事件空间中一类拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理

丁金凤 张毅

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事件空间中一类拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理

    通讯作者: 丁金凤, 29302298@qq.com
  • 中图分类号: O316

Noether’s theorems for a type of quasi–fractional Birkhoffian systems in even space

    Corresponding author: DING Jin-feng, 29302298@qq.com ;
  • CLC number: O316

  • 摘要: 基于按指数律拓展的分数阶积分,研究事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量. 首先,基于按指数律拓展的分数阶积分定义,给出事件空间中拟分数阶Pfaff作用量,建立事件空间中拟分数阶Pfaff–Birkhoff原理,并导出Pfaff–Birkhoff–d’Alembert原理,得到事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的运动微分方程. 其次,计算Pfaff作用量的全变分,给出事件空间中拟分数阶Pfaff作用量的两个变分公式. 建立事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性的定义和判据. 最后,建立事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理,揭示了系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系. 如果分数阶时间积分参数γ=1,则该定理退化为经典的事件空间中Birkhoff系统的Noether定理. 文末举例说明结果的应用.
  • [1] Synge L J. Classical dynamics[M]. Berlin: Springer, 1960.
    [2] Rumyantsev V V. On some problems of analytical dynamics of nonholonomic systems[C]. Proceedings of the IUTAM–ISIMM Symposium on Modern Developments in Analytical Mechanics. Torino: Science Press, 1983: 697-715.
    [3] 梅凤翔. 事件空间中非完整有势系统的参数方程[J]. 力学学报, 1988, 20(6): 557-562. Mei F X. Parametric equations of non−holonomic potential systems in the event space[J]. Acta Mechanica Sinica, 1988, 20(6): 557-562.
    [4] Mei F X. Parametric equations of nonholonomic nonconservative systems in the event space and their integration method[J]. Acta Mechanica Sinica, 1990, 6(2): 160-168. DOI:  10.1007/BF02488447.
    [5] 梅凤翔. 李群和李代数对约束力学系统的应用[M]. 北京: 科学出版社, 1999.

    Mei F X. Applications of Lie groups and Lie algebras to constrained mechanical systems[M]. Beijing: Science Press, 1999.
    [6] 梅凤翔. 约束力学系统的对称性与守恒量[M]. 北京: 北京理工大学出版社, 2004.

