基于Soave−Redlich−Kwong气体物态方程的CH4焓、熵图数值计算及关联应用程序开发

金康 付照中 吴滨 金乐

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基于Soave−Redlich−Kwong气体物态方程的CH4焓、熵图数值计算及关联应用程序开发

    通讯作者: 金康, jinkang@nwu.edu.cn

Numerical calculations of enthalpy and entropy chart of CH4 gas based on Soave−Redlich−Kwong gas state equation and related application program development

    Corresponding author: JIN Kang, jinkang@nwu.edu.cn ;
  • 摘要: 运用Soave−Redlich−Kwong真实气体物态方程(SRK方程),结合状态函数焓和熵的全微分形式,使用Mathematica软件以数值方法计算得到了CH4(甲烷)气体的焓图和熵图. 基于Mathematica软件具有的交互性和即时计算功能,借助零压强条件下的CH4气体热容量测量数据,开发出CH4在2个任意热力学状态间的焓差和熵差即时计算及查询程序. 考虑到真实气体物态方程的误差,参考实验测量得到的焓、熵图数据,在程序中加入线性修正代码,对理论计算值进行修正. 经过对随机生成的热力学状态间焓、熵差的程序计算值与实验值进行比较,发现所开发程序具有较好的准确度.
  • 图 1  焓值随约化压强的变化曲线. 分别借助范德瓦耳斯气体物态方程、SRK物态方程及实验数据绘制. 实验值来自于文献[3]

    Figure 1.  Variation of the enthalpy value with the reduced pressure. The calculated values of enthalpy are obtained by using van der Waals gas equation of state and SRK equation of state respectively. Experimental values are from the Ref.[3]

    图 2  由Mathematica软件编写的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 焓值计算及查询程序界面

    Figure 2.  Interface of calculating and querying program of enthalpy value of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ developed by Mathematica

    图 3  由Mathematica软件编写的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 熵值计算及查询程序界面

    Figure 3.  Interface of calculating and querying program of entropy value of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ developed by Mathematica

    图 4  ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 理论计算的焓图和熵图与实验测量焓图和熵图的比较

    Figure 4.  Comparison of theoretically calculated results and experimental results of values of enthalpy and entropy charts of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$

    图 5  根据实验测量结果对 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 焓值计算结果的修正(由圆圈表示). 由修正量线性变化假设,相邻压强对应的修正量由两个状态间的连线确定

    Figure 5.  The corrections of the ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ enthalpy values according to the experimental measurement results. The corrected values of the ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ enthalpy are represented by circles. Based on the assumption of linear variation of corrections,the corrections to the theoretical values between two adjacent circles are determined by the line between them

    图 6  经过修正之后的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 的焓、熵图曲线

    Figure 6.  The corrected enthalpy and entropy curves of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$

    图 7  随机生成的5个热力学状态及以顺时针方向连接后形成的5个热力学过程

    Figure 7.  Randomly generated 5 thermodynamic states and 5 thermodynamic processes formed by a clockwise rotation

    表 1  对于图7中的5个热力学过程,焓、熵差的计算结果、实验结果及偏差

    Table 1.  For the five thermodynamic processes in Figure 7,calculate results,experimental results,and deviations of the enthalpy and entropy difference

    路径$\varDelta H $/(J∙mo1−1)偏差/%$\varDelta S $/(J∙mo1−1∙K−1)偏差/%
    计算实验计算实验
    −0.99 −1.01 2 −10.83 −10.79 0.3
    −1 032.06 −1 031.94 <0.1 −4.81 −5.14 6
    −667.81 −667.56 <0.1 1.66 1.619 2
    −973.96 −972.85 0.1 2.87 2.66 7
    2 673.01 2 672.95 <0.1 11.11 11.90 6
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-07-08
  • 录用日期:  2020-04-02
  • 网络出版日期:  2020-04-23
  • 刊出日期:  2020-05-01

