一类含有非线性对数源项的Kirchhoff 型方程解的爆破

高云龙 林国广 马磊

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一类含有非线性对数源项的Kirchhoff 型方程解的爆破

    通讯作者: 高云龙, gyl0813101x@163.com
  • 中图分类号: O175.29

Blow up of solutions for a class of Kirchhoff type equations with nonlinear logarithmic source term

    Corresponding author: GAO Yun-long, gyl0813101x@163.com ;
  • CLC number: O175.29

  • 摘要: 在初始能量 $E(0) \in (0,{E_1})$ 时,利用能量法证明了如下含有非线性对数源项的Kirchhoff 型方程解的爆破性: $ {u_{tt}} - M(t)\Delta u + u + \left( {g*\Delta u} \right)(t) + {\left| {{u_t}} \right|^r}{u_t} - \Delta {u_t} + {\left| u \right|^2}u = u\ln {\left| u \right|^k}. $ $q > 1,0 < r < 2$ 时,方程的解在有限时间点处爆破;当 $q \geqslant 1,r = 0$ 时,方程的解在无限时间点处爆破;$q,r$ 取其它值时,方程整体解存在且能量函数具有指数衰减性.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-08-29
  • 录用日期:  2020-01-19
  • 网络出版日期:  2020-04-11
  • 刊出日期:  2020-05-01

一类含有非线性对数源项的Kirchhoff 型方程解的爆破

    通讯作者: 高云龙, gyl0813101x@163.com
  • 1. 六盘水师范学院 数学与计算机科学学院,贵州 六盘水 553004
  • 2. 云南大学 数学与统计学院,云南 昆明 650091
  • 3. 昆明冶金高等专科学校 通识与素质教育学院,云南 昆明 650031

摘要: 在初始能量 $E(0) \in (0,{E_1})$ 时,利用能量法证明了如下含有非线性对数源项的Kirchhoff 型方程解的爆破性: $ {u_{tt}} - M(t)\Delta u + u + \left( {g*\Delta u} \right)(t) + {\left| {{u_t}} \right|^r}{u_t} - \Delta {u_t} + {\left| u \right|^2}u = u\ln {\left| u \right|^k}. $ $q > 1,0 < r < 2$ 时,方程的解在有限时间点处爆破;当 $q \geqslant 1,r = 0$ 时,方程的解在无限时间点处爆破;$q,r$ 取其它值时,方程整体解存在且能量函数具有指数衰减性.

English Abstract

  • 本文主要研究带有非线性对数源项以及Balakrishnan-Taylor阻尼、非线性弱阻尼等多种阻尼的Kirchhoff型方程解的爆破情况,具体方程为:

    $\qquad\left\{ {\begin{aligned} & {{u_{tt}} - M(t)\Delta u + u + \left( {g*\Delta u} \right)(t) + {{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t} - \Delta {u_t} + {{\left| u \right|}^2}u = u\ln {{\left| u \right|}^k},x \in \Omega ,t > 0,} \\ & {u(x,0) = {u_0}(x),{u_t}(x,0) = {u_1}(x),x \in \Omega ,} \\ & {u(x,t) = 0,x \in \partial \Omega ,t \geqslant 0,} \end{aligned}} \right.$

    其中 $\Omega $R3上带有光滑边界 $\partial \Omega $ 的有界区域,$q,r \geqslant 0$$g$ 表示记忆项,且

    $\qquad \left( {g*v} \right)(t) = \int_0^t {g(t - s)v(s)} {\rm{d}}s, $

    $\qquad M(t) = {\xi _0} + {\xi _1}{\left\| {\nabla u} \right\|^{2q}} + \sigma \left( {\nabla u,\nabla {u_t}} \right).$

    1883年,许多数学家和物理学家开始研究长度为 $L$ 的弹性绳在产生微小振动时的数学原理,假定弹性绳上的各个点所受到的张力有且仅有垂直方向上的分量时,由德国著名的数学家与物理学家Kirchhoff首次考虑提出了方程[1]

    $\qquad \rho h\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} + \delta \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \left\{ {{p_0} + \frac{{Eh}}{{2L}}\int_0^L {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} } \right\}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + f,\quad 0 < x < L,t > 0,$

    其中 $u = u(x,t)$ 表示以空间坐标 $x$ 和时间 $t$ 为变量的横向位移,$\rho $ 是质量密度,$h$ 是横截面面积,$E$ 是杨氏模量,${p_0}$ 是轴向拉力,$\delta $ 是阻力模量,$f$ 表示为外力项. 之后随着不断发展,该模型也应用于牛顿力学、声学中的波导问题、电磁问题等研究当中.

    近几年,很多学者越来越关注Kirchhoff型方程解的性质,如吸引子的存在性、解的整体存在性、正解存在性、多重解存在性、解的衰减性和爆破性等[2-6]. 李海霞等[3]借助一阶微分不等式和凸方法证明一类含有一般非线性项的抛物型Kirchhoff方程解存在有限时间爆破,并给出解在有限时刻爆破的一些充分条件,得到了爆破时间的上界估计.

