时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量

杨丽霞 张毅

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时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量

    作者简介: 杨丽霞(1993−),女,江苏人,硕士生,研究方向:力学中的数学方法. E-mail:490843895@qq.com;
    通讯作者: 张毅, zhy@mail.usts.edu.cn
  • 中图分类号: O 316

Integrating factors and conserved quantities for Birkhoffian systems on time scales

    Corresponding author: ZHANG Yi, zhy@mail.usts.edu.cn
  • CLC number: O 316

  • 摘要: 研究时间尺度上Birkhoff系统的守恒量,建立时间尺度上Birkhoff系统的积分因子与能量方程,构建利用积分因子法求解该系统守恒量的守恒定理. 时间尺度上Hamilton系统与时间尺度上Lagrange系统的能量方程、积分因子和守恒定理是其特例,最后举例说明结果的应用.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-05-27
  • 录用日期:  2020-01-19
  • 网络出版日期:  2020-02-01
  • 刊出日期:  2020-03-01

时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量

    作者简介:杨丽霞(1993−),女,江苏人,硕士生,研究方向:力学中的数学方法. E-mail:490843895@qq.com
    通讯作者: 张毅, zhy@mail.usts.edu.cn
  • 1. 苏州科技大学 数理学院,江苏 苏州 215009
  • 2. 苏州科技大学 土木工程学院,江苏 苏州 215011

摘要: 研究时间尺度上Birkhoff系统的守恒量,建立时间尺度上Birkhoff系统的积分因子与能量方程,构建利用积分因子法求解该系统守恒量的守恒定理. 时间尺度上Hamilton系统与时间尺度上Lagrange系统的能量方程、积分因子和守恒定理是其特例,最后举例说明结果的应用.

English Abstract

  • 为了统一地处理连续的和离散的动力学问题,德国学者Hilger及Bohner等在其论文中提出了时间尺度分析理论[1-3]. 近年来,时间尺度上动力学理论得到了进一步发展和完善[4-6]. 守恒量在数学、力学和物理学中发挥重要作用. 寻找力学系统守恒量的方法主要有牛顿力学法、分析力学法以及对称性法[7-9]. 1984年,Djukić等提出利用积分因子的概念来构造非保守力学系统的守恒量[10],即通过将系统的运动微分方程乘以适当的积分因子构造系统的守恒律,此法与保守系统能量积分的构造类似. 相比其它寻找守恒量的方法,积分因子法限制条件少,容易计算,从而得到比较深入的研究和应用,并取得了一系列成果[11-14]. 而时间尺度上对称性与守恒量的研究也取得了一些进展[15-19]. 但是,笔者尚未见到利用积分因子法构建时间尺度上约束力学系统守恒量的报道. 文中将积分因子法推广到时间尺度上动力学系统,给出了时间尺度上Birkhoff方程的积分因子的定义,证明了时间尺度上Birkhoff系统的能量方程,给出了时间尺度上Birkhoff系统的守恒定理,并直接应用于时间尺度上Hamilton系统和时间尺度上Lagrange系统.

    • 考虑如下时间尺度上作用量泛函的极值问题[16]

      $I\left( {{{a}}\left( \cdot \right)} \right) = \int_{{t_a}}^{{t_b}} {\left[ {{R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)a_\nu ^\Delta - B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right]} \Delta t$

      且满足互易关系 $\delta a_\nu ^\Delta {\rm{ = }}{\left( {\delta {a_\nu }} \right)^\Delta }$$\delta a_\nu ^\sigma {\rm{ = }}{\left( {\delta {a_\nu }} \right)^\sigma }$ 和边界条件 ${\left. {\delta {a_\nu }} \right|_{t = {t_a}}}{\rm{ = }}{\left. {\delta {a_\nu }} \right|_{t = {t_b}}}{\rm{ = 0}}$,其中 $t \in {\mathbb{T}}$${{a}} = \left( {{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{2n}}} \right)$${a_\nu }:$$ \left[ {a,b} \right] \to {\mathbb{R}}$$a_\nu ^\sigma \left( t \right) = \left( {{a_\nu } \circ \sigma } \right)\left( t \right)$$a_\nu ^\Delta $${\left[ {a,b} \right]^\kappa }$ 上连续,时间尺度上Birkhoff函数 $B:{\mathbb{R}} \times {{\mathbb{R}}^{2n}} \to {\mathbb{R}}$ 和Birkhoff函数组 ${R_\nu }:{\mathbb{R}} \times {{\mathbb{R}}^{2n}} \to {\mathbb{R}}$ 均满足 $B,{R_\nu } \in \operatorname{C} _{rd}^1$$\nu ,\rho = 1,2, \cdots ,2n$. 当作用量泛函(1)在 ${a_\mu }$ 处取得极值时,可得到[16]