    Mei F X. Symmetries and conserved quantities of constrained mechanical systems[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2004.
    [7] 张毅. 事件空间中Birkhoff系统的参数方程及其第一积分[J]. 物理学报, 2008, 57(5): 2 649-2 653. DOI:  10.3321/j.issn:1000-3290.2008.05.005. Zhang Y. Parametric equations and its integrals for Birkhoffian systems in the event space[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(5): 2 649-2 653.
    [8] 张毅. 事件空间中Birkhoff系统的Noether理论[J]. 物理学报, 2008, 57(5): 2 643-2 648. DOI:  10.3321/j.issn:1000-3290.2008.05.004. Zhang Y. Noether’s theory for Birkhoffian systems in the event space[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57(5): 2 643-2 648.
    [9] Zhang Y. Conformal invariance and Noether symmetry, Lie symmetry of Birkhoffian systems in the event space[J]. Communications in Theoretical Physics, 2010, 53(1): 166-170. DOI:  10.1088/0253-6102/53/1/34.
    [10] 张晔, 张毅, 陈向炜. 事件空间中Birkhoff系统的Mei对称性与守恒量[J]. 云南大学学报: 自然科学版, 2016, 38(3): 406-411. DOI:  10.7540/j.ynu.20150641. Zhang Y, Zhang Y, Chen X W. Mei symmetry and conserved quantity of a Birkhoffian system in event space[J]. Journal of Yunnan University: Natural Sciences Edition, 2016, 38(3): 406-411.
    [11] 周颖, 张毅. 基于Caputo导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理[J]. 云南大学学报: 自然科学版, 2019, 41(5): 953-959. DOI:  10.7540/j.ynu.20190130. Zhou Y, Zhang Y. Noether symmetries for fractional generalized Birkhoffian systems in terms of Caputo derivatives[J]. Journal of Yunnan University: Natural Sciences Edition, 2019, 41(5): 953-959.
    [12] Zhang Y. Poisson theory and integration method of Birkhoffian systems in the event space[J]. Chinese Physics B, 2010, 19(8): 080301. DOI:  10.1088/1674-1056/19/8/080301.
    [13] 张毅. 积分事件空间中Birkhoff参数方程的场方法[J]. 动力学与控制学报, 2011, 9(1): 36-39. DOI:  10.3969/j.issn.1672-6553.2011.01.007. Zhang Y. A field method for integrating Birkhoff’s parametric equations in event space[J]. Journal of Dynamics and Control, 2011, 9(1): 36-39.
    [14] El−Nabulsi A R. A fractional approach to nonconservative Lagrangian dynamical systems[J]. Fizika A, 2005, 14(4): 289-298.
    [15] El−Nabulsi A R. A periodic functional approach to the calculus of variations and the problem of time-dependent damped harmonic oscillators[J]. Applied Mathematics Letters, 2011, 24: 1 647-1 653. DOI:  10.1016/j.aml.2011.04.005.
    [16] El−Nabulsi A R. Fractional variational problems from extended exponentially fractional integral[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(22): 9 492-9 496. DOI:  10.1016/j.amc.2011.04.007.
    [17] Frederico G S F, Torres D F M. Nonconservative Noether’s theorem for fractional action−like variational problems with intrinsic and observer times[J]. International Journal of Ecological Economics and Statistics, 2007, 9(F07): 74-82.
    [18] Herzallah M A E, Muslih S I, Baleanu D, et al. Hamilton−Jacobi and fractional like action with time scaling[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 66(4): 549-555. DOI:  10.1007/s11071-010-9933-x.
    [19] Zhang Y, Zhou Y. Symmetries and conserved quantities for fractional action-like Pfaffian variational problems[J]. Nonlinear Dynamics, 2013, 73(1): 783-793.
    [20] Long Z X, Zhang Y. Noether’s theorems for fractional variational problems from extended exponentially fractional integral in phase space[J]. Acta Mechanica, 2014, 225(1): 77-90. DOI:  10.1007/s00707-013-0956-5.
    [21] Long Z X, Zhang Y. Fractional Noether theorem based on extended exponentially fractional integral[J]. International Journal of Theoretical Physics, 2014, 53(3): 841-855. DOI:  10.1007/s10773-013-1873-z.
    [22] 丁金凤, 张毅. 基于El−Nabulsi动力学模型的Birkhoff力学[J]. 苏州科技学院学报: 自然科学版, 2014, 31(1): 24-28. Ding J F, Zhang Y. Birkhoffian mechanics based on El−Nabulsi dynamical model[J]. Journal of Suzhou University of Science and Technology: Natural Sciences Edition, 2014, 31(1): 24-28.
  • [1] 张晔张毅陈向炜 . 事件空间中Birkhoff系统的Mei对称性与守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20150641
    [2] 季晓慧朱建青 . 时间尺度上弱非完整系统的Noether对称性与守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20180338
    [3] 周颖张毅 . 基于Caputo导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20190130
    [4] 姜文安孙鹏谷家杨夏丽莉 . Bessel方程的Noether对称性和守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20170604
    [5] 贾利群孙现亭王肖肖张美玲解银丽田燕宁 . Lagrange系统的特殊Noether-Lie对称性和特殊守恒量. 云南大学学报(自然科学版),
    [6] 袁玲玲王瑞梅赵凯 . 多线性分数次积分算子在加权变指数 Herz 乘积空间上的有界性. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20180489
    [7] 刘翠梅 . 自由Birkhoff系统的对称性摄动及其逆问题. 云南大学学报(自然科学版),
    [8] 彭姣朱建青 . 时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20190526
    [9] 周小三张毅 . 基于非标准Lagrange函数的动力学系统的Lie对称性与Mei对称性. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20160721
    [10] 王建波陈梅解加芳郑世旺 . 约束系统广义Tzénoff方程的Mei对称性及其对应的守恒量. 云南大学学报(自然科学版),
    [11] 刘翠梅李彦敏傅景礼 . 非保守动力系统的Lie对称性代数. 云南大学学报(自然科学版),
    [12] 贾利群张耀宇崔金超 . 完整系统Appell方程Mei对称性的结构方程和Mei守恒量. 云南大学学报(自然科学版),
    [13] 孙晨朱建青 . 时间尺度上Hamilton系统的Mei对称性及守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20170209
    [14] 刘刚胡卫敏张稳根 . 非线性分数阶微分方程边值问题多重正解的存在性. 云南大学学报(自然科学版),
    [15] 张美玲王肖肖韩月林贾利群 . 变质量完整系统相对运动Nielsen方程的Mei对称性和Mei守恒量. 云南大学学报(自然科学版),
    [16] 贾利群张耀宇郑世旺 . Chetaev型约束力学系统Appell方程的Mei对称性与Mei守恒量. 云南大学学报(自然科学版),
    [17] 赵凯董鹏娟任晓芳 . 带粗糙核的分数次积分算子交换子在Morrey-Herz空间的加权有界性. 云南大学学报(自然科学版),
    [18] 汤小松 . 一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性和多重性. 云南大学学报(自然科学版),
    [19] 韩雪梅张毅 . 分数阶Lagrange系统的共形不变性与守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20180433
    [20] 莫日翔刘富春 . 离散事件系统的可纠错性研究. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20140251
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-17
  • 录用日期:  2020-05-17
  • 网络出版日期:  2020-06-08