    当方程(1)中没有 $u,{\left| u \right|^2}u,\left| {{u_t}} \right|{u_t}$ 和非线性对数源项时,Park[7]研究了方程的能量衰减性. 进一步,若非线性源项是 ${\left| u \right|^p}u$ 时,Zara等[8]证明方程整体解存在,且能量函数满足多项式衰减性. 若不含Balakrishnan-Taylor阻尼、强阻尼时,Amir[9]研究波方程:

    $\qquad {u_{tt}} - \Delta u + \left( {g*\Delta u} \right)(t) + h({u_t}){u_t} + u{\left| u \right|^2} + u = u\ln {\left| u \right|^k},x \in \Omega ,t > 0,$

    他证明了在一定假设下方程的能量函数具有指数衰减性. 之后,Han[10]研究了 $k = 2$ 时,非线性对数源的波方程初边值问题:

    $\qquad {u_{tt}} - \Delta u + u - u\ln {\left| u \right|^2} + {u_t} + u{\left| u \right|^2} = 0,x \in \Omega ,t \in (0,T),$

    证明了该方程存在整体解 $u \in C\left( {[0,T];H_0^1(\Omega )} \right),{u_t} \in C\left( {[0,T];{L^2}(\Omega )} \right)$. 若没有任何阻尼时,Bouhali等[11]研究了粘弹性波方程:

    $\qquad{u_{tt}} - \phi (x)\left( {{\Delta _x}u - \int_0^t {g(t - s){\Delta _x}u(s)} {\rm{d}}s} \right) = u\ln {\left| u \right|^k},$

    并证明能量函数具有指数衰减性. 最近,Mohammad等[12]研究了含有时间延迟的波方程:

    $\qquad{u_{tt}} - \Delta u + {\mu _1}{u_t}(x,t) + {\mu _2}{u_t}(x,t - \tau ) = u{\left| u \right|^{p - 2}}\ln {\left| u \right|^k},x \in \Omega ,t > 0,$

    他证明了该方程具有局部解,且解在有限时间点爆破. 更多有关爆破和含有非线性对数源系统的研究参考文献[13-16].

    对于带有非线性对数源项系统虽然有很多学者进行了研究[12-16],但在研究其爆破情况时目前的文献只考虑带有线性弱阻尼[12]的情况,对系统出现非线性弱阻尼时解的爆破性还没有文献研究过,主要原因是非线性对数源与非线性弱阻尼共同作用下很多嵌入、不等式估计很难进行. 对此,本文针对方程(1)克服了这个难点,得到在特定的3维空间中,且同时含有非线性弱阻尼、非线性对数源项的情况下解的爆破有3种情况.

    • 为了证明主要结果,给出一些假设、引理. 本文将用到赋范线性空间 ${L^p}(\Omega )(p \geqslant 2)$,为叙述方便将 ${L^p}(\Omega )$ 空间的范数和内积记为:${\left\| \cdot \right\|_p} = {\left\| \cdot \right\|_{{L^p}(\Omega )}}$,$(u,v) = \int_\Omega {u(x)v(x)} {\rm{d}}x$. 特别地,当 $p = 2$ 时,记 $\left\| \cdot \right\| = {\left\| \cdot \right\|_{{L^2}(\Omega )}}$.

      下面给出方程(1)的有关假设:

      (A1) 假设初值满足

      $\qquad{u_0}(x) \in H_0^1(\Omega ),{u_1}(x) \in {L^2}(\Omega );$

      (A2) 设 $g:$ R+$ \to $R+是一个非增有界的 $C^1$ 函数,且满足

      $\qquad{\xi _0} - \int_t^{ + \infty } {g(s)} {\rm{d}}s = {l_0} > 0;$

      (A3) 假设非负实数 $k$ 满足:$1 \leqslant k < \sqrt 2 {\rm{e}}.$

      为了证明主要结果,下面给出主要的引理和方程解的存在性定理.

      引理1[17] 令 $u$ 是函数空间 $H_0^1(\Omega )$ 中的任意函数,$\Omega \subseteq {{\bf{R}}^3}$ 是一个光滑区域,则对于任意实数 $a>0$,有

      $\qquad \int_\Omega {{{\left| u \right|}^2}\ln \frac{{\left| u \right|}}{{\left\| u \right\|}}{\rm{d}}x} \leqslant \left( {\frac{3}{4}\ln \frac{{4a}}{{\rm{e}}}} \right){\left\| u \right\|^2} + \frac{a}{4}{\left\| {\nabla u} \right\|^2}.$

      引理2[18] 设 $u$ 是函数空间 $H_0^1(\Omega )$ 中的任意函数,如果 $n \geqslant 3$ 时,$1 \leqslant p \leqslant \dfrac{{2n}}{{n - 2}}$;当 $n = 1,2$ 时,$1 \leqslant p < + \infty $. 则不等式

      $\qquad {\left\| u \right\|_p} \leqslant {c_*}\left\| {\nabla u} \right\|{\rm{ }}$

      成立,其中 ${c_ * }{\rm{ > 0}}$.