      $ \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right) = 0,\;\left( {\mu ,\nu ,\rho = 1,2, \cdots ,2n} \right), $

      方程(2)称为时间尺度上Birkhoff方程.

      时间尺度上Hamilton正则方程和Lagrange方程是方程(2)的特例.

      $a_\mu ^\sigma = \left\{ \begin{array}{l} q_\mu ^\sigma ,\mu = 1,2, \cdots ,n \\ {p_{\mu - n}},\mu = n + 1,n + 2, \cdots ,2n \\ \end{array} \right.,{R_\mu } = \left\{ \begin{array}{l} {p_\mu },\mu = 1,2, \cdots ,n \\ 0,\mu = n + 1,n + 2, \cdots ,2n \\ \end{array} \right.,B = H$

      则方程(2)退化为时间尺度上Hamilton正则方程[20]

      $ q_s^\vartriangle {\rm{ = }}\frac{{\partial H\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right)}}{{\partial {p_s}}},\;p_s^\vartriangle = - \frac{{\partial H\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right)}}{{\partial q_s^\sigma }},\;\left( {s,j = 1,2, \cdots ,n} \right) $

      再令

      $ {p_s} = \frac{{\partial L\left( {t,q_j^\sigma ,q_j^\Delta } \right)}}{{\partial q_s^\vartriangle }},\;H = H\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right) = {p_s}q_s^\vartriangle - L, $

      则方程(4)给出时间尺度上Lagrange方程[6]

      $ \frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }} = 0,\;\left( {s = 1,2, \cdots ,n} \right). $

    • 定义1 如果存在函数集 ${\xi _\mu } = {\xi _\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)$,使得不变式

      $\left[ {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right]{\xi _\mu }$

      恒等变为

      $ \begin{split} &\left[ {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right]{\xi _\mu }\equiv \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left\{ {{R_\mu }{\xi _\mu } - \left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]{\xi _0} + G} \right\} + \\ & \qquad {\lambda _\mu }\left[ {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right], \end{split} $

      其中 ${\xi _0}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$ 为时间尺度上Birkhoff变量 $a_\mu ^\sigma $ 和时间 $t$ 的函数,$\phi \left( t \right)$ 为向前步差函数,则称 ${\xi _\mu } = {\xi _\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)$ 为时间尺度上Birkhoff方程(2)的积分因子.

      由定义1,可得到

      定义2 如果存在函数集 ${\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right)$,使得不变式

      $\left( {p_s^\vartriangle + \frac{{\partial H}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right){\xi _s}$

      恒等地变为

      $\left( {p_s^\Delta + \frac{{\partial H}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right){\xi _s} = \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {{p_s}{\xi _s} - H\tau + \phi \left( t \right)\frac{{\partial H}}{{\partial t}}\tau + G} \right) + {\lambda _s}\left( {p_s^\Delta + \frac{{\partial H}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right),$

      其中 $\tau $$G$${\lambda _s}$$t,q_j^\sigma ,{p_j}$ 的函数,则称 ${\xi _s}{\rm{ = }}{\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right)$ 为时间尺度上Hamilton正则方程(4)的积分因子.

