时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性

彭姣 朱建青

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时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性

    作者简介: 彭姣(1992−),女,河南人,硕士生. 研究方向:工程中的数学技术. E-mail:1843726664@qq.com;
    通讯作者: 朱建青, zjq@mail.usts.edu.cn
  • 中图分类号: O316

On Lie symmetry of relative motion dynamics of non-holonomic systems in phase space on time scales

    Corresponding author: ZHU Jian-qing, zjq@mail.usts.edu.cn
  • CLC number: O316

  • 摘要: 研究时间尺度上相空间中非完整相对运动动力学的Lie对称性与守恒量. 首先,基于Legendre变换及其Hamilton原理,建立该系统的Hamilton正则方程;其次,基于微分方程在无限小变换下不变性原理,建立Lie对称性确定方程和限制方程,给出了结构方程和相应守恒量;最后,用一个例子阐明结果的应用.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-09-30
  • 录用日期:  2020-04-02
  • 网络出版日期:  2020-04-11
  • 刊出日期:  2020-05-01

时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性

    作者简介:彭姣(1992−),女,河南人,硕士生. 研究方向:工程中的数学技术. E-mail:1843726664@qq.com
    通讯作者: 朱建青, zjq@mail.usts.edu.cn
  • 苏州科技大学 数理学院,江苏 苏州 215009

摘要: 研究时间尺度上相空间中非完整相对运动动力学的Lie对称性与守恒量. 首先,基于Legendre变换及其Hamilton原理,建立该系统的Hamilton正则方程;其次,基于微分方程在无限小变换下不变性原理,建立Lie对称性确定方程和限制方程,给出了结构方程和相应守恒量;最后,用一个例子阐明结果的应用.

English Abstract

  • 1988年,德国学者Hilger在他的博士论文中提出了时间尺度理论[1],为解决连续与离散系统提供一种新的方法[2]. 近年来,时间尺度理论被广泛应用于最优化控制、物理学及经济学等领域[3-7],在对称性与守恒量的研究中也取得了一些重要成果[8-16]. 2011年,Bartosiewicz等建立了时间尺度上delta导数下的第二Euler−lagrange方程[17];2012年,蔡平平研究了时间尺度上Lie对称性及其守恒量的一种新方法[18];2016年,张毅研究时间尺度上Hamilton系统的Noether对称性,并给出了经典和离散两种情况下Hamilton系统的Noether守恒量[19]. 2018年,巩盛男研究了时间尺度上相对运动完整系统的对称性理论[20].

    在相对运动动力学的研究中,已有许多学者对Lie对称性做了不少工作. 梅凤翔在分析力学[21]与李群和李代数对约束力学系统的应用[22]中分别讲解了相对运动动力学的运动微分方程的推导过程和非完整系统相对运动动力学的Lie对称性;2005年,谢小明和张毅在相空间中研究了单面非完整约束系统相对运动动力学的Lie对称性与守恒量[23];2011年,解银丽、贾利群和杨新芳探讨了相对运动动力学系统Nielsen方程的Lie对称性直接导致的Hojman守恒量[24],而关于时间尺度上相对运动动力学对称性的研究还较少[25-29],本文研究时间尺度上相空间中非完整相对运动动力学的Lie对称性.

    • 若相对运动动力学的位形是由 $n$ 个Lagrange坐标 ${q_s}$$(s = 1,2, \cdots ,n)$ 来确定,它的运动受有 $g$ 个理想双面非完整约束

      $\qquad{\psi _\beta }(t,{{q}}^\sigma ,{{q}}^\Delta ) = 0\;\;(\beta = 1,2, \cdots ,g),$

      非完整约束(1)加在时间尺度虚位移上的条件为

      $\qquad\frac{{\partial {\psi _\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}{\rm{\delta}} q_s^\sigma = 0 \; (s = 1,2, \cdots ,n;\beta = 1,2, \cdots ,g),$