      结合文献[4]、[10]和[13],采用Fadeo-Garlerkin和压缩映射定理证明易得方程(1)局部解的存在性定理 1.

      定理1 假设 (A1)~(A2)成立,则总存在时间 $T>0$,使得方程(1) 在 $(0,T)$ 上具有唯一解 $u$,且满足

      $\qquad u \in C\left( {[0,T];H_0^1(\Omega )} \right) \cap {C^1}\left( {[0,T];{L^2}(\Omega )} \right),$

      $\qquad {u_t} \in {L^2}\left( {0,T;H_0^1(\Omega )} \right) \cap {L^{r + 2}}\left( {\Omega \times (0,T)} \right). $

    • 这一节给出证明解爆破的主要引理和爆破定理. 为了下面书写方便,简记:

      $\qquad \gamma {\rm{ = }}{{\rm{e}}^{\frac{{2 - k}}{{2k}} - \frac{3}{4}\ln \frac{{4a}}{{\rm{e}}}}},\;\;{E_1} = \frac{k}{4}{\gamma ^2},\;\;0 < a < \min \left\{ {\frac{{4{l_0}}}{k},\frac{1}{4}{{\rm{e}}^{\frac{{3k + 4}}{{3k}}}}} \right\},$

      $\qquad \begin{split} I(t) = & I(u(t)) = \frac{1}{2}\left\| u \right\|_4^4 + \left( {{\xi _0} - \int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s} \right){\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \frac{{{\xi _1}}}{{q + 1}}{\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}} + \\ & {\left\| u \right\|^2} + \left( {g \circ \nabla u} \right)(t) - \int_\Omega {{u^2}\ln {{\left| u \right|}^k}{\rm{d}}x} , \end{split} $

      则方程的能量函数可定义为:

      $\qquad E(t) = E(u(t)) = \frac{1}{2}{\left\| {{u_t}} \right\|^2} + \frac{k}{4}{\left\| u \right\|^2} + \frac{1}{2}I(t),$

      其中 $\left( {g \circ \nabla u} \right)(t) = \int_0^t {g(t - s)} \int_\Omega {{{\left| {\nabla u(s) - \nabla u(t)} \right|}^2}} {\rm{d}}x{\rm{d}}s.$

      引理3 若假设(A1)~(A2)成立,则方程(1)的能量函数 $E(t)$ 是一个非增函数,且满足

      $\qquad \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}E(t) = E'(t) = - \left\| {{u_t}} \right\|_{r + 2}^{r + 2} - {\left\| {\nabla {u_t}} \right\|^2} - \sigma {\left( {\nabla u,\nabla {u_t}} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {g'^\circ \nabla u} \right)(t) - \frac{1}{2}g(t){\left\| {\nabla u} \right\|^2} \leqslant 0. $

      证明 根据分部积分,有

      $\qquad \begin{split} \int_\Omega {(g * \Delta u)(t){u_t}(t)} {\rm{d}}x = & - \int_\Omega {\nabla {u_t}(t)} \int_0^t {g(t - s)\nabla u(s)} {\rm{d}}s{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {(g \circ \nabla u)(t) - \int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}} \right) - \\ & \frac{1}{2}\left( {g' \circ \nabla u} \right)(t) + \frac{1}{2}g(t){\left\| {\nabla u} \right\|^2}, \end{split} $

      ${u_t}$ 与方程(1)在区域 $\Omega $ 作内积得

      $\qquad \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}E(t) = - \left\| {{u_t}} \right\|_{r + 2}^{r + 2} - {\left\| {\nabla {u_t}} \right\|^2} - \sigma {\left( {\nabla u,\nabla {u_t}} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {g'^\circ \nabla u} \right)(t) - \frac{1}{2}g(t){\left\| {\nabla u} \right\|^2}.$

      由(7)式和假设(A1)~(A2),可得 $\dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}E(t) \leqslant 0$,因此能量函数 $E(t)$ 是一个非增函数,且满足(5)式. 证毕.

      引理4 设 $u$ 是方程(1)的解,若假设(A1)~(A2)成立,且满足 $0 < E(0) < {E_1}$$\left\| {{u_0}(x)} \right\| > \gamma $ 时,则

      $\qquad\left\| {u(x,t)} \right\| > \gamma ,\quad \forall t \geqslant 0,$

      其中 $\gamma ,{E_1}$ 由(2)式给出.