基于Soave−Redlich−Kwong气体物态方程的CH4焓、熵图数值计算及关联应用程序开发

    通讯作者: 金康, jinkang@nwu.edu.cn
  • 1. 西北大学 物理学院,陕西 西安 710027
  • 2. 北部湾大学 理学院,广西 钦州 535011

摘要: 运用Soave−Redlich−Kwong真实气体物态方程(SRK方程),结合状态函数焓和熵的全微分形式,使用Mathematica软件以数值方法计算得到了CH4(甲烷)气体的焓图和熵图. 基于Mathematica软件具有的交互性和即时计算功能,借助零压强条件下的CH4气体热容量测量数据,开发出CH4在2个任意热力学状态间的焓差和熵差即时计算及查询程序. 考虑到真实气体物态方程的误差,参考实验测量得到的焓、熵图数据,在程序中加入线性修正代码,对理论计算值进行修正. 经过对随机生成的热力学状态间焓、熵差的程序计算值与实验值进行比较,发现所开发程序具有较好的准确度.

English Abstract

  • 热力学状态函数焓、熵是热物理学中的重要概念,被广泛地应用于描述系统的热学特性及热力学过程中的热物理量计算,比如等压过程吸、放热,节流过程焦−汤系数,平衡相变过程内能变化等量的计算[1]. 而在化工热力学和材料科学等研究领域,焓与熵的概念也有广泛的应用[2]. 例如,烷类气体燃烧产生的热量可以由燃烧产物的形成焓值确定[3]. 通过计算燃烧产物与反应物的焓差,可以用来确定生成该产物所需的耗氧量[4]等等. 空气焓湿图可用于确定不同状态空气混合后的参数,如比焓、湿度等量的取值,在节省空调制冷量的设计方面,有很关键的应用. 2018年MIT的Elfatih研究小组探讨了气候变化及华北平原灌溉农业与地区温度上升的趋势的联系[5],引发了广泛的关注. 研究者引用的人类能够承受的湿球温度极限值,即是在空气焓湿图上空气 $100\% $ 相对湿度线上的对应点温度. 相应地,熵的概念也有广泛用途,例如将最大熵产生原理运用于多元合金非平衡凝固动力学研究,启发了平界面稳定性模型和晶体自由生长等模型[6]的建立. 在化工生产领域有研究者建立了熵增指数评价法,用于定量评价生产过程的环境友好程度[7].

    在理想气体模型中,一定量气体的焓值仅是温度的函数,可以由焓值的定义式求出,进而得到理想气体等压热容量(${C_{{p}}}$)的数值. 但实际的测量表明,即使在低压极限下,也只有单原子气体的等压热容量和理想气体理论给出值相符. 根据Kenneth书中列举的例子,一定质量的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ (甲烷)气体从70 ℃制冷到−6 ℃,借助理想气体理论算出的放热值与实际值有 $26\% $ 的差距[3]. 可以想到,理论与实践出现很大误差原因在于理想气体模型,包括物态方程及相应的热力学函数数值等,只在一定的参数范围内能够正确反映真实气体的特性. 自从范德瓦尔斯提出范氏气体物态方程以来,研究者提出了多种不同的真实气体物态方程表达式,例如Berthelot方程,Redlich−Kwong方程(Redlich和Kwong提出,简称RK方程)、斯特林方程等. 但研究表明,不同的方程在描述真实气体性质方面均体现出不足,例如运用RK方程计算偏心率不为零的气体的各个热力学参量数值准确度较差. 基于此,研究者通过修正已有方程参数的方法提高物态方程的准确度,Soave考虑了复杂分子的结构,在RK方程里引入了偏心因子参数,提出RK方程的改进形式Soave−Redlich−Kwong方程(简称SRK方程)[8]. 经验证,对于含有碳氢化合物的系统,SRK方程提供的气态密度、气液平衡等性质的计算是相当准确的[9]. 现今关于SRK方程的运用与发展还不断有新的进展,例如运用SRK物态方程结合电解质理论模型,计算等离子流体的密度[10]. 对混合物密度(二氧化碳与制冷剂)的密度计算等等[11]. 虽然真实气体物态方程在描述气体热学性质方面取得许多进展,但在工程实践中,查询相关数据手册还是获得数据的主要方法,如文献[3]中所举实例对真实气体等压吸热量、绝热过程状态参数的计算. 在本文工作中,我们试图:①运用SRK真实气体物态方程,计算得到 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 在一定参数范围的焓图和熵图,并根据真实测量值,对算得的焓图和熵图进行修正. ②由于Mathematica软件具有即时运算(update)功能和交互性,我们应用该软件,开发出能够查询焓、熵数据的计算程序;集成真实气体零压热容量的经验数据,实现2个热力学状态焓值差值、熵值差值的即时计算及显示. 查询程序能够在满足准确度的基础上,大大缩短特定状态焓值、熵值查询时间,并且方便地计算真实气体等压过程的吸放热、两个热力学状态熵差等参量.

