 $1 \leqslant k \leqslant $$r - 1 \leqslant n - 2$ 可以选择 $b,c \in [n]\backslash {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$,且 $b \ne c$,令 $A = \{ b\} \cup {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$$B = \{ c\} \cup {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$,则 ${\varepsilon _A},{\varepsilon _B} \in D(J_k^ * )$$\alpha= {\varepsilon _A}{\varepsilon _B} = {\varepsilon _B}{\varepsilon _A}$. 若 $\alpha\in {Q^1}(J_k^ * )$ 时,必有唯一的 $x \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $x\alpha- x = 1$ 且对任意的 $y \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)\backslash \{ }}x{\rm{\} }}$$y\alpha= y$. 注意到 $1 \leqslant k \leqslant r - 1 \leqslant n - 2$ 可取 $c \in [n]\backslash {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$$c \ne x\alpha $,令 $A = \{ x\alpha \} \cup {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$

    $ \qquad x\beta = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x\alpha },&{{\text{当}}x \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}{\text{时}}};\,\,\,\\ c,&{{\text{当}}x = c{\text{时}}};\qquad\quad\ \end{array}} \right. $

    ${\varepsilon _A},\beta \in D(J_{k + 1}^ * )$$ \alpha = \beta {\varepsilon _A}$.

    由情形2可知,对 $1 \leqslant k \leqslant r - 1 \leqslant n - 2$,有 $D(J_k^ * ) \subseteq D(J_{k + 1}^ * ) \cdot D(J_{k + 1}^ * )$.

    综合上述2种情形可知,对 $0 \leqslant k \leqslant r - 1 \leqslant n - 2$,有 $D(J_k^ * ) \subseteq D(J_{k + 1}^ * ) \cdot D(J_{k + 1}^ * )$. 证毕.

    定理1 设自然数 $n \geqslant 3$,则 $D(J_k^ * )$$G\left( {n,r} \right)$ 的生成集,即 $G\left( {n,r} \right) = \langle D(J_k^ * )\rangle $.

    证明 由引理4和引理5可知,对任意的 $\alpha\in G\left( {n,r} \right)$ 都可以表达成 $G\left( {n,r} \right)$ 的顶端 ${J^ * } $- 类 $J_r^ * $ 中的 $D(J_k^ * )$ 中秩为 $r$ 的若干元素的乘积或者 $\alpha\in D(J_k^ * )$. 即,$D(J_k^ * )$$G\left( {n,r} \right)$ 的生成集,$G\left( {n,r} \right) = $$\langle D(J_k^ * )\rangle $. 证毕.

    引理6 设 $\alpha ,\beta \in J_r^ * $$\alpha \beta \in J_r^ * $,则 $\alpha \beta $ 是幂等元的充要条件是 $\alpha= \alpha \beta= \beta $.

    证明 若 $\alpha \beta \in J_r^ * $$\alpha \beta $ 是幂等元,则由引理1可知 $f(\alpha \beta ) = \left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = r$. 再由引理4可知 $r = f(\alpha \beta ) \leqslant f(\alpha ) \leqslant \left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = r$$r = f(\alpha \beta ) \leqslant f(\beta ) \leqslant \left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = r$ 必有 $\left| {{\rm{Im}}(\alpha )} \right| = $ $\left| {{\rm{Im}}(\beta )} \right| = \left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = f(\alpha ) = f(\beta ) =$$ f(\alpha \beta ) = r$. 注意到引理4及其 ${\rm{Im(}}\alpha \beta {\rm{)}} \subseteq {\rm{Im(}}\beta {\rm{)}}$${\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}} \subseteq {\rm{Ker(}}\alpha \beta {\rm{)}}$$\left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = \left| {{\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}}} \right|$$\left| {{\rm{Im}}(\beta )} \right| = \left| {{\rm{Ker(}}\beta {\rm{)}}} \right|$$[n]$ 的有限性可知 ${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = $${\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = $$F(\alpha ) = F(\alpha \beta )$$ = F(\beta ) = {\rm{Im(}}\beta {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\beta {\rm{)}}$,于是 $a = \alpha \beta= \beta $.

    反之,若 $a = \alpha \beta= \beta $,则 ${(\alpha \beta )^2} = (\alpha \beta )(\alpha \beta ) = \alpha \beta $. 易见,$\alpha \beta $ 是幂等元. 证毕.

    引理7 设 $\alpha ,\beta \in J_r^ * $$\alpha \beta \in J_r^ * $,则 $\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 当且仅当 $\alpha\in {Q^0}(J_r^ * ),\beta \in {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta= \beta $$\beta \in {Q^0}(J_r^ * ),$$\alpha\in {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta= \alpha $.

    证明 充分性是显然的,只需证必要性.

    $\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$,则 $f(\alpha \beta ) = r - 1$. 由引理4必有 $r - 1 = f(\alpha \beta ) \leqslant f(\alpha ) \leqslant \left| {{\rm{Im}}(\alpha )} \right| = r$$r - 1= f(\alpha \beta ) \leqslant f(\beta ) \leqslant$$ \left| {{\rm{Im}}(\beta )} \right| = r$. 以下分7种情形讨论.