      定义3 如果存在函数集 ${\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,q_j^\Delta } \right)$,使得不变式

      $\left( {\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right){\xi _s}$

      恒等地变为

      $\left( {\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right){\xi _s}{\rm{ = }}\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {L\tau + \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }}\left( {{\xi _s} - q_s^\Delta \tau } \right) - \phi \left( t \right)\frac{{\partial L}}{{\partial t}}\tau - G} \right) + {\lambda _s}\left( {\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right),$

      其中 $\tau $$G$${\lambda _s}$$t,q_j^\sigma ,q_j^\Delta $ 的函数,则称 ${\xi _s}{\rm{ = }}{\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,q_j^\Delta } \right)$ 为时间尺度上Lagrange方程(6)的积分因子.

    • 定理1 如果时间尺度上作用量泛函(1)在 ${a_\mu }$ 处取得极值,则成立如下等式

      $ \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right) - \phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta } \right)} \right) = \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta, $

      方程(10)称为时间尺度上Birkhoff系统的能量方程.

      证明 首先,存在 $c \in {\mathbb{R}^{2n}},c \ne 0$,满足 $1 - {c^{\rm T}}a_\mu ^\Delta \left( t \right) > 0$$\forall t \in \left[ {{t_a},{t_b}} \right]_{\mathbb{T}}^\kappa $.

      其次,设映射 $S:t \to S\left( t \right),S\left( t \right) = t - {c^{\rm T}}{a_\mu }\left( t \right),t \in {\left[ {{t_a},{t_b}} \right]_{\mathbb{T}}},S\left( t \right) \in {\mathbb{R}}$,故 ${S^\Delta }\left( t \right) = 1 - {c^{\rm T}}a_\mu ^\Delta \left( t \right)$ 是delta−可微的,$S$${\left[ {{t_a},{t_b}} \right]_{\mathbb{T}}}$ 上是严格递增的. 记 $\tilde {\mathbb{T}} = S\left( {{{\left[ {{t_a},{t_b}} \right]}_{\mathbb{T}}}} \right)$ 是一个新的时间尺度,$\tilde \sigma $$\tilde \Delta $$\tilde {\mathbb{T}}$ 上的前跳算子和delta−导数.

      $\tau = S\left( t \right)$,令 ${\eta _\mu }\left( \tau \right) = {a_\mu }\left( {{S^{ - 1}}\left( \tau \right)} \right)$,其中 $\tau \in \tilde {\mathbb{T}}$,注意到

      $t = {S^{ - 1}}\left( \tau \right) = \tau + {c^{\rm T}}{\eta _\mu }\left( \tau \right),{\eta _\mu }\left( \tau \right) = {a_\mu }\left( {\tau + {c^{\rm T}}{\eta _\mu }\left( \tau \right)} \right),$

      由式(10),并利用链式规则,可得到

      $\eta _\mu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right) = a_\mu ^\Delta \left( {\tau + {c^{\rm T}}{\eta _\mu }\left( \tau \right)} \right)\left( {1 + {c^{\rm T}}\eta _\mu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right)} \right),$

      则有

      $ a_\mu ^\Delta \left( t \right) = \frac{{\eta _\mu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right)}}{{1 + {c^{\rm T}}\eta _\mu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right)}},\;1 - {c^{\rm T}}a_\mu ^\Delta \left( t \right) = \frac{1}{{1 + {c^{\rm T}}\eta _\mu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right)}}, $

      因为 $\tilde \sigma \circ S = S \circ \sigma $,故

      $ \tilde \phi \left( \tau \right) = \tilde \sigma \left( \tau \right) - \tau = {S^\sigma }\left( t \right) - S\left( t \right) = \phi \left( t \right)\left( {1 - {c^{\rm T}}a_\mu ^\Delta \left( t \right)} \right),\;{\eta _\mu }\left( {\tilde \sigma \left( \tau \right)} \right) = {\eta _\mu }\left( {S \circ \sigma \left( t \right)} \right) = {a_\mu }\left( {\sigma \left( t \right)} \right), $