      证明 由(3)、(4)式,借助引理1和假设(A2)得

      $\begin{split} 2E(t) \geqslant I(t) \geqslant& \left( {{\xi _0} - \int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s} \right){\left\| {\nabla u} \right\|^2} + {\left\| u \right\|^2} - \int_\Omega {{u^2}\ln {{\left| u \right|}^k}{\rm{d}}x} \geqslant \left( {{l_0} - \frac{{ak}}{4}} \right){\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \left( {1 - \frac{{3k}}{4}\ln \frac{{4a}}{{\rm{e}}} - k\ln \left\| u \right\|} \right){\left\| u \right\|^2} \geqslant \\ & \left( {1 - \frac{{3k}}{4}\ln \frac{{4a}}{{\rm{e}}} - k\ln \left\| u \right\|} \right){\left\| u \right\|^2}, \end{split} $

      $G\left( {\left\| u \right\|} \right) = \left( {1 - \dfrac{{3k}}{4}\ln \dfrac{{4a}}{{\rm{e}}} - k\ln \left\| u \right\|} \right){\left\| u \right\|^2}$,当 $\left\| u \right\| \in \left( {0,\gamma } \right)$ 时,易得函数 $G\left( {\left\| u \right\|} \right)$ 单调递增;当 $\left\| u \right\| \in \left( {\gamma , + \infty } \right)$ 时,函数 $G\left( {\left\| u \right\|} \right)$ 单调递减;当 $\left\| u \right\| \to + \infty $ 时,$G\left( {\left\| u \right\|} \right) \to - \infty ,$$G\left( \gamma \right) = {E_1}$. 类似文献[9]中的引理4.2和引理4.3证明过程,可知(8)式成立. 证毕.

      引理5 设 $u$ 是方程(1)的解,则对任意 $\nu > 0$

      $\qquad \int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|{\rm{d}}x} \leqslant \nu \left\| u \right\|_4^4 + \frac{1}{{4{{\rm{e}}^2}\nu }}{\left\| u \right\|^2}.$

      证明 对于任意 $t \geqslant 0$,定义:

      $\qquad {\Omega _1} = \left\{ {x \in \Omega :\left| {u(x,t)} \right| \leqslant 1} \right\},{\Omega _2} = \left\{ {x \in \Omega :\left| {u(x,t)} \right| > 1} \right\}.$

      由Young不等式知:对于任意 $\nu > 0$,有

      $\qquad \int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|{\rm{d}}x} \leqslant {\int _{{\Omega _2}}}{u^2}\ln \left| u \right|{\rm{d}}x \leqslant \nu \left\| u \right\|_4^4 + \frac{1}{{4\nu }}{\int _{{\Omega _2}}}{\left| {\ln \left| u \right|} \right|^2}{\rm{d}}x \leqslant \nu \left\| u \right\|_4^4 + \frac{1}{{4{{\rm{e}}^2}\nu }}{\int _{{\Omega _2}}}{\left| u \right|^2}{\rm{d}}x \leqslant \nu \left\| u \right\|_4^4 + \frac{1}{{4{{\rm{e}}^2}\nu }}{\left\| u \right\|^2}, $

      证毕.

      定理2 假设方程(1)的初始值满足 $0 < E(0) < {E_1},\left\| {{u_0}(x)} \right\| > \gamma $,且假设(A1)~(A3)成立时,使得:

      (Ⅰ) 当 $q > 1$$0 < r < 2$ 时,方程(1)的解在有限时间点处爆破;

      (Ⅱ) 当 $q \geqslant 1$$r = 0$ 时,方程(1)的解在无穷时间处爆破.

      证明 记

      $\qquad H(t) = {E_1} - E(t),$

      则由引理3和 $0 < E(0) < {E_1}$,得

      $\qquad 0 < H(0) \leqslant H(t) \leqslant {E_1} - \frac{k}{4}{\left\| u \right\|^2} + \frac{k}{2}\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} {\rm{d}}x, $

      再由(2)式,引理4知

      $\qquad {E_1} - \frac{k}{4}{\left\| u \right\|^2} \leqslant {E_1} - \frac{k}{4}{\gamma ^2} = 0,\quad \forall t \geqslant 0.$

      因此

      $\qquad 0 < H(0) \leqslant H(t) \leqslant \frac{k}{2}\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} {\rm{d}}x,\quad \forall t \geqslant 0.$

      按照(Ⅰ)、(Ⅱ)条件的不同,下面分2方面来证明.

      (1) 首先证明(Ⅰ)成立. 一方面,定义函数

      $\qquad L(t) = {H^{1 - \alpha }}(t) + F(t),$

      其中

      $\qquad 0 < \alpha \leqslant \min \left\{ {\frac{1}{4},\frac{{q - 1}}{{q + 1}},\frac{{2 - r}}{{4(r + 1)}}} \right\},$

      $\qquad F(t) = \varepsilon \int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x + \frac{\varepsilon }{2}{\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \frac{{\sigma \varepsilon }}{4}{\left\| {\nabla u} \right\|^4}.$

      对(12)式两边关于时间 $t$ 求导得

      $\qquad L'(t) = (1 - \alpha ){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) + F'(t),$

      其中

      $\qquad \begin{split} F'(t) = & \varepsilon {\left\| {{u_t}} \right\|^2} - \varepsilon \left( {{\xi _0}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {\xi _1}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + {{\left\| u \right\|}^2} + \left\| u \right\|_4^4} \right) + \\ & \varepsilon \int_\Omega {\nabla u(t)} \int_0^t {g(t - s)\nabla u(s)} {\rm{d}}s{\rm{d}}x - \varepsilon \int_\Omega {{{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t}u} {\rm{d}}x + \varepsilon k\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} {\rm{d}}x. \\ \end{split} $