    • 由焓的全微分表达式[1]$ {\rm{d}}H = {C_{{p}}}{\rm{d}}T + \Biggr[V -$$ T{\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial T}}\right)_{\rm{p}}}\Biggr]{\rm{d}}p$,运用压缩关系 $pV = ZRT$ 对全微分表达式中 $V$ 做代换,其中 $Z$ 为压缩系数,可以得到等温条件下焓的微分

      ${\rm{d}}{H_{{T}}} = - \frac{{R{T^2}}}{p}{\left(\frac{{\partial Z}}{{\partial T}}\right)_{{p}}}{\rm{d}}p.$

      引入约化压强及约化温度 ${p_{\rm{r}}} = p/{p_{\rm{c}}}$${T_{\rm{r}}} = T/{T_{\rm{c}}}$,其中 ${p_{\rm{c}}}$${T_{\rm{c}}}$ 分别为气体的临界压强和临界温度. 代入上式,可以建立起一定温度(由约化温度 ${T_{\rm{r}}}$ 表示)下,气体在理想气体条件下(零压强近似)的焓值 ${H^ * }$ 与同温度值、压强为 ${p_{\rm{r}}}$ 时焓值 $H$ 差值的积分运算,表达式为

      $\frac{{{H^ * } - H}}{{R{T_{\rm{c}}}}} = \int\limits_0^{{p_{\rm{r}}}} {T_{\rm{r}}^2{{\left(\frac{{\partial Z}}{{\partial {T_{\rm{r}}}}}\right)}_{{p_{\rm{r}}}}}{\rm{d}}\ln {\rm{ }}{p_{\rm{r}}}} .$

      同样地,根据熵的全微分表达式可以得到一定温度、压强下理想气体和真实气体的熵差为[3]

      ${(S_{^{{p_{\rm{r}}}}}^ * - {S_{{p_{\rm{r}}}}})_T} = - \int\limits_0^{{p_{\rm{r}}}} {\left[\frac{R}{{{p_{\rm{r}}}}} - {{\left(\frac{{\partial V}}{{\partial T}}\right)}_{{p_{\rm{r}}}}}\right]{\rm{d}}{p_{\rm{r}}}} .$

      引入压缩关系及约化参量,可得在一定温度、压强下,气体在理想气体情况下的熵值 $S_{{p_{\rm{r}}}}^ * $ 和真实熵值的差值 ${S_{{p_{\rm{r}}}}}$

      ${(S_{^{{p_{\rm{r}}}}}^ * - {S_{{p_{\rm{r}}}}})_{\rm{T}}} = \frac{{{H^ * } - H}}{{R{T_{\rm{c}}}{T_{\rm{r}}}}} - \int\limits_0^{{p_{\rm{r}}}} {(1 - Z){\rm{d}}\ln {\rm{ }}{p_{\rm{r}}}} .$

      如果需要计算两个状态之间的焓差和熵差,可以借助焓和熵是状态函数的特性,给出计算表达式

      $ \begin{split} &{H_2} - {H_1} = (H_1^ * - {H_1}) + (H_2^* - H_1^ * ) - (H_2^ * - {H_2}),\\ &{S_2} - {S_1} = (S_1^ * - {S_1}) + (S_2^* - S_1^ * ) - (S_2^ * - {S_2}), \end{split} $