      由时间尺度上作用量泛函(1)在 ${a_\mu }$ 处取得极值,得

      $\int_{{t_a}}^{{t_b}} {\left[ {{R_\nu }\left( {t,a_\mu ^\sigma \left( t \right)} \right)a_\nu ^\Delta - B\left( {t,a_\mu ^\sigma \left( t \right)} \right)} \right]} \Delta t = \int_\alpha ^\beta {\left[ {{{\tilde R}_\nu }\left( {\tau ,\eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \tau \right)} \right)\eta _\nu ^{\tilde \Delta }\left( \tau \right) - \tilde B\left( {\tau ,\eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \tau \right)} \right)} \right]} \tilde \Delta \tau ,$

      联合式(11)、(13)和(14),得到

      $ \begin{split} {\tilde R_\nu }\left( {\tau ,{\varpi _\mu }} \right){\rho _\nu } - \tilde B\left( {\tau ,{\varpi _\mu }} \right)= \left[ {R_\nu }\left( {\tau + {c^{\rm T}}{\varpi _\mu } - {c^{\rm T}}\tilde \phi \left( \tau \right){\rho _\mu },{\varpi _\mu }} \right)\frac{{{\rho _\nu }}}{{1 \!+\! {c^{\rm T}}{\rho _\nu }}} - B\left( {\tau + {c^{\rm T}}{\varpi _\mu } - {c^{\rm T}}\tilde \phi \left( \tau \right){\rho _\mu },{\varpi _\mu }} \right) \right]\left( {1 + {c^{\rm T}}{\rho _\nu }} \right) \end{split}, $

      其中 $\tau \in \tilde {\mathbb{T}}$${\varpi _\mu },{\rho _\nu } \in {{\mathbb{R}}^n}$$1 + {c^{\rm T}}{\rho _\nu } > 0$$\alpha = S\left( {{t_a}} \right)$$\beta = S\left( {{t_b}} \right)$$\mu ,\nu = 1,2, \cdots ,2n$.

      由于时间尺度上作用量泛函 $I$${a_\mu }$ 处取得极值,则 $\tilde I$${\eta _\mu }$ 处也取得极值,故满足如下积分形式的Birkhoff方程

      $ \int_\alpha ^\tau {\left( {\frac{{\partial {{\tilde R}_\nu }\left( {\theta ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)}}\eta _\nu ^{\tilde \Delta }\left( \theta \right) - \frac{{\partial \tilde B\left( {\theta ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)}}} \right)} \tilde \Delta \theta - {\tilde R_\mu }\left( {\tau ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \tau \right)} \right) = {c_1},\;{c_1}{\text{任意常数}} $

      对式(16)两边同时求 ${\rho _\nu }$ 的偏导,联合式(13)和(14),可得到

      ${\tilde R_\mu }\left( {\tau ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \tau \right)} \right) = {c^{\rm T}}\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta \left( t \right)} \right) + {R_\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right) - {c^{\rm T}}B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right).$

      对式(16)两边同时求 ${\varpi _l}$ 的偏导,联合式(13)和(14),可得到

      $ \begin{split} &\int_\alpha ^\tau {\left( {\frac{{\partial {{\tilde R}_\nu }\left( {\theta ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)}}\eta _\nu ^{\tilde \Delta }\left( \theta \right) - \frac{{\partial \tilde B\left( {\theta ,\eta _\rho ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \eta _\mu ^{\tilde \sigma }\left( \theta \right)}}} \right)} \tilde \Delta \theta = \int_{{t_a}}^t {{c^{\rm T}}\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}} \right)} \Delta \theta +\\ & \qquad \int_{{t_a}}^t {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}} \right)} \Delta \theta , \end{split} $

      因此,将式(18)和(19)代入式(17),可得到

      $ \begin{split} &\int_{{t_a}}^t {{c^{\rm T}}\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}} \right)} \Delta \theta + \int_{{t_a}}^t {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}} \right)} \Delta \theta- \\ &\qquad {c^{\rm T}}\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta \left( t \right)} \right) - {R_\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right) + {c^{\rm T}}B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right) = {c_1} , \end{split} $