      对(14)式右边的第3项运用Young不等式可得对任意 $\eta > 0$,有

      $\qquad \begin{split} \varepsilon \int_\Omega {\nabla u(t) \cdot } \int_0^t {g(t - s)\nabla u(s)} {\rm{d}}s{\rm{d}}x = & \varepsilon \int_\Omega {\nabla u(t) \cdot } \int_0^t {g(t - s)\left( {\nabla u(s) - \nabla u(t)} \right)} {\rm{d}}s{\rm{d}}x + \varepsilon \int_0^t {g(t - s){{\left\| {\nabla u(t)} \right\|}^2}} {\rm{d}}s \geqslant \\ & \varepsilon (1 - \eta )\int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s{\left\| {\nabla u(t)} \right\|^2} - \frac{\varepsilon }{{4\eta }}\left( {g \circ \nabla u} \right)(t), \end{split} $

      任取 $\Lambda > 0$,由(10)式得

      $\qquad 4(q + 1)\Lambda \varepsilon E(t) + 4(q + 1)\Lambda \varepsilon H(t) - 4(q + 1)\Lambda \varepsilon {E_1} = 0,$

      再将(15),(16)式代入(14)式有

      $\qquad \begin{split} F'(t) \geqslant & \varepsilon \left[ {2\left( {q + 1} \right)\Lambda + 1} \right]{\left\| {{u_t}} \right\|^2} + \varepsilon {\xi _1}\left( {2\Lambda - 1} \right){\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}} + \varepsilon \left[ {2\Lambda (q + 1) - 1} \right]{\left\| u \right\|^2} + \\ & \varepsilon \left[ {2\Lambda \left( {q + 1} \right)\left( {{\xi _0} - \int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s} \right) + (1 - \eta )\int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s - {\xi _0}} \right]{\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \\ & \varepsilon \left[ {\Lambda (q + 1) - 1} \right]\left\| u \right\|_4^4 + k\Lambda \varepsilon (q + 1){\left\| u \right\|^2} - 4\Lambda \varepsilon (q + 1){E_1} + 4\Lambda \varepsilon (q + 1)H(t) + \\ & \varepsilon \left[ {2\Lambda (q + 1) - \frac{1}{{4\eta }}} \right]\left( {g \circ \nabla u} \right)(t) - \varepsilon \int_\Omega {{{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t}u} {\rm{d}}x + \varepsilon k\left[ {1 - 2\Lambda (q + 1)} \right]\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} {\rm{d}}x. \end{split} $

      由引理4和 ${E_1}$ 的定义得

      $\qquad k\Lambda \varepsilon (q + 1){\left\| u \right\|^2} - 4\Lambda \varepsilon (q + 1){E_1} \geqslant 0.$

      进一步令 $\eta = \dfrac{1}{{8\Lambda (q + 1)}}$,利用引理5可将(17)式化简为

      $\qquad \begin{split} F'(t) \geqslant & \varepsilon \left[ {2\left( {q + 1} \right)\Lambda + 1} \right]{\left\| {{u_t}} \right\|^2} + \varepsilon \left[ {2\Lambda (q + 1) - 1 + \frac{{k\left( {1 - 2\Lambda (q + 1)} \right)}}{{4{{\rm{e}}^2}\nu }}} \right]{\left\| u \right\|^2} + \\ & \varepsilon \left[ {2\Lambda \left( {q + 1} \right)\left( {{\xi _0} - \int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{8\Lambda (q + 1)}}} \right)\int_0^t {g(s)} {\rm{d}}s - {\xi _0}} \right]{\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \\ & \varepsilon {\xi _1}\left( {2\Lambda - 1} \right){\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}} + \varepsilon \left[ {\Lambda (q + 1) - 1 + k\nu \left( {1 - 2\Lambda (q + 1)} \right)} \right]\left\| u \right\|_4^4 + \\ & 4\Lambda \varepsilon (q + 1)H(t) - \varepsilon \int_\Omega {{{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t}u} {\rm{d}}x, \end{split} $

      其中

      $\qquad \Lambda > \max \left\{ {\frac{1}{2},\frac{1}{{q + 1}},\frac{1}{{4(q + 1)}}\left( {1 + \sqrt {\frac{{{\xi _0}}}{{{l_0}}}} } \right),\frac{{4{{\rm{e}}^2} - {k^2}}}{{2(q + 1)(2{{\rm{e}}^2} - {k^2})}}} \right\}.$

      当正实数 $\Lambda $ 固定时,$\nu $ 取值范围为

      $\qquad \frac{k}{{4{{\rm{e}}^2}}} < \nu < \frac{{\Lambda (q + 1) - 1}}{{k\left[ {2\Lambda (q + 1) - 1} \right]}}.$

      因此,将(18)式代入(13)式知:存在 ${C_0} > 0$,使得

      $\qquad L'(t) \geqslant (1 - \alpha ){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) - \varepsilon \int_\Omega {{{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t}u} {\rm{d}}x + {C_0}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right). $