事件空间中一类拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理

    通讯作者: 丁金凤, 29302298@qq.com
  • 1. 苏州科技大学 数理学院,江苏 苏州 215009
  • 2. 苏州科技大学 天平学院,江苏 苏州 215011
  • 3. 苏州科技大学 土木工程学院,江苏 苏州 215011

摘要: 基于按指数律拓展的分数阶积分,研究事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量. 首先,基于按指数律拓展的分数阶积分定义,给出事件空间中拟分数阶Pfaff作用量,建立事件空间中拟分数阶Pfaff–Birkhoff原理,并导出Pfaff–Birkhoff–d’Alembert原理,得到事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的运动微分方程. 其次,计算Pfaff作用量的全变分,给出事件空间中拟分数阶Pfaff作用量的两个变分公式. 建立事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性的定义和判据. 最后,建立事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理,揭示了系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系. 如果分数阶时间积分参数γ=1,则该定理退化为经典的事件空间中Birkhoff系统的Noether定理. 文末举例说明结果的应用.

English Abstract

  • 在事件空间中研究约束力学系统的运动,由于时间和描述位形的广义坐标处于相同地位,因而其研究不仅具有物理意义,而且具有几何意义. 1960年,Synge在其著作中研究了事件空间中完整保守系统动力学[1]. Rumjantsev将结果推广到非完整力学系统,导出了事件空间中非完整系统带乘子形式的Lagrange方程[2]. 梅凤翔发展了这一思想,研究了事件空间中完整力学系统和非完整力学系统的积分方法以及对称性与守恒量理论[3-6]. 2008年,张毅提出并开展了事件空间中Birkhoff系统动力学的研究[7],建立了事件空间中Birkhoff系统的Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff参数方程及其第一积分. 此后,他还研究了事件空间中Birkhoff系统的Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性以及共形不变性[8-10],并研究了基于Caputo分数阶导数下的广义Birkhoff系统的Noether对称性[11],建立了积分事件空间中Birkhoff系统的Poisson理论和Jacobi最终乘子法[12]、场方法[13]等. 但是,所有这些研究未涉及事件空间中拟分数阶Birkhoff系统. 本文将基于按指数律拓展的分数阶积分进一步研究事件空间中拟分数阶Birkhoff系统动力学,导出系统的变分原理和运动微分方程,建立事件空间中Birkhoff系统的Noether定理.

    拟分数阶动力学的研究可以追溯到El−Nabulsi的工作. El−Nabulsi于2005年基于分数阶积分的Riemann−Liouville定义提出了非保守系统Lagrange力学的动力学建模方法[14]. 此后,又将Riemann−Liouville定义推广为按周期律拓展的分数阶积分[15]和按指数律拓展的分数阶积分[16]. 将泛函作用量取作上述分数阶积分而建立的变分问题,可称之为拟分数阶动力学模型或El−Nabulsi模型. 由此而得到的动力学方程形式上与经典的非保守系统动力学方程相似,不同于一般的分数阶模型,其中与非保守力对应的广义分数阶外力项不出现分数阶导数,且分数阶时间积分只依赖于一个参数,而在一般分数阶模型中会出现多个分数阶参数[14]. 近年来,基于拟分数阶模型的约束系统动力学及其对称性研究取得了一些进展[17-22]. 而事件空间中拟分数阶动力学的研究尚未见文献报道.