      $ \begin{split} &{c^{\rm T}}\left[ {B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right) - \phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}} - \frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right)}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta \left( t \right)} \right)} \right] + {c^{\rm T}}\int_{{t_a}}^t {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial \theta }}} \right)} \Delta \theta = \\ & \qquad - \left\{ {\left[ {\int_{{t_a}}^t {\left( {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}a_\nu ^\Delta \left( \theta \right) - \frac{{\partial B\left( {\theta ,a_\rho ^\sigma \left( \theta \right)} \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma \left( \theta \right)}}} \right)} \Delta \theta } \right] - {R_\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma \left( t \right)} \right) - {c_1}} \right\}.\\[-25pt] \end{split} $

      两边同时求delta−导数,并利用Birkhoff方程(2),定理得证.

      由Birkhoff系统的能量方程(10),利用变换式(3),我们可得到时间尺度上Hamilton系统的能量方程

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {H - \phi \left( t \right)\frac{{\partial H}}{{\partial t}}} \right) = \frac{{\partial H}}{{\partial t}}.$

      利用变换式(5),可得到时间尺度上Lagrange系统的能量方程

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {L - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }}q_s^\Delta - \phi \left( t \right)\frac{{\partial L}}{{\partial t}}} \right) = \frac{{\partial L}}{{\partial t}}.$

      式(23)与文献[21]给出的结果一致.

    • 下面研究由时间尺度上Birkhoff系统、Hamilton系统和Lagrange系统的积分因子来构建系统的守恒定理.

      首先研究时间尺度上Birkhoff系统.

      联立式(2)和式(7),可得到

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left\{ {{R_\mu }{\xi _\mu } - \left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]{\xi _0} + G} \right\} = 0.$

      故有

      定理2 如果函数 ${\xi _\mu } = {\xi _\mu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)$ 是时间尺度上Birkhoff系统(2)的积分因子,那么时间尺度上Birkhoff系统(2)存在守恒量,形如

      $I = {R_\mu }{\xi _\mu } - \left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]{\xi _0} + G.$

      如果函数组 ${\xi _0}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$,使得式(25)右端成为某个固定常数,则称此函数组为奇异函数组,由必要条件(7)和定理2,可得到

      定理3 对于时间尺度上Birkhoff系统(2),若非奇异函数组 ${\xi _0}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$ 满足必要条件

      $\left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right){\xi _0} + \left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}} \right)\xi _\mu ^\sigma + {R_\mu }\xi _\mu ^\Delta - B\xi _0^\Delta + {G^\Delta } +{ {\varPhi}} = 0,$

      其中

      ${ {\varPhi}} = {\lambda _\mu }\left[ {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right].$

      那么该系统(2)存在形如式(25)的守恒量.

      证明 对于时间尺度上一个已知的Birkhoff系统(2),如果函数 ${\xi _\mu }$ 是时间尺度上Birkhoff方程(2)的积分因子,那么每一组函数 ${\xi _0}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$ 一定满足必要条件(7).

      由时间尺度上Birkhoff方程(2),可将必要条件(7)写成

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left\{ {{R_\mu }{\xi _\mu } - \left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]{\xi _0} + G} \right\} + {\lambda _\mu }\left[ {\frac{{\partial {R_\nu }\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B\left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)}}{{\partial a_\mu ^\sigma }} - R_\mu ^\Delta \left( {t,a_\rho ^\sigma } \right)} \right] = 0,$

      展开方程(28),得到

      $R_\mu ^\Delta \xi _\mu ^\sigma + {R_\mu }\xi _\mu ^\Delta - \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]\xi _0^\sigma - \left[ {\phi \left( t \right)\left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}a_\mu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right) + B} \right]\xi _0^\Delta + {G^\Delta } +{ {\varPhi}} = 0.$

      由定理1和方程(2),化简式(29),可得

      $\left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right){\xi _0} + \left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}} \right)\xi _\mu ^\sigma + {R_\mu }\xi _\mu ^\Delta - B\xi _0^\Delta + {G^\Delta } + { {\varPhi}} = 0.$

      于是定理得证.

      其次研究时间尺度上Hamilton系统.