      接下来对(19)式进行估计. 利用Young不等式有

      $\qquad \left| {\int_\Omega {{{\left| {{u_t}} \right|}^r}{u_t}u} {\rm{d}}x} \right| \leqslant \frac{{{\delta ^{r + 2}}}}{{r + 2}}\left\| u \right\|_{r + 2}^{r + 2} + \frac{{r + 1}}{{r + 2}}{\delta ^{ - \frac{{r + 2}}{{r + 1}}}}\left\| {{u_t}} \right\|_{r + 2}^{r + 2},\quad \forall \delta > 0,$

      故(19)式可化简为

      $\qquad \begin{split} L'(t) \geqslant & (1 - \alpha ){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) - \varepsilon \frac{{{\delta ^{r + 2}}}}{{r + 2}}\left\| u \right\|_{r + 2}^{r + 2} - \varepsilon \frac{{r + 1}}{{r + 2}}{\delta ^{ - \frac{{r + 2}}{{r + 1}}}}\left\| {{u_t}} \right\|_{r + 2}^{r + 2}+\\ & {C_0}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right). \end{split}$

      选择充分大的 $N > 0$,且满足 ${\delta ^{ - \frac{{r + 2}}{{r + 1}}}} = N{H^{ - \alpha }}(t)$,(20)式变形为

      $\qquad \begin{split} L'(t) \geqslant & \left( {1 - \alpha - \varepsilon \frac{{r + 1}}{{r + 2}}N} \right){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) - \varepsilon \frac{{{N^{ - (r + 1)}}}}{{r + 2}}{H^{\alpha (r + 1)}}(t)\left\| u \right\|_{r + 2}^{r + 2} + \\ & {C_0}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right). \\ \end{split} $

      下面对(21)式中不等号右边第2项进行估计. 由于 $0 < r < 2$,通过嵌入不等式有

      $\qquad \left\| u \right\| \leqslant {\left| \Omega \right|^{\frac{1}{4}}}{\left\| u \right\|_4},{\left\| u \right\|_{r + 2}} \leqslant {\left| \Omega \right|^{\frac{{2 - r}}{{4(r + 2)}}}}{\left\| u \right\|_4}, $

      利用Young不等式,结合引理5和(11)式得

      $\qquad H(t) \leqslant \frac{k}{2}\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} dx \leqslant \frac{{k\nu }}{2}\left\| u \right\|_4^4 + \frac{k}{{8{{\rm{e}}^2}\nu }}{\left\| u \right\|^2} \leqslant \frac{{k\nu }}{2}\left\| u \right\|_4^4 + \frac{{k{{\left| \Omega \right|}^{\frac{1}{2}}}}}{{8{{\rm{e}}^2}\nu }}\left\| u \right\|_4^2 \leqslant \left( {\frac{{k\nu }}{2} + \frac{{{{\left| {k\Omega } \right|}^{\frac{1}{2}}}}}{{16{{\rm{e}}^2}k\nu }}} \right)\left\| u \right\|_4^4 + \frac{{k{{\left| \Omega \right|}^{\frac{1}{2}}}}}{{16{{\rm{e}}^2}\nu }} \leqslant {C_1}\left\| u \right\|_4^4, $

      其中 ${C_1}{\rm{ = }}\dfrac{{k\nu }}{2} + \dfrac{{k{{\left| \Omega \right|}^{\frac{1}{2}}}}}{{16{{\rm{e}}^2}\nu }} + \dfrac{{k{{\left| \Omega \right|}^{\frac{3}{2}}}}}{{16{{\rm{e}}^2}\nu {\gamma ^4}}}.$ 因此,可得

      $\qquad {H^{\alpha (r + 1)}}(t)\left\| u \right\|_{r + 2}^{r + 2} \leqslant {C_1}^{\alpha (r + 1)}\left\| u \right\|_4^{4\alpha (r + 1)}\left\| u \right\|_{r + 2}^{r + 2} \leqslant {C_1}^{\alpha (r + 1)}{\left| \Omega \right|^{\frac{{2 - r}}{4}}}\left\| u \right\|_4^{4\alpha (r + 1) + r + 2}.$

      再由 $0 < \alpha \leqslant \dfrac{{2 - r}}{{4(r + 1)}}$ 和不等式 ${z^\nu } \leqslant (z + 1) \leqslant \left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right)(z + a)\;(\forall z \geqslant 0,0 < \nu \leqslant 1,a \geqslant 0)$,可得

      $\qquad \left\| u \right\|_4^{4\alpha (r + 1) + r + 2} \leqslant \left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right)\left( {\left\| u \right\|_4^4 + H(0)} \right) \leqslant \left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right)\left( {\left\| u \right\|_4^4 + H(t)} \right),$