    情形1 若 $f(\alpha ) = f(\beta ) = r$,则由引理1可知 $\alpha ,\beta \in {Q^0}(J_r^ * )$. 如果 $\alpha= \beta $,则 $\alpha= \alpha \beta= \beta \in $${Q^0}(J_r^ * )$$\alpha ,\beta \in $${Q^1}(J_r^ * ) $ 矛盾. 如果 $\alpha\ne \beta $,则 $\alpha \beta \in G\left( {n,r - 1} \right)$$\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 矛盾. 因此,情形1不成立.

    情形2 若 $f(\alpha ) = f(\beta ) = r - 1$$\alpha ,\beta \in {Q^1}(J_r^ * )$. 由 $\alpha \beta \in J_r^ * $ 必有 ${\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha \beta {\rm{)}}$. 于是,设 ${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = W$. 由 $\alpha\in {Q^1}(J_r^ * )$ 可知:存在唯一的 $x \in W$ 使得 $x\alpha- x = 1$ 且对任意的 $y \in W\backslash \{ x\} $ 都有 $y = y\alpha $. 记 $h = x\alpha= x + 1$,则 ${\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = (W\backslash (x) \cup \{ h\} ) = $${\rm{Dom(}}\beta {\rm{)}}$. 再由 $\beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 可知 $ h\beta >h$$h\beta= h$. 若 $ h\beta >h$,则 $ x\alpha \beta = (x\alpha )\beta = h\beta > h = x\alpha = $$ x+1>x$,即,$x\alpha \beta - x \geqslant 2$. 由此可见 $\alpha \beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 矛盾. 若 $h\beta= h$,由 $\beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 可知:存在唯一的 $l \in {\rm{Dom(}}\beta {\rm{)}}$ 使得 $l\beta - l = 1$ 且对任意的 $y \in {\rm{Dom(}}\beta {\rm{)\backslash \{ }}l{\rm{\} }}$ 都有 $y = y\beta $. 显然有 $h \ne l,x \ne l$$l\beta= l$. 容易验证 $ x\alpha \beta = (x\alpha )\beta = h\beta > h > x$$ l\alpha \beta = (l\alpha )\beta = l\beta > l$. 由此可见 $\alpha \beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 矛盾. 因此,情形2不成立.

    情形3 若 $f(\alpha ) = f(\beta ) = r - 1$$\alpha ,\beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$. 由 $\beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$ 可知:至少存在 $x \in {\rm{Dom}}$$(\alpha )$ 使得 $x - x\beta \geqslant 2$ 或存在 $y,z \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $y\beta - y = 1,z\beta - z = 1$. 再由 $\alpha \beta \in J_r^ * $ 可得 ${\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha \beta {\rm{)}}$. 进而有 $a \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $a\alpha= x$$a \leqslant x$$b,c \in $${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $b\alpha= y,c\alpha= z$$b \leqslant y,c \leqslant z$. 易见,$a\alpha \beta= (a\alpha )\beta= x\beta $$b\alpha \beta= (b\alpha )\beta= $ $y\beta $$c\alpha \beta= (c\alpha )\beta= z\beta $. 结合上述有 $a\alpha \beta - a \geqslant x\beta - x \geqslant 2$$b\alpha \beta - b \geqslant y\beta - y = 1$$c\alpha \beta - c \geqslant $ $z\beta - z = 1$. 易见 $\alpha \beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 矛盾. 因此,情形3不成立.

    类似情形3的证明可得:

    情形4 若 $f(\alpha ) = f(\beta ) = r - 1$$\alpha\in {Q^1}(J_r^ * )$$\beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$ 不成立.

    情形5 若 $f(\alpha ) = f(\beta ) = r - 1$$\alpha\notin {Q^1}(J_r^ * ),\beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$. 由 $\alpha\notin {Q^1}(J_r^ * )$ 可知:至少存在 $x$$ \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $x\alpha- x \geqslant 2$ 或存在 $y,z \in {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$ 使得 $y\alpha- y = 1,z\alpha- z = 1$. 由保升序性可得 $ x < x\alpha \leqslant (x\alpha )\beta = x\alpha \beta $$ y < y\alpha \leqslant (y\alpha )\beta = y\alpha \beta $$ z < z\alpha \leqslant (z\alpha )\beta = z\alpha \beta $. 由此可见 $x\alpha \beta - x \geqslant $$2$$y\alpha \beta - y \geqslant 1$$z\alpha \beta - z \geqslant 1$. 于是,有 $\alpha \beta \notin {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta \in {Q^1}(J_r^ * )$ 矛盾. 因此,情形5不成立.