      $H_1^ * - {H_1}$$S_2^* - S_1^ * $ 分别是理想气体条件下2个状态的焓差和熵差. $H_{_2}^ * - H_{_1}^ * = \displaystyle\int\limits_{{T_1}}^{{T_2}} {{C_{{{p,0}}}}{\rm{d}}T} $,其中 ${C_{{{p,0}}}}$ 是气体在理想气体近似下的等压热容量. $S_{_2}^ * \!-\! S_{_1}^ * \!=\! $$ {C_{{{p,{\rm{av}}}}}}\ln \dfrac{{{T_2}}}{{{T_1}}} \!-\! R\ln \dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}}$,其中,${C_{{{p,{\rm{av}}}}}} \!=\! \dfrac{1}{2}({C_{{{p,0}}}}({T_1}) \!+ $${C_{{{p,0}}}}({T_2}))$. 需要说明的是,即使在理想气体条件下,仅有单原子分子气体的等压热容量与能量均分定理给出的数值一致,而多原子分子气体在理想气体条件下的等压热容用经验公式

      ${C_{{{p,0}}}}/R = a + bT + c{T^2} + d{T^3} + e{T^4}$

      计算,其中 $a,b,c,d,e$ 是通过实验获得的系数.

    • 如前文所述,Soave针对Redlich和Kwong提出的RK方程仅适于描述简单分子流体热力学性质的不足,在RK方程里引入了偏心因子参量,称为SRK气体物态方程[8],其形式为

      $ \begin{split} &p = \dfrac{{NkT}}{{V - Nb}} - \dfrac{{{N^2}a(T)}}{{V(V + Nb)}},\\ &a(T) = 0.427\;48\frac{{{k^2}T_{\rm{c}}^2}}{{{p_{\rm{c}}}}}[1 + (0.48 + 1.574\omega -\\ &\qquad \quad0.176{\omega ^2})(1 - {\theta ^{1/2}})]^2,\\ &\theta = T/{T_{\rm{c}}}, \end{split} $

      其中 $\omega $ 是分子偏心率. 我们选用SRK方程进行焓图和熵图的数值计算. 为了验证SRK方程刻画真实气体的准确度,在图1中,我们展示了运用范德瓦尔斯物态方程和SRK方程,计算得出 $T = 1.5{T_{\rm{c}}}$ 对应焓值曲线,并与实验结果(数据来自文献[3])相比较. 可以看到相比于范德瓦尔斯方程,SRK方程在焓值计算上与实验结果有更高的吻合度. 需要说明的是,在文中图16中关于焓、熵的运算结果绘制的曲线及图7确定的热力学状态图示中,横坐标均为约化压强 ${p_{\rm{r}}}$${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 的临界压强、温度值在图2左栏给出.

      图  1  焓值随约化压强的变化曲线. 分别借助范德瓦耳斯气体物态方程、SRK物态方程及实验数据绘制. 实验值来自于文献[3]

      Figure 1.  Variation of the enthalpy value with the reduced pressure. The calculated values of enthalpy are obtained by using van der Waals gas equation of state and SRK equation of state respectively. Experimental values are from the Ref.[3]

      图  2  由Mathematica软件编写的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 焓值计算及查询程序界面

      Figure 2.  Interface of calculating and querying program of enthalpy value of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ developed by Mathematica

      图  3  由Mathematica软件编写的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 熵值计算及查询程序界面

      Figure 3.  Interface of calculating and querying program of entropy value of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ developed by Mathematica

      图  4  ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 理论计算的焓图和熵图与实验测量焓图和熵图的比较

      Figure 4.  Comparison of theoretically calculated results and experimental results of values of enthalpy and entropy charts of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$

      图  5  根据实验测量结果对 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 焓值计算结果的修正(由圆圈表示). 由修正量线性变化假设,相邻压强对应的修正量由两个状态间的连线确定