      时间尺度上Lagrange非完整力学系统的运动微分方程可表示为

      $\qquad \frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial {L_r}}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {L_r}}}{{\partial q_s^\sigma }} = Q_s^{''} + Q_s^{{\omega ^\Delta }} + {\varGamma _s} + {\lambda _\beta }\frac{{\partial {\psi _\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}\;\;(s = 1,2, \cdots ,n),$

      其中 ${L_r} = {T_r} - V - {V^0} - {V^w}$ 为相对运动Lagrange函数,$Q_s^{''} = Q_s^{''}(t,{{{q}}^\sigma },{{{q}}^\Delta })$ 为非势广义力,${T_r}$ 为相对运动动能,${V^0}$ 为平动运动广义惯性力场的均匀场势能,${V^\omega }$ 为离心力势能,$Q_s^{{\omega ^\Delta }}$ 为广义旋转惯性力,${\varGamma _s} = {r_{sk}}q_k^\Delta $ 为广义陀螺力,${\lambda _\beta }$ 为约束乘子.

      若系统非奇异,即

      $\qquad \det \left(\frac{{{\partial ^2}{L_r}}}{{\partial q_k^\Delta \partial q_s^\Delta }}\right) \ne 0\;\; (k = 1,2, \cdots ,n;s = 1,2, \cdots ,n),$

      方程(3)可表示为

      $\qquad \frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial {L_r}}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {L_r}}}{{\partial q_s^\sigma }} = Q_s^{''} + Q_s^{{\omega ^\Delta }} + {\varGamma _s} + {\varLambda _s} \;\; (s = 1,2, \cdots ,n),$

      其中

      $\qquad {\varLambda _s} = {\varLambda _s}(t,{{q}}_s^\sigma {{q}}^\Delta ) = {\lambda _\beta }\frac{{\partial {\psi _\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}.$

      引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[25]

      $\qquad {p_s} = \frac{{\partial {L_r}}}{{\partial q_s^\Delta }},\;{H_r}(t,{{q}}^\sigma ,{{p}}) = {p_s}q_s^\Delta - {L_r} \; (s = 1,2, \cdots ,n), $

      那么在正则变量 $p$${q^\sigma }$ 下,(1),(2)和(6)式变为

      $\qquad {\tilde \psi _\beta }{\rm{ = }}{\tilde \psi _\beta }(t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}}) = {\psi _\beta }(t,{{q}}^\sigma ,{{q}}^\Delta (t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}})) = 0 \; (s = 1,2, \cdots ,n;\;\; \beta = 1,2, \cdots ,g),$

      $\qquad \frac{{\partial {{\tilde \psi }_\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}{\rm{\delta}} q_s^\sigma = 0,$

      $\qquad {{\tilde \varLambda} _s} = {\mathop \lambda ^ \sim} _{\beta }(t,{{q}}^\sigma ,{{p}})\frac{{\partial {{\tilde \psi }_\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}.$

      时间尺度上相对运动动力学系统的Hamilton原理为

      $\qquad \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{\rm{\delta}} ({p_s}q_s^\Delta - {H_r}) + \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim {\rm{\delta}} q_s^\sigma + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim {\rm{\delta}} q_s^\sigma + {{\tilde \varGamma }_s}{\rm{\delta}} q_s^\sigma } \right]} \Delta t = 0,$

      其中 $\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim = \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim (t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}})$,并满足交换关系和端点条件[26]

      $\qquad \frac{\Delta }{{\Delta t}}({\rm{\delta}} q) = {\rm{\delta}} \left(\frac{\Delta }{{\Delta t}}q\right) = {\rm{\delta}} {q^\Delta },\;{({\rm{\delta}} q)^\sigma } = {\rm{\delta}} {q^\sigma },$

      $\qquad {\left. {{\rm{\delta}} {q_s}(t)} \right|_{t = {t_1}}} = {\left. {{\rm{\delta}} {q_s}(t)} \right|_{t = {t_2}}} = 0.$