      因此,(21)式化简为

      $\qquad \begin{split} L'(t) \geqslant & \left( {1 - \alpha - \varepsilon \frac{{r + 1}}{{r + 2}}N} \right){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) + \varepsilon \left[ {{C_0} - \frac{{{C_1}^{\alpha (r + 1)}{{\left| \Omega \right|}^{\frac{{2 - r}}{4}}}}}{{(r + 2){N^{(r + 1)}}}}\left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right)} \right]\left\| u \right\|_4^4 + \\ & {C_0}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}+{{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + {{\left\| u \right\|}^2}} \right) + \varepsilon \left[ {{C_0} - \frac{{{C_1}^{\alpha (r + 1)}{{\left| \Omega \right|}^{\frac{{2 - r}}{4}}}}}{{(r + 2){N^{(r + 1)}}}}\left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right)} \right]H(t), \end{split} $

      (22)式中的 $N > 0$ 足够大,且满足

      $\qquad \frac{{{C_1}^{\alpha (r + 1)}{{\left| \Omega \right|}^{\frac{{2 - r}}{4}}}}}{{(r + 2){N^{(r + 1)}}}}\left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right) > 0,$

      则存在 ${C_2} > 0$,使得

      $\qquad L'(t) \geqslant \left( {1 - \alpha - \varepsilon \frac{{r + 1}}{{r + 2}}N} \right){H^{ - \alpha }}(t)H'(t) + {C_2}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right). $

      将(23)式中 $N > 0$ 固定,令 $\varepsilon $ 充分小,使得

      $\qquad 1 - \alpha - \varepsilon \frac{{r + 1}}{{r + 2}}N > 0,$

      $\qquad L(0) = {H^{1 - \alpha }}(0) + \varepsilon \left( {\int_\Omega {{u_0}{u_1}} {\rm{d}}x + \frac{1}{2}{{\left\| {\nabla {u_0}} \right\|}^2} + \frac{\sigma }{4}{{\left\| {\nabla {u_0}} \right\|}^4}} \right) > 0,$

      故(23)式最后化简为

      $\qquad L'(t) \geqslant {C_2}\varepsilon \left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right) \geqslant 0,$

      显然有

      $\qquad L(t) \geqslant L(0) > 0,\quad \forall t \geqslant 0.$

      另一方面,利用不等式 ${({a_1} + {a_2})^l} \leqslant {2^{l - 1}}({a_1}^l + {a_2}^l)$(其中 ${a_1} \geqslant 0,{a_2} \geqslant 0,l \geqslant 1$),可得

      $\qquad {L^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}}(t) \leqslant {C_3}\left[ {H(t) + {{\left( {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right)}^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{\frac{2}{{1 - \alpha }}}} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{\frac{4}{{1 - \alpha }}}}} \right],\quad \forall t \geqslant 0.$

      下面对(25)式中各项进行估计. 由Cauchy-Schwarz不等式有

      $\qquad \left| {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right| \leqslant {\rm{ }}{\left| \Omega \right|^{\frac{1}{4}}}{\left\| u \right\|_4}\left\| {{u_t}} \right\|,$

      因此,可得

      $\qquad {\left( {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}} \leqslant {C_3}\left\| u \right\|_4^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}{\left\| {{u_t}} \right\|^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}},$

      再由Young不等式有

      $\qquad {\left( {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}} \leqslant {C_3}\left( {\left\| u \right\|_4^{\frac{\mu }{{1 - \alpha }}} + {{\left\| {{u_t}} \right\|}^{\frac{\theta }{{1 - \alpha }}}}} \right),$

      其中 $\dfrac{1}{\mu } + \dfrac{1}{\theta } = 1$. 令 $\theta = 2(1 - \alpha )$,则 $\dfrac{\mu }{{1 - \alpha }} = \dfrac{2}{{1 - 2\alpha }}$. 故(26)式化为

      $\qquad {\left| {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right|^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}} \leqslant {C_3}\left[ {{{\left( {\left\| u \right\|_4^4} \right)}^{\frac{2}{{4(1 - 2\alpha )}}}} + {{\left\| {{u_t}} \right\|}^2}} \right].$

      又因为 $\alpha \leqslant \dfrac{1}{4}$,结合不等式 ${z^\nu } \leqslant (z + 1) \leqslant \left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right)(z + a)\; (z \geqslant 0,0 < \nu \leqslant 1,a \geqslant 0),$ 可得

      $\qquad {\left( {\left\| u \right\|_4^4} \right)^{\frac{2}{{4(1 - 2\alpha )}}}} \leqslant \left( {1 + \frac{1}{{H(0)}}} \right)\left( {\left\| u \right\|_4^4 + H(t)} \right),$

      因此,

      $\qquad {\left| {\int_\Omega {u{u_t}} {\rm{d}}x} \right|^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}} \leqslant {C_4}\left( {\left\| u \right\|_4^4 + H(t) + {{\left\| {{u_t}} \right\|}^2}} \right),\quad \forall t \geqslant 0.$