      Figure 5.  The corrections of the ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ enthalpy values according to the experimental measurement results. The corrected values of the ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ enthalpy are represented by circles. Based on the assumption of linear variation of corrections,the corrections to the theoretical values between two adjacent circles are determined by the line between them

      图  6  经过修正之后的 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 的焓、熵图曲线

      Figure 6.  The corrected enthalpy and entropy curves of ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$

      图  7  随机生成的5个热力学状态及以顺时针方向连接后形成的5个热力学过程

      Figure 7.  Randomly generated 5 thermodynamic states and 5 thermodynamic processes formed by a clockwise rotation

    • 借助Mathematica软件中的交互性及动态更新功能,我们所写的程序具备即时输入−输出功能. 图2展示的是焓图的绘制及查询程序界面. 界面左端展示的是 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 的临界温度、压强数据,以及零压等压热容经验公式. 中间部分是热力学状态输入区域(${T_{{\rm{i}},}}{p_{\rm{i}}},{T_{\rm{f}}},{p_{\rm{f}}}$)及计算结果($H_{\rm{i}}^ * - {H_{\rm{i}}},H_{\rm{f}}^ * - {H_{\rm{f}}},H_{\rm{f}}^ * - H_{\rm{i}}^ * ,$$\Delta H{\rm{ }}$)输出区. 程序经过执行,在热力学状态窗口输入状态参数值,计算结果会自动输出,大大缩短了特定状态的焓值查询及状态间焓差计算时间. 界面右边部分给出了理论计算的焓图曲线,曲线簇对应的约化温度为 ${T_{\rm{r}}} = 1 \sim 2.4,{\rm{ }}\Delta {T_{\rm{r}}} = 0.1$. 人工输入的始末状态会动态地标记在焓图上. 图3给出了 ${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 气体熵查询、计算及熵图绘制界面,界面的结构和功能与焓图程序类似.

    • 图4(a)4(b)分别为取两个温度值(${T_{\rm{r}}} = 1$${T_{\rm{r}}} = 2$),焓图及熵图对应数值的计算结果与实验测量结果的比较示意图. 可以看到,对于 ${T_{\rm{r}}} = 2$,理论计算与实验测量的结果几乎完全吻合,说明随着温度的升高,物态方程描述真实气体的准确度升高. 而在 ${T_{\rm{r}}} = 1$ 的温度状态,理论计算结果和实验测量结果有比较明显的偏差. 这样的特性也被发现存在于其它真实气体物态方程中,例如用Berthelot物态方程绘制的氮气翻转曲线低温区与实验符合不好[12],Beattie-Bridgeman方程给出氮气的热力学参量数据存在偏差等等[13]. 研究者指出,在低温条件下,气体密度增加,气体分子相互作用增强及碰撞复杂程度增加,很难确定一个在各个参数范围都令人满意的状态方程,包括维里方程,即使通过复杂的计算增加截断项数,也难以适用于气体密度高于临界密度的情况[14].

      为了使查询程序具有实用性,在方便使用的同时提高准确度. 我们根据实验结果对计算结果进行了修正. 由于约化温度小于1时,${\rm{C}}{{\rm{H}}_{\rm{4}}}$ 的焓、熵曲线会与饱和曲线相交而中断,以及在温度较高时运用物态方程计算的焓、熵图数据和实验测量结果基本吻合(如图4(a)4(b)所示,圆圈是实验值,曲线是理论计算值),我们选择对 ${T_{\rm{r}}} = $$ 1 \sim 2$(间隔为0.05),${p_{\rm{r}}} = 1 \sim 10(\Delta {p_{\rm{r}}} = 0.05)$ 的计算数据进行修正. 具体的修正方案为:①选择7个状态点(${T_{\rm{r}}} = 1$${p_{\rm{r}}} = 1,2,3,4,6,8,10$) 计算每个点的实验结果与计算结果的偏差,如图5中的圆圈所示. 假定相邻两点间其它状态点的实验−理论偏差值和边界两点偏差值在一条直线上. ②对 ${T_{\rm{r}}} = 2$,实验值与计算值的偏差可以忽略(如图4(a)4(b)所示),我们假定 ${T_{\rm{r}}} = 1$${T_{\rm{r}}} = 2$ 间其它温度的偏差值随温度线性变化,可写出状态 ${p_{\rm{r}}}$${T_{\rm{r}}}$ 的偏差计算公式 $\Delta ({T_{\rm{r}}},{p_{\rm{r}}}) = $$ 2\Delta (1,{p_{\rm{r}}}) - \Delta (1,{p_{\rm{r}}}){T_{\rm{r}}}$,其中 $\Delta (1,{p_{\rm{r}}})$ 为步骤(1)中得到的 ${T_{\rm{r}}} = 1$,压强为 ${p_{\rm{r}}}$ 状态的修正量. 图6(a)6(b)分别给出了经过修正后的焓图和熵图.