      同样,联立式(4)和(8),可得到

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {{p_s}{\xi _s} - H\tau + \phi \left( t \right)\frac{{\partial H}}{{\partial t}}\tau + G} \right){\rm{ = }}0.$

      定理4 如果函数 ${\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,{p_j}} \right)$ 是时间尺度上Hamilton系统(4)的积分因子,那么时间尺度上Hamilton系统(4)存在守恒量,形如

      $I = {p_s}{\xi _s} - H\tau + \phi \left( t \right)\frac{{\partial H}}{{\partial t}}\tau + G.$

      由必要条件(8)和定理4,可得到:

      定理5 对于时间尺度上Hamilton系统(4),若非奇异函数组 $\tau $${\xi _s}$$G$${\lambda _s}$ 满足必要条件

      ${p_s}\xi _s^\Delta - H{\tau ^\Delta } - \frac{{\partial H}}{{\partial t}}\tau + p_s^\Delta \xi _s^\sigma + {G^\Delta } + {{\varPhi}} = 0,$

      其中

      ${ {\varPhi }} = {\lambda _s}\left( {p_s^\Delta + \frac{{\partial H}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right).$

      则系统(4)存在形如式(32)的守恒量.

      证明同定理3.

      最后研究时间尺度上Lagrange系统.

      联立式(4)和(8),可得到

      $\frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {L\tau + \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }}\left( {{\xi _s} - q_s^\Delta \tau } \right) - \phi \left( t \right)\frac{{\partial L}}{{\partial t}}\tau - G} \right) = 0.$

      定理6 如果函数 ${\xi _s}\left( {t,q_j^\sigma ,q_j^\Delta } \right)$ 是时间尺度上Lagrange系统(6)的积分因子,那么时间尺度上Lagrange系统(6)存在守恒量,形如

      $I = L\tau + \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }}\left( {{\xi _s} - q_s^\Delta \tau } \right) - \phi \left( t \right)\frac{{\partial L}}{{\partial t}}\tau - G.$

      由必要条件(9)和定理6,可得到:

      定理7 对于时间尺度上Lagrange系统(6),若非奇异函数组 $\tau $${\xi _s}$$G$${\lambda _s}$ 满足必要条件

      $L{\tau ^\Delta } + \frac{{\partial L}}{{\partial t}}\tau + \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }}\left( {\xi _s^\Delta - q_s^\Delta {\tau ^\Delta }} \right) + \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }}\xi _s^\sigma - {G^\Delta } + { {\varPhi}} = 0,$

      其中

      ${ {\varPhi}} = {\lambda _s}\left( {\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right),$

      则系统(6)存在形如式(36)的守恒量.

      证明同定理3.

      利用变换(3)和变换(5),亦可由定理2和定理3得到定理4和定理5以及定理6和定理7.

      为找到时间尺度上Birkhoff系统(2)的守恒量,关键在于求解必要条件式(26)的非奇异函数组 ${\xi _0}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$. 求解时,可以考虑式(26)沿时间尺度上Birkhoff系统(2)的轨线均成立. 利用方程(2),式(26)可成为

      $\left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial t}}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right){\xi _0} + \left( {\frac{{\partial {R_v}}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}a_\nu ^\Delta - \frac{{\partial B}}{{\partial a_\mu ^\sigma }}} \right)\xi _\mu ^\sigma + {R_\mu }\xi _\mu ^\Delta - B\xi _0^\Delta + {G^\Delta } = 0.$

      从方程(39)可看出,该方程数目小于未知数的数目,故方程的解 ${\xi _{\rm 0}}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$ 不是唯一的,可以适当选取不同的 ${\xi _{\rm 0}}$${\xi _\mu }$${\lambda _\mu }$$G$,从而得到该系统不同的守恒量.

      类似地,如果找到式(33),(37)的非奇异函数解 $\tau $${\xi _s}$$G$,则可分别得到时间尺度上Hamilton系统和时间尺度上Lagrange系统的守恒量(32)和(36).