      将(9)式两边同时乘以 $\mathop {{\lambda _\beta }}\limits^ \sim $,代入(11)式,可得

      $\qquad \begin{split} & \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {\text{δ}}{ ({p_s}q_s^\Delta - {H_r}) + \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim {\text{δ}} q_s^\sigma + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim {\text{δ}} q_s^\sigma + {{\tilde \varGamma }_s}{\text{δ}} q_s^\sigma } \right]} \Delta t=\\ & \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{p_s}{\text{δ}} q_s^\Delta + q_s^\Delta {\text{δ}} {p_s} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}{\text{δ}} q_s^\sigma - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}}{\text{δ}} {p_s} + \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim {\text{δ}} q_s^\sigma + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim {\text{δ}} q_s^\sigma + {{\tilde \varGamma }_s}{\text{δ}} q_s^\sigma + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\partial {{\tilde \psi }_\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}{\text{δ}} q_s^\sigma } \right]} \Delta t=\\ & \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {{\text{δ}} {p_s}\bigg(q_s^\Delta - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}}\bigg) + {{\left[ {\int_{{t_1}}^\tau {\mathop {\bigg(Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim + \mathop {{\varGamma _s}}\limits^ \sim + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\partial {{\tilde \psi }_\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}\bigg)\Delta \tau \cdot {\text{δ}} {q_s}} } \right]}^\Delta }} \right.} -\\ & \int_{{t_1}}^\tau {\bigg(\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {{\tilde \varGamma }_s} + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\mathop {\partial {\psi _\beta }}\limits^ \sim }}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}\bigg)\Delta \tau \cdot {{({\text{δ}} {q_s})}^\Delta }} + \left. {{p_s}{\text{δ}} q_s^\Delta } \right\}\Delta t =\\ & \left. {\left[ {\int_{{t_1}}^\tau {\mathop {\bigg(Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {{\tilde \varGamma }_s} + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\mathop {\partial {\psi _\beta }}\limits^ \sim }}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}\bigg)\Delta \tau \cdot {\text{δ}} {q_s}} } \right]} \right|_{{t_1}}^{{t_2}} + \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left\{ {{\text{δ}} {p_s}\bigg(q_s^\Delta - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}}\bigg)} \right.} +\\ & \left[ {{p_s} - \int_{{t_1}}^\tau {\bigg(\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {{\tilde \varGamma }_s} + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\mathop {\partial {\psi _\beta }}\limits^ \sim }}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}\bigg)\Delta \tau } } \right]\Bigg. {{{({\text{δ}} {q_s})}^\Delta }} \Bigg\}\Delta t = 0. \end{split} $

      对(7)式两边关于广义动量求偏导数,得到

      $\qquad q_s^\Delta - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}} = 0.$

      将(15)代入(14)式,根据Dubois−Reymond定理[27],可得

      $\qquad {p_s} - \int_{{t_1}}^\tau {\bigg(\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {{\tilde \varGamma }_s} + {{\mathop \lambda \limits^ \sim }_\beta }\frac{{\mathop {\partial {\psi _\beta }}\limits^ \sim }}{{\partial q_s^\Delta }} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}\bigg)\Delta \tau } = {\rm{const}}$

      对(16)式求 $\Delta $ 导数可得

      $\qquad \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }} = - p_s^\Delta + \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {\mathop \lambda \limits^ \sim} _{\beta }\frac{{\mathop {\partial {\psi _\beta }}\limits^ \sim }}{{\partial q_s^\Delta }} \; (s = 1,2, \cdots ,n;\beta = 1,2, \cdots ,g)$

      再根据(10)式,则方程(15)和(17)可进一步表示为

      $\qquad q_s^\Delta = \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}},\;\;p_s^\Delta = - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }} + \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s} \;\;(s = 1,2, \cdots ,n), $

      则称方程(18)为时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学正则方程,将(18)式展开可记作如下形式