    • 假设Birkhoff系统由 $2n$ 个变量 ${a^{\mu} }\left( {\mu = 1, \cdots ,2n} \right)$ 来确定. 建立 $\left( {2n + 1} \right)$ 维事件空间, 此空间中的点的坐标为 ${a^1},{a^2}, \cdots ,{a^{2n}},t$. 引入记号[5]

      $\qquad{x_1} = t,\; \; \,\,{x_{\mu + 1}} = {a^{\mu} }\,\,,\,\,\left( {\mu = 1,2, \cdots ,2n} \right),$

      那么,所有变量 ${x_{\alpha} }\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right)$ 可作为某参数 $\tau $ 的已知函数. 令 ${x_{\alpha} } = {x_{\alpha} }\left( \tau \right)$${C^2}$ 类曲线,使得 ${x'_{\alpha} }\left( \tau \right) = \dfrac{{{\rm{d}}{x_{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\tau }}$ 不同时为 $0$,有

      $\qquad{\dot x_{\alpha} } = \frac{{{\rm{d}}{x_{\alpha} }}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{{x_{\alpha}'} }}}{{{{x_1'}}}}.$

      假设系统在位形空间中的Birkhoff函数为 $B = B\left( {t,{a^{\mu} }} \right)$,Birkhoff函数组为 ${R_{\nu} } = {R_{\nu} }\left( {t,{a^{\mu} }} \right)$ $\left( {\nu = 1,2, \cdots ,2n} \right)$,则事件空间中的Birkhoff函数组 ${B_{\beta} }\left( {{x_{\alpha} }} \right)\,\; \left( {\beta = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right)$[7]

      $\qquad \begin{split} {B_1}\left( {{x_{\alpha} }} \right) &= - B\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{2n + 1}}} \right),\\ {B_{\mu + 1}}\left( {{x_{\alpha} }} \right) &= {R_{\mu} }\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{2n + 1}}} \right),\,\left( {\mu = 1,2, \cdots ,2n} \right). \end{split}$

      基于按指数律拓展的分数阶积分[16],事件空间中拟分数阶Pfaff作用量可表为

      $\qquad A = \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {{B_{\beta} }\left( {{x_{\alpha} }\left( \vartheta \right)} \right)} {x'_{\beta} }\left( \vartheta \right){\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{d}}\vartheta ,$

      其中,$\Gamma \left( \gamma \right) = \int_0^{\infty} {{e^{ - y}}{y^{\gamma - 1}}{\rm{d}}y} $ 是伽马函数,$0 < \gamma \leqslant 1$$\vartheta $ 是固有参数,$\tau $ 是观察者参数,且 $\vartheta \ne \tau $[16]. 事件空间中拟分数阶Pfaff–Birkhoff原理可表示为

      $\qquad {\rm{\delta}} A = 0,$

      $\qquad {\rm{d}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = {\rm{\delta}} {\rm{d}}{x_{\alpha} }\,\,,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right),$

      $\qquad \left. {{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right|{\,_{\zeta = {\tau _1}}}\, = \left. {{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right|{\,_{\zeta = {\tau _2}}} = 0\,\,\,,\,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right).$

      由上述原理,经变分和微分运算,我们得到

      $\qquad \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} } - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right\}{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }{\rm{d}}\vartheta } = 0.$

      由于积分区间 $\left[ {{\tau _1},{\tau _2}} \right]$ 的任意性,由式(8)得到

      $\qquad \left\{ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right\}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = 0,$

      式(9)可称为事件空间中拟分数阶Pfaff−Birkhoff−d’Alembert原理. 由 ${\rm{\delta}} {x_{\alpha} }$ 的独立性,可得

      $\qquad \left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){x'_{\beta} }\left( \vartheta \right) = \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }\,,\,\,\,\,\left( {\alpha ,\beta = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right).$

      方程(10)是基于按指数律拓展的事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的运动微分方程. 如果 $\gamma = 1$,则方程(10)退化为事件空间中Birkhoff系统的运动微分方程[7].