      通过Young不等式和引理4,得

      $\qquad {\left\| {\nabla u} \right\|^{\frac{2}{{1 - \alpha }}}} \leqslant {\left\| {\nabla u} \right\|^{\frac{4}{{1 - \alpha }}}} + \frac{1}{4} \leqslant {\left\| {\nabla u} \right\|^{\frac{4}{{1 - \alpha }}}} + \frac{1}{{4{\gamma ^2}}}{\left\| u \right\|^2},$

      $\alpha \leqslant \dfrac{{q - 1}}{{q + 1}},q > 1$$\dfrac{4}{{1 - \alpha }} - (2q + 2) < 0$,再由引理2、引理4得

      $\qquad \begin{split} {\left\| {\nabla u} \right\|^{\frac{4}{{1 - \alpha }}}} \leqslant & {\left\| {\nabla u} \right\|^{\frac{4}{{1 - \alpha }} - (2q + 2)}}{\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}} \leqslant \frac{1}{{{C_*}^{\frac{4}{{1 - \alpha }} - (2q + 2)}}}{\left\| u \right\|^{\frac{4}{{1 - \alpha }} - (2q + 2)}}{\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}} \leqslant \\& {\left( {\frac{\gamma }{{{C_*}}}} \right)^{\frac{4}{{1 - \alpha }} - (2q + 2)}}{\left\| {\nabla u} \right\|^{2q + 2}}. \end{split} $

      将(28)~(30)式代入(25)式化简为

      $\qquad {L^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}}(t) \leqslant {C_4}\left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right),\quad \forall t \geqslant 0.{\rm{ }}$

      最后,联合(24)和(31)式可知:存在 ${C_5}{\rm{ > 0}}$,使得

      $\qquad L'(t) \geqslant {C_5}{L^{\frac{1}{{1 - \alpha }}}}(t),\quad \forall t \geqslant 0.$

      对(32)式进行 $(0,t)$ 上积分有

      $\qquad L(t) \geqslant {\left( {{L^{ - \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}}}(0) - {C_5}\frac{\alpha }{{1 - \alpha }}t} \right)^{ - \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}}},{\rm{ }}$

      从而因 $L(0) > 0$ 以及(33)式,知 $\mathop {\lim }\limits_{t \to {T^*}} L(t) = + \infty $,其中 ${T^*} \leqslant \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}{C_4}{L^{ - \frac{\alpha }{{1 - \alpha }}}}(0).$

      (2) 下面证明(Ⅱ)成立. 记

      $\qquad {L_1}\left( t \right) = H(t) + {F_1}(t),$

      其中 ${F_1}(t) = \varepsilon (u,{u_t}) + \dfrac{\varepsilon }{2}{\left\| u \right\|^2} + \dfrac{\varepsilon }{2}{\left\| {\nabla u} \right\|^2} + \dfrac{{\sigma \varepsilon }}{4}{\left\| {\nabla u} \right\|^4}.$

      ${L_1}(t)$ 关于时间 $t$ 求导得

      $\qquad L'(t) = H'(t) + {F_1}^\prime (t),$

      其中

      $\qquad {F_1}^\prime (t) = \varepsilon {\left\| {{u_t}} \right\|^2} - \varepsilon \left( {{\xi _0}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {\xi _1}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + {{\left\| u \right\|}^2} + \left\| u \right\|_4^4} \right) + \varepsilon \int_\Omega {\nabla u(t) \cdot } \int_0^t {g(t - s)\nabla u(s)} {\rm{d}}s{\rm{d}}x + \varepsilon k\int_\Omega {{u^2}\ln \left| u \right|} {\rm{d}}x. $

      对于(36)式运用类似(15)~(18)式的处理过程可得:存在 ${C_6} > 0$,使得

      $\qquad {L_1}^\prime (t) \geqslant {C_6}\left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^{2q + 2}} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right),$

      又由于 $q \geqslant 1$,再由引理4和Young不等式,可将(37)式化为

      $\qquad {L_1}^\prime (t) \geqslant {C_7}\left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^4} + \left\| u \right\|_4^4 + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right).$

      ${L_1}(t)$ 中的 $(u,{u_t})$ 项利用Holder不等式,可得

      $\qquad {L_1}\left( t \right) \leqslant {C_8}\left( {{{\left\| {{u_t}} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^2} + {{\left\| {\nabla u} \right\|}^4} + {{\left\| u \right\|}^2} + H(t)} \right).$

      再由(38),(39)式,可得 ${L'_1}\left( t \right) \geqslant {C_8}{L_1}\left( t \right),$ 再在 $(0,t)$ 上积分有

      $\qquad {L_1}\left( t \right) \geqslant {L_1}\left( 0 \right){{\rm{e}}^{{C_8}t}},$

      即有 $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {L_1}\left( t \right) = + \infty .$ 证毕.

      注 1 当 $q \geqslant 0,r \geqslant 2$ 时,若再假设存在非增正可微函数 $\zeta $ 使 $g'(t) \leqslant - \zeta (t)g(t),\quad g(0) > 0$$\int_t^{ + \infty } {\zeta (s)} {\rm{d}}s = + \infty ,$

      类似文献[9]~[10],易证明方程整体解存在且能量函数具有指数衰减性.

参考文献 (18)

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