      $\qquad q_s^\Delta = {\mathop g\limits^ \sim} _{s}(t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}}),\;p_s^\Delta = {\mathop h\limits^ \sim} _{s}(t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}})\; (s = 1,2, \cdots ,n). $

    • 引入 $t,{q_s}$${p_s}$ 的无限小群变换

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} {t^ * } = t + \varepsilon {\xi _0}(t,{{{q}}}^\sigma(t),{{{p}}}(t)), \\ q_s^ * ({t^ * }) = {q_s}(t) + \varepsilon {\xi _s}(t,{{{q}}}^\sigma(t),{{{p}}}(t)), \\ p_s^ * ({t^ * }) = {p_s}(t) + \varepsilon {\eta _s}(t,{{{q}}}^\sigma(t),{{{p}}}(t)), \end{array} \right.$

      其中 $\varepsilon $ 为无限小参数,${\xi _0}$,${\xi _s}$,${\eta _s}$ 为生成元.

      引入时间尺度上生成元向量[28]

      $\qquad {X^{(0)}} = {\xi _0}\frac{\partial }{{\partial t}} + {\xi _s}\frac{\partial }{{\partial {q_s}}} + {\eta _s}\frac{\partial }{{\partial {p_s}}},$

      一次扩展为

      $\qquad {X^{(1)}} = {X^{(0)}} + (\xi _s^\Delta - q_s^\Delta \xi _0^\Delta )\frac{\partial }{{\partial q_s^\Delta }} + (\eta _s^\Delta - p_s^\Delta \xi _0^\Delta )\frac{\partial }{{\partial p_s^\Delta }},$

      即方程(19)在无限小变换(20)下的不变性可表示为

      $\qquad \left\{ \begin{aligned} & {X^{(1)}}\left[ {q_s^\Delta - \mathop {{g_s}}\limits^ \sim (t,{{q}}^\sigma (t),{{{p}}}(t))} \right]\left| {_{q_s^\Delta = \mathop {{g_s}}\limits^ \sim }} \right. = 0, \\ & {X^{(1)}}\left[ {p_s^\Delta - \mathop {{h_s}}\limits^ \sim (t,{{q}}^\sigma (t),{{{p}}}(t))} \right]\left| {_{p^\Delta = \mathop {{h_s}}\limits^ \sim }} \right. = 0. \end{aligned} \right. $

      进而可得出如下确定方程

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi _s^\Delta - q_s^\Delta \xi _0^\Delta = {X^{(0)}}({\mathop g\limits^ \sim} _{s}), \\ \eta _s^\Delta - p_s^\Delta \xi _0^\Delta = {X^{(0)}}({\mathop h\limits^ \sim} _{s}). \\ \end{array} \right.$

      同时对于非完整约束(1)中的限制条件为

      $\qquad {X^{(1)}}({\tilde \psi _\beta }(t,{{q}}^\sigma ,{{p}} )) = 0 \;\; (\beta = 1,2, \cdots ,g),$

      该条件对虚位移 ${\rm{\delta}} q_s^\sigma $ 施加了限制,从而得到附加限制条件

      $\qquad \frac{{\partial {{\tilde \psi }_\beta }}}{{\partial q_s^\Delta }}(\xi _s^\sigma - q_s^\Delta \xi _0^\sigma ) = 0.$

      定义1 若生成元 ${\xi _0},{\xi _s}$ 满足确定方程(24),那么称相应的对称性为时间尺度上相空间中非完整相对运动动力学的Lie对称性.