      为了验证修正后的结果与实验值符合的程度,并检验计算程序的实用性. 我们运用如下的检查方案:①将修正部分的代码写入焓、熵的计算及查询程序. ②随机生成5个热力学状态,按照顺时针方向连接,依次计算相邻两个状态的焓、熵值的改变量,并计算理论结果与实验结果的偏差. 5个随机产生的状态如图7所示. 对焓变、熵变检验的结果如表1所示,其中,偏差 $\varDelta $ 的定义为 $\varDelta $=(计算值-实验值)/实验值的绝对值.

      路径$\varDelta H $/(J∙mo1−1)偏差/%$\varDelta S $/(J∙mo1−1∙K−1)偏差/%
      计算实验计算实验
      −0.99 −1.01 2 −10.83 −10.79 0.3
      −1 032.06 −1 031.94 <0.1 −4.81 −5.14 6
      −667.81 −667.56 <0.1 1.66 1.619 2
      −973.96 −972.85 0.1 2.87 2.66 7
      2 673.01 2 672.95 <0.1 11.11 11.90 6

      表 1  对于图7中的5个热力学过程,焓、熵差的计算结果、实验结果及偏差

      Table 1.  For the five thermodynamic processes in Figure 7,calculate results,experimental results,and deviations of the enthalpy and entropy difference

      表1可以看到,5个随机生成的热力学过程中,焓差计算偏差最大的是I路径,数值是 $2\% $. 其原因为I路径始末状态从低压到高压,从图4可以看出,在低压范围,线性方案存在一定误差. 其它4个过程的偏差均小于或等于 $0.1\% $. 而表1所示熵差的计算(经修正)与测量偏差较大,我们认为其原因在于熵值的计算是两次用到了压缩关系(见(4)式),使得运用物态方程计算带来的误差叠加. 由于相应的修正方法的限制,修正后计算结果的偏差相对于焓运算偏差增大. 但是,对于5个热力学过程,熵差偏差的平均值小于 $5\% $,即在一定的误差容许范围内,经过修正的计算程序所得结果可以作为实践或理论研究的参考. 以甲烷气体分子为研究对象的原因在于甲烷分子的偏心因子数值较小($\omega = 0.008$),因此较易验证SRK方程在对分子结构的考虑是否有效. 对于其它包括偏心因子为0的惰性气体或非0的其它气体,需要在程序中代入该气体的临界压强、临界温度和偏心因子值[15],就可以获得相应的焓图、熵图. 我们运用程序计算得到了二氧化碳的焓图和熵图,也获得了较好的结果. 之后我们会进一步探讨SRK方程与实验结果在低温条件下的符合度以及如何缩小计算−测量偏差等问题.

    • 我们运用SRK真实气体物态方程,结合用Mathematica软件数值求解了气体在不同温度和压强条件下的焓图焓值及熵图熵值,并开发出有交互功能的计算程序,能够即时计算并输出两个热力学状态间的焓差和熵差. 根据焓图焓值和熵图熵值的实验测量数据,我们对物态方程求解结果进行了修正,使程序输出结果的准确性提高,在随机生成的热力学过程中,焓差和熵差计算结果的平均偏差均小于 $5\% $.

参考文献 (15)

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