    • 引入参数 $\vartheta $ 和事件空间中坐标 ${x_{\alpha} }$ 的无限小变换

      $\qquad \bar \vartheta = \vartheta + \Delta \vartheta ,\; \; \,\,{\bar x_{\alpha} }\left( {\bar \vartheta } \right) = {x_{\alpha} }\left( \vartheta \right) + \Delta {x_{\alpha} },\,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right),$

      或其展开式

      $\qquad \bar \vartheta = \vartheta + {\varepsilon _{\sigma} }\xi _0^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\beta} }} \right),\,{\bar x_{\alpha} }\left( {\bar \vartheta } \right) = {x_{\alpha} }\left( \vartheta \right) + {\varepsilon _{\sigma} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\beta} }} \right),\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1;\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right),$

      其中 ${\varepsilon _{\sigma} }\left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right)$ 为无限小参数,$\xi _0^{\sigma} ,\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 为无限小变换的生成函数.

      计算拟分数阶Pfaff作用量(4)的全变分[5],我们有

      $\qquad \begin{split} \Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}} \right.} \left[ {\left( {{B_{\alpha} }{{x_{\alpha}'} }\Delta \vartheta + {B_{\alpha} }{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right){{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] + \\ &\left. {\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta} '}}\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right\}{\rm{d}}\vartheta \end{split}$

      以及

      $\qquad \begin{split}\Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{{x'}_{\beta} }\Delta {x_{\alpha} } + {B_{\alpha} }\Delta {{x_{\alpha}'} }} \right.} + \\ &\left. {{B_{\alpha} }{{x_{\alpha}'} }\left[ {\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\Delta \vartheta + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\Delta \vartheta } \right]} \right\}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{d}}\vartheta , \end{split}$

      注意到

      $\qquad {\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = {\varepsilon _{\sigma} }\left( {\xi _{\alpha} ^{\sigma} - {{x'}_{\alpha} }\xi _0^{\sigma} } \right) = {\varepsilon _{\sigma} }\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma}, $

      则(13)式可表为

      $\qquad \begin{split} \Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {{\varepsilon _{\sigma} }\left\{ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right]} \right.} + \\ &\left. {\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma} } \right\}{\rm{d}}\vartheta \end{split}. $

    • 如果满足

      $\qquad \Delta A = 0,$

      则称无限小变换(11)为Noether意义下的对称变换.

      如果满足

      $\qquad \Delta A = - \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left( {\Delta {G_N}} \right)} {\rm{d}}\vartheta ,$

      其中 $\Delta {G_N} = {\varepsilon _{\sigma} }G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$,这里 $G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$ 称为规范函数[5],则无限小变换(7)为Noether意义下的准对称变换.

      由式(14)和(17),得到对称变换的判据为

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x'_{\beta} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}\xi _{\alpha} ^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\xi _0^{\sigma} = 0\,\,,\,\,\left( {\sigma = 1,2, \cdots r} \right),$

      $\sigma = 1$, 式(19)给出Noether等式

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x_{\beta}' }{\xi _{\alpha} } + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}{\xi _{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} = 0.$

      由式(18)和(14),得到准对称变换的判据为

      $\qquad \begin{split}\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x_{\beta}' }\xi _{\alpha} ^{\sigma} + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}\xi _{\alpha} ^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\xi _0^{\sigma} + \frac{{{\rm{d}}G_N^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0,&\\ \left( {\sigma = 1,2, \cdots r} \right),& \end{split}$

      $\sigma = 1$, 式(21)给出广义Noether等式

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x'_{\beta} }{\xi _{\alpha} } + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}{\xi _{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x'_{\alpha} }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} + \frac{{{\rm{d}}{G_N}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0.$

      利用Noether等式(20)可以判断系统的Noether对称性,利用广义Noether等式(22)可以判断系统的Noether准对称性.

    • 对于基于按指数律拓展的事件空间中拟分数阶Birkhoff系统(10),由Noether对称性可直接导出Noether守恒量,有如下定理.

      定理1 对于事件空间中拟分数阶Birkhoff系统(10),如果生成函数 $\xi _0^{\sigma} $$\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 满足Noether等式(20),则无限小变换(11)相应于系统的Noether对称性,于是系统存在 $r$ 个线性独立的守恒量,形如

      $\qquad I_N^{\sigma} = {B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^{\sigma }} = {\rm{const,}}\; \; \; \; \left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right).$

      证明 由于生成函数 $\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 满足Noether等式(20),则 $\Delta A = 0$,考虑到式(16),得到

      $\qquad \begin{split} &\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] +\\ &\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x'}_{\beta} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma} = 0. \end{split}$

      将方程(10)代入(24)式,得到

      $\qquad \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] = 0.$

      积分可得守恒量(23). 于是定理1得证.