    情形6 若 $f(\alpha ) = r,f(\beta ) = r - 1$,则由引理1可知 $\alpha\in {Q^0}(J_r^ * )$. 再由 $\alpha ,\beta \in J_r^ * $$\alpha \beta \in J_r^ * $ 可知 $\left| {{\rm{Im}}(\alpha )} \right| = \left| {{\rm{Im}}(\beta )} \right| = \left| {{\rm{Im}}(\alpha \beta )} \right| = 1$${\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}}$${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha \beta {\rm{)}}$. 注意到 ${\rm{Im(}}\alpha \beta {\rm{)}}$$ \subseteq {\rm{Im(}}\beta {\rm{)}}$${\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}} \subseteq {\rm{Ker(}}\alpha \beta {\rm{)}}$$[n]$ 的有限性可得 ${\rm{Im(}}\alpha \beta {\rm{)}} = {\rm{Im(}}\beta {\rm{)}}$${\rm{Ker(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Ker(}}\alpha \beta {\rm{)}}$. 于是,${\rm{Dom(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Im(}}\alpha {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\beta {\rm{)}} = {\rm{Dom(}}\alpha \beta {\rm{)}},{\rm{Im(}}\alpha \beta {\rm{)}} =$$ {\rm{Im(}}\beta {\rm{)}}$. 注意到保序性必有 $\beta= \alpha \beta \notin $${Q^1}(J_r^ * )$. 由此可见 $\alpha\in {Q^0}(J_r^ * )$$\beta \in {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta= \beta $.

    类似情形6的证明可得:

    情形7 若 $f(\alpha ) = r - 1,f(\beta ) = r$ 必有 $\beta \in {Q^0}(J_r^ * )$$\alpha\in {Q^1}(J_r^ * )$$\alpha \beta= \alpha $. 证毕.

    结合引理6与引理7的证明,得到如下推论1.

    推论1 设自然数 $n \geqslant 3$,则 $D(J_r^ * )$ 既是半群 $G(n,r)$ 的唯一的极小生成集又是半群 $G(n,r)$ 的唯一的极小 $(0,1)$- 平方幂等元生成集.

    定理2 设自然数 $n \geqslant 3$,则 ${\rm{rank}}(G(n,r)) = {\rm{qirank}}_{\rm{1}}^{\rm{0}}(G(n,r)) = \dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n}C_n^r$.

    证明 自然序集 $[n] = \{ 1,2, \cdots ,n - 1,n\} $$r$ 元子集共有 $C_n^r$ 个,由引理1容易得到 $J_r^ * $ 中有 $C_n^r$ 个幂等元. 另一方面,$[n]$ 的2元连续子集为 $\{ 1,2\} ,\{ 2,3\} , \cdots ,\{ i - 1,i\} , \cdots, \{ n - 1,n\} $$n - 1$ 个. 再由 $(0,1) $- 平方幂等元的定义可知 $J_r^ * $ 中有 $(n - 1)C_{n - 2}^{r - 2}$$(0,1)$- 平方幂等元. 于是 $\left| {{Q^0}(J_r^ * )} \right| = C_n^r$$\left| {{Q^1}(J_r^ * )} \right| = (n - 1)C_{n - 2}^{r - 2}$. 注意到$D(J_r^ * ) = $$ {Q^0}(J_r^ * ) \cup {Q^1}(J_r^ * ),{Q^0}(J_r^ * ) \cap {Q^1}(J_r^ * ) = \phi $,必有 $\left| {D(J_r^ * )} \right| = $$ C_n^r + (n - 1)C_{n - 2}^{r - 2} = \dfrac{{n!}}{{(n - r)!r!}} + \dfrac{{(n - 1) \times (n - 2)!}}{{(n - r - 1)!(r - 1)!}} = \dfrac{{n!}}{{(n - r)!r!}} + $$\dfrac{{(n - r) \times r \times n!}}{{n \times (n - r)!r!}} = \dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n}C_n^r.$ 再结合推论1可得:${\rm{rank}}(G(n,r)) = {\rm{qidrank}}_{\rm{1}}^{\rm{0}}(G(n,r)) = \dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n}C_n^r$. 证毕.

    定理3 设自然数 $ n \geqslant 3$,则 $ {\rm{r}}(G(n,r),G(n,l)) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,}\\ {\dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n},} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \,{{\text{当}}l = r{\text{时}};}\\ \qquad{{\text{当}}0 \leqslant l < r{\text{时}}.} \end{array}$

    证明 当 $l = r$ 时,显然有 ${\rm{r}}(G(n,r),G(n,l)) = 0$. 当 $0 \leqslant l < r \leqslant n - 1$ 时,由定理1与定理2的证明过程可知 $G(n,r) = \langle D(J_n^r)\rangle ,D(J_n^r) \cap G(n,l) = \phi ,\left| {D(J_n^r)} \right| = \dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n}C_n^r$,则 ${\rm{r}}(G(n,r),G(n,l)) = \dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n}C_n^r$,即证得:

    $ {\rm{r}}(G(n,r),G(n,l)) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,}\\ {\dfrac{{nr + n - {r^2}}}{n},} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} \,{{\text{当}}l = r{\text{时}};}\\ \qquad{{\text{当}}0 \leqslant l < r{\text{时}}.} \end{array} $

    证毕.

参考文献 (13)

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