    • 设时间尺度为

      ${\rm{{\mathbb{T}}}} = \left\{ {{2^m}:m \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}} \right\},$

      $\sigma \left( 0 \right) = 0,\,\,\,\sigma \left( t \right) = 2t,\,\,\,\phi \left( t \right) = t.$

      时间尺度上Birkhoff函数和Birkhoff函数组为

      $B = \frac{1}{6}{t^2}{\left( {a_1^\sigma } \right)^6} + \frac{1}{{2{t^2}}}{\left( {a_2^\sigma } \right)^2},\,\,\,{R_1} = a_2^\sigma ,\,\,\,{R_2} = 0.$

      由式(2),可得到时间尺度上Birkhoff方程为

      ${t^2}{\left( {a_1^\sigma } \right)^5} + a_2^{\sigma \Delta } = 0,\,\,\,\,a_1^\Delta - \frac{{a_2^{\sigma \Delta }}}{{{t^2}}} = 0.$

      由式(37),可得到

      $ - \left( {\frac{t}{3}{{\left( {a_1^\sigma } \right)}^6} - \frac{{{{\left( {a_2^\sigma } \right)}^2}}}{{{t^3}}}} \right){\xi _0} - {t^2}{\left( {a_1^\sigma } \right)^5}\xi _1^\sigma + \left( {a_1^\Delta - \frac{{a_2^\sigma }}{{{t^2}}}} \right)\xi _2^\sigma + a_2^\sigma \xi _1^\Delta - \frac{1}{6}{t^2}{\left( {a_1^\sigma } \right)^6}\xi _0^\Delta - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {a_2^\sigma } \right)}^2}}}{{{t^2}}}\xi _0^\Delta + {G^\Delta } = 0,$

      方程(44)有解

      ${\xi _0}^\prime = 0,\,\,\,{\xi _1}^\prime = t,\,\,\,{\xi _2}^\prime = 0,\,\,\,G' = - ta_2^\sigma, $

      ${\xi _0}^{\prime \prime } = t,\,\,\,{\xi _1}^{\prime \prime } = 0,\,\,\,{\xi _2}^{\prime \prime } = 0,\,\,\,\,G'' = - \frac{1}{2}{a_1}a_2^\sigma ,$

      ${\xi _0}^{\prime \prime \prime } = 2t,\,\,\,{\xi _1}^{\prime \prime \prime } = - {a_1},\,\,\,\,{\xi _2}^{\prime \prime \prime } = {a_2},\,\,\,\,G''' = 0.$

      由定理3,得到

      $I' = 0,$

      $I'' = t\left[ {\frac{{{t^2}{{\left( {a_1^\sigma } \right)}^6}}}{6} - \frac{3}{2}\frac{{{{\left( {a_2^\sigma } \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \right] - \frac{{{a_1}a_2^\sigma }}{2},$

      $I''' = - {a_1}a_2^\sigma + t\left[ {\frac{{{t^2}{{\left( {a_1^\sigma } \right)}^6}}}{3} - 3\frac{{{{\left( {a_2^\sigma } \right)}^2}}}{{{t^2}}}} \right].$

      由定理3可知,${\xi _0}^\prime $${\xi _1}^\prime $${\xi _2}^\prime $$G'$ 为奇异函数组,${\xi _0}^{\prime \prime }$${\xi _1}{^{\prime \prime }}$${\xi _2}^{\prime \prime }$$G''$${\xi _0}^{\prime \prime \prime }$${\xi _1}^{\prime \prime \prime }$${\xi _2}^{\prime \prime \prime }$$G'''$ 为非奇异函数组. 故式(49)和式(50)是系统(42)的守恒量.

    • 寻找力学系统的守恒量是研究约束系统动力学的一个重要方面. 本文的主要工作有:定义了时间尺度上Birkhoff系统的积分因子;建立了时间尺度上Birkhoff系统的能量方程;构建了用积分因子法求解守恒量的守恒定理;同时作为特例得到了时间尺度上Hamilton系统和Lagrange系统的积分因子和守恒定理. 本文的方法和结果可进一步推广和应用到时间尺度上各类约束力学系统,具有普遍意义.

参考文献 (21)

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