      同理可得如下定理.

      定理2 对于事件空间中拟分数阶Birkhoff系统(10),如果生成函数 $\xi _0^{\sigma} $$\xi _{\alpha} ^{\sigma} $,以及规范函数 $G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$ 满足广义Noether等式(22),则无限小变换(11)相应于系统的Noether准对称性,于是系统存在 $r$ 个线性独立的守恒量,形如

      $\qquad I_N^{\sigma} = {B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} + G_N^{\sigma} = {c^{\sigma }} = {\rm{const,}}\; \; \; \; \left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right).$

      定理1和定理2可称为基于按指数律拓展的事件空间中拟分数阶Birkhoff系统(10)的Noether定理. 根据上述定理,可由事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性找到相应的守恒量. 如果 $\gamma = 1$,则定理退化为事件空间中Birkhoff系统的Noether定理[8].

    •  设事件空间中拟分数阶Pfaff作用量为

      $\qquad A = \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\left[ { - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{{x'}_1} + {x_4}{{x'}_2} + {x_5}{{x'}_3}} \right\}{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}d\vartheta } ,$

      试研究此事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量.

      由式(27)可得

      $\qquad {B_1} = - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right),\,\,\,{B_2} = {x_4},\,\,\,{B_3} = {x_5},\,\,\,{B_4} = {B_5} = 0.$

      广义Noether等式(22)给出

      $\qquad \begin{split} &- {x'_1}\left( {{\xi _3} + {x_4}{\xi _4} + {x_5}{\xi _5}} \right) + {x'_2}{\xi _4} + {x'_3}{\xi _5} - \left[ {{x_3} + \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]\frac{{{\rm{d}}{\xi _1}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {x_4}\frac{{{\rm{d}}{\xi _2}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {x_5}\frac{{{\rm{d}}{\xi _3}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + \\ &\left\{ {\left[ { - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{{x'}_1} + {x_4}{{x'}_2} + {x_5}{{x'}_3}} \right\}\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} + \frac{{{\rm{d}}{G_N}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0, \end{split} $

      方程(29)有如下解

      $\qquad \xi _0^1 = 0,\; \; \xi _1^1 = - 1,\; \; \xi _2^1 = \xi _3^1 = \xi _4^1 = \xi _5^1 = 0,\; \; G_N^1 = 0;$

      $\qquad \xi _0^2 = 0,\; \; \xi _1^2 = 0,\; \; \xi _2^2 = 1,\,\,\,\,\xi _3^2 = \xi _4^2 = \xi _5^2 = 0,\; \; G_N^2 = 0.$

      生成函数(30)和(31)都相应于系统的Noether对称变换,根据定理1,我们得到

      $\qquad I_N^1 = \left[ {{x_3} + \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^1} = {\rm{const}}.$

      $\qquad I_N^2 = {x_4}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^2} = {\rm{const}}.$

      $\gamma = {\rm{1}}$ 时,守恒量(32)和(33)退化为经典事件空间中Birkhoff系统的Noether守恒量[8].

    • 基于按指数律拓展的分数阶积分,文章提出并研究了事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量. 文章主要工作有以下3个方面:首先,基于按指数律拓展的分数阶积分概念,定义了事件空间中拟分数阶Pfaff作用量(式(4)),建立了事件空间中拟分数阶Pfaff−Birkhoff原理(式(5)~(7)),导出拟分数阶Pfaff−Birkhoff−d’Alembert原理(式(9))和运动微分方程(式(10));其次,给出了Pfaff作用量的变分公式(14)和(16),定义了事件空间中拟分数阶Noether对称变换和准对称变换,建立了相应的判据方程(式(19)和(21));第三,建立了事件空间中拟分数阶Birkhoff系统的Noether定理(定理1和定理2). 文末,给出算例. 当 $\gamma = {\rm{1}}$ 时文章结果退化为经典事件空间中Birkhoff系统的Noether定理. 进一步可考虑将结果拓展到一般分数阶模型或拟分数阶模型等.

参考文献 (22)

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