      定理1 关于相空间中非完整相对运动动力学的生成元 ${\xi _0},{\xi _s},{\eta _s}$,若存在规范函数 $G = G(t,{{q}}^\sigma ,{{{p}}})$ 满足结构方程

      $\qquad - {H_r}\xi _0^\Delta + p_s^\sigma \xi _s^\Delta + q_s^\Delta {\eta _s} - {X^{(0)}}({H_r}) + (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})({\xi _s} - q_s^\Delta \xi _0^\sigma ) + {G^\Delta } = 0,$

      那么相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性守恒量为

      $\qquad I = {p_s}{\xi _s} - {H_r}{\xi _0} + \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}{\xi _0} + G = {\rm{const}}.$

      证明

      $\qquad \begin{split} \frac{\Delta }{{\Delta t}}I = & p_s^\sigma \xi _s^\Delta + p_s^\Delta {\xi _s} + \left[ {\mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}} - {H_r}} \right]\xi _0^\Delta + \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left[ {\mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}} - {H_r}} \right]\xi _0^\sigma + {G^\Delta } =\\ & p_s^\sigma \xi _s^\Delta + p_s^\Delta {\xi _s} + \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}\xi _0^\Delta - {H_r}\xi _0^\Delta - \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left[ {{H_r} - \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}} \right]\xi _0^\sigma + {G^\Delta } = \\ & p_s^\sigma \xi _s^\Delta + p_s^\Delta {\xi _s} + \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}\xi _0^\Delta - {H_r}\xi _0^\Delta - \Bigg(\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}} - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})q_s^\Delta \Bigg)\xi _0^\sigma + {G^\Delta } = \\ & p_s^\sigma \xi _s^\Delta + p_s^\Delta {\xi _s} + \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}\xi _0^\Delta - {H_r}\xi _0^\Delta - \Bigg(\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}} - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})q_s^\Delta \Bigg)({\xi _0} + \mu (t)\xi _0^\Delta ) + \\ & {H_r}\xi _0^\Delta - p_s^\sigma \xi _s^\Delta - q_s^\Delta {\eta _s} + {X^{(0)}}({H_r}) - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{\omega ^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})({\xi _s} - q_s^\Delta \xi _0^\sigma ) = \\ & p_s^\Delta {\xi _s} + \mu (t)\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}\xi _0^\Delta - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}{\xi _0} + (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})q_s^\Delta {\xi _0} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}\mu (t)\xi _0^\Delta +\\ & (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})\mu (t)q_s^\Delta \xi _0^\Delta - q_s^\Delta {\eta _s} + {X^{(0)}}({H_r}) - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})({\xi _s} - q_s^\Delta \xi _0^\sigma ) =\\ & p_s^\Delta {\xi _s} + (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})q_s^\Delta \xi _0^\sigma - q_s^\Delta {\eta _s} - \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial t}}{\xi _0} + {X^{(0)}}({H_r}) - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {\tilde \varGamma _s} + {{\tilde \varLambda} _s})({\xi _s} - q_s^\Delta \xi _0^\sigma ) =\\ & \left[ {p_s^\Delta - (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim + {{\tilde \varGamma }_s} + {{{\tilde \varLambda} }_s}) + \frac{{\partial {H_r}}}{{\partial q_s^\sigma }}} \right]{\xi _s} + (\frac{{\partial {H_r}}}{{\partial {p_s}}} - q_s^\Delta ){\eta _s} = 0. \end{split} $

      证毕.

      ${\mathbb{T}}{\rm{ = }}{\mathbb{R}}$,可得 $\sigma (t) = t$, $\mu (t) = 0$,进而式(27)得出经典相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性结构方程[22]

      $\qquad - {H_r}{\mathop \xi \limits^ \cdot} _{s} + {p_s}{\mathop \xi \limits^ \cdot} _{s} + {\mathop q\limits^ \cdot} _{s}{\eta _s} - {X^{(0)}}({H_r}) + (\mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim + \mathop {Q_s^{\mathop \omega \limits^ \cdot }}\limits^ \sim + \mathop {{\varGamma _s}}\limits^ \sim + \mathop {{\varLambda _s}}\limits^ \sim )({\xi _s} - \mathop {{q_s}}\limits^ \cdot {\xi _0}) + \mathop G\limits^ \cdot = 0.$

      相应经典的相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性守恒量[22]

      $\qquad I = {p_s}{\xi _s} - {H_r}{\xi _0} + G = {\rm{const}}.$

    • 设时间尺度

      $\qquad {\mathbb{T}}{\rm{ = }}\left\{ {{2^n}:n \in \left. \mathbb{N} \right\}} \right. \cup \left\{ 0 \right\} $

      系统相对运动的Lagrange函数为

      $\qquad {L_r} = \frac{1}{2}\left[ {{{(q_1^\Delta )}^2} + {{(q_2^\Delta )}^2} } \right] -{\omega ^2}q_2^\sigma, $

      $\qquad \mathop {Q_s^{''}}\limits^ \sim = \mathop {Q_s^{{w^\Delta }}}\limits^ \sim = 0,\;(s=1,\;2).$

      广义陀螺力

      $\qquad {\tilde \varGamma _1} = \omega q_1^\Delta;\; {\tilde \varGamma _2} = - \omega q_2^\Delta , $

      其中载体以匀角速度 $\omega $ 绕某铅垂轴转动,被载系统为一单位质量的质点.

      非完整约束方程为

      $\qquad \tilde \psi = p_2-tp_1 = 0,$

      研究系统的对称性及其守恒量.

      首先引入广义动量和Hamilton函数

      $\qquad {p_1} = q_1^\Delta , \;{p_2} = q_2^\Delta, $

      $\qquad {H_r} = \frac{1}{2}\left[ {{{({p_1})}^2} + {{({p_2})}^2} } \right] +{\omega ^2}q_2^\sigma. $

      由式(18)可得

      $\qquad {p_1} = q_1^\Delta , \;{p_2} =q_2^\Delta , $

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} p_1^\Delta = {\omega ^2}p_1-\lambda t, \\ p_2^\Delta = -{\omega ^2} - \omega p_2 + \lambda . \end{array} \right.$

      由方程(35)、(38)易得

      $\qquad \lambda = \frac{{{2\omega}p_2+{\omega^2}+{p_1^\sigma} }}{{1+{t^2}}}. $

      代入(38)得

      $\qquad {p_1}= q_1^\Delta, {p_2}=q_2^\Delta, $

      $\qquad \left\{ \begin{aligned} & p_1^\Delta =\frac{{{\omega}({p_1}-{\omega t}-{tp_2})-{p_1^\sigma}t }}{{1+t^2}}, \\ & p_2^\Delta = \frac{{{\omega}({p_2}-{\omega t^2}-{p_2 t^2})+{p_1^\sigma} }}{{1+t^2}}. \end{aligned} \right.$

      其次由式(24)可取一组生成元为

      $\qquad {\xi _0} = 1, {\xi _1} = {\xi _2} = {\eta _1} = {\eta _2} = 0.$

      由限制条件(25)得

      $\qquad -t(\xi _1^\Delta-q_1^\Delta\xi _0^\Delta ) + (\xi _2^\Delta-q_2^\Delta \xi _0^\Delta )=0.$

      附加限制条件(26)则

      $\qquad -t(\xi _1^\sigma-q_1^\Delta \xi _0^\sigma)+( \xi _2^\sigma-q_2^\Delta \xi _0^\sigma) = 0.$

      可见生成元(41)满足限制条件(42)和附加限制条件(43),故生成元(41)对应系统的强Lie对称性.

      最后,将(41)代入该系统的结构方程(27)式可得

      $\qquad G = 0.$

      将式(41)和(44)代入式(28)可得时间尺度上相空间中非完整系统守恒量

      $\qquad I =- \frac{1}{2}\left[ {{{({p_1})}^2} + {{({p_2})}^2} } \right] -\omega^2 q_2^\sigma. $

    • 本文研究时间尺度上相空间中非完整相对运动动力学的Lie对称性与守恒量. 通过Legendre变换及Hamilton原理建立Hamilton正则方程,由微分方程在无限小变换下的不变性,可推导出确定方程和限制方程进而得出结构方程以及守恒量的具体表达式,其思想方法可进一步拓展到时间尺度上相对运动动力学Mei对称性等的研究.

参考文献 (29)

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