非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子交换子的有界性

孟晓燕 赵凯

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非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子交换子的有界性

    作者简介: 孟晓燕(1981−),女,山东人,硕士,副教授,主要从事调和分析及其应用方面的研究. E-mail:953521482@qq.com;
    通讯作者: 赵凯, zhkzhc@aliyun.com
  • 中图分类号: O174.2

Boundedness of commutators of Calderón-Zygmund operators on spaces with non-homogeneous metric measure

    Corresponding author: ZHAO Kai, zhkzhc@aliyun.com
  • CLC number: O174.2

  • 摘要:$ (X,d,\mu )$ 是一个满足上双倍条件和几何双倍条件的非齐度量测度空间,利用非齐度量测度空间的性质,借助于奇异积分算子有界性理论,基于非齐度量测度空间上Herz空间的刻画以及Herz型Hardy空间的原子分解和分子分解,证明了Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子在非齐度量测度空间上Herz型空间的有界性.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-22
  • 录用日期:  2020-03-27
  • 网络出版日期:  2020-04-11
  • 刊出日期:  2020-05-01

非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子交换子的有界性

    作者简介:孟晓燕(1981−),女,山东人,硕士,副教授,主要从事调和分析及其应用方面的研究. E-mail:953521482@qq.com
    通讯作者: 赵凯, zhkzhc@aliyun.com
  • 1. 青岛黄海学院 数理教学部,山东 青岛 266427
  • 2. 青岛大学 数学与统计学院,山东 青岛 266071

摘要: $ (X,d,\mu )$ 是一个满足上双倍条件和几何双倍条件的非齐度量测度空间,利用非齐度量测度空间的性质,借助于奇异积分算子有界性理论,基于非齐度量测度空间上Herz空间的刻画以及Herz型Hardy空间的原子分解和分子分解,证明了Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子在非齐度量测度空间上Herz型空间的有界性.

English Abstract

  • 20多年来的许多研究结果表明,在非双倍条件下,调和分析中 ${{\bf{R}}^n}$ 上许多经典的函数空间理论以及奇异积分算子有界性的结论依然是成立的[1-4]. 2010年,一类既满足几何双倍条件又满足上双倍条件的非齐度量测度空间被Hytönen引进[5],这类空间包含了齐型空间和非双倍测度空间. 此后,杨大春等[6-7]引入了非齐度量测度空间上的Hardy空间,并讨论了一些等价刻画和奇异积分算子的有界性等. 非齐度量测度空间被许多作者关注[8-12],在20世纪90年代,陆善镇等对 ${{\bf{R}}^n}$ 上的Herz型空间进行了系统研究,有关Herz型空间及其上许多奇异积分算子和交换子的有界性问题取得了丰硕的成果[13-17]. 基于前述结果,文献[18]引进了非齐度量测度空间上的Herz空间和Herz型Hardy空间,并讨论了等价刻画和一些相互关系及算子有界性. 这里,目的主要是在非齐度量测度空间上,讨论Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子在Herz型空间的有界性问题,证明了该交换子是Herz空间上有界的,也是Herz型Hardy空间上有界的.

    • 先介绍必要的非齐度量测度空间的相关概念和基本理论.

      定义1[19] 设 $\left( {X,d} \right)$ 是一个度量空间,如果存在某个正整数 ${N_0}$,使得对任意的球 $B(x,r) \subset X$,其中 $x \in X,r \in (0,\infty )$,都存在至多 ${N_0}$ 个球 ${\left\{ {B\Big({x_i},\dfrac{r}{2}\Big)} \right\}_i}$ 构成 $B(x,r)$ 的一个覆盖,则称度量空间 $\left( {X,d} \right)$ 是几何双倍的.

      定义2[5] 如果$\;\mu $$X$ 上的Borel测度,并存在一个控制函数 $\lambda :X \times (0,\infty ) \to (0,\infty )$, 使得对每一个 $x \in X,\lambda (x,r)$ 关于 $r$ 都单调不减,且存在一个依赖于 $\lambda $ 的正常数 ${C_{(\lambda )}}$,使得对任意的 $x \in X$$r \in (0, + \infty )$,有

      $\qquad \mu (B(x,r)) \leqslant \lambda (x,r) \leqslant {C_{(\lambda )}}\lambda \Big(x,\frac{r}{2}\Big),$

      则称度量测度空间 $(X,d,\mu )$ 是上双倍的.

      引理1[6] 设 $(X,d,\mu )$ 是上双倍的,$\lambda $$X \times (0,\infty )$ 上的控制函数. 则存在另一个控制函数 $\tilde \lambda $,使得 $\tilde \lambda \leqslant \lambda ,{C_{(\tilde \lambda )}} \leqslant {C_{(\lambda )}}$,并且对于所有的 $x,y \in X$,若 $d(x,y) \leqslant r$,就有

      $\qquad \tilde \lambda (x,r) \leqslant {C_{(\tilde \lambda )}}\tilde \lambda (y,r).$

      如果度量测度空间 $(X,d,\mu )$ 既满足几何双倍条件又满足上双倍条件,则称其为非齐度量测度空间. 以下我们总假设 $(X,d,\mu )$ 是非齐度量测度空间,并且控制函数 $\lambda $ 满足(2)式.

      定义3[5] 令 $\alpha ,\beta > 1$,若 $\mu (\alpha B) \leqslant \beta \mu (B)$,则球 $B \subset X$ 被称为是一个 $(\alpha ,\beta ) $-倍球,其中对于所有的球 $B: = B({c_B},{r_B})$$\;\rho \in (0,\infty ),\rho B: = B({c_B},\rho {r_B})$.

      定义4[5] 设 $\eta > 0$,若对所有的 $r \in (0,2{\rm{diam}}(X))$$a \in (1,2{\rm{diam}}(X)/r)$,存在一个只依赖于 $a$$X$ 的常数 $C(a) > 1$,使得对于所有的 $x \in X,\lambda (x,ar) \geqslant C(a)\lambda (x,r)$,并且

      $\qquad \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left[ {C({a^k})} \right]}^\eta }}}} < \infty {\rm{,}}$

      则称控制函数 $\lambda $ 满足 $\eta $-弱逆倍条件.

      易知,若 ${\eta _1} < {\eta _2}$,$\lambda $ 满足 ${\eta _1} $-弱逆倍条件,则 $\lambda $ 也满足 ${\eta _2} $-弱逆倍条件.

      非齐度量测度空间 $(X,d,\mu )$ 上定义了一个重要系数.

      定义5[5] 对于任意2个球 $B \subset S \subset X$,令 $\;\rho > 1,p \in (0,1]$,离散系数 $\tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),p}$ 的定义是

      $\qquad \tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),p}: = {\left\{ {1 + {{\sum\limits_{k = - [{{\log }_\rho }2]}^{N_{B,S}^{\left( \rho \right)}} {\left[ {\frac{{\mu \left( {{\rho ^k}B} \right)}}{{\lambda \left( {{c_B},{\rho ^{k_1}}{r_B}} \right)}}} \right]} }^p}} \right\}^{\frac{1}{p}}},$

      其中 $ N_{B,S}^{\left( \rho \right)}$ 是满足 ${\rho ^{N_{B,S}^{(\rho )}}}{r_B} \geqslant {r_S}$ 的最小正整数,$[{\log _\rho }2]$ 表示 ${\log _\rho }2$ 取整.

      引理2[7] 假设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,$p \in (0,1]$.

      (i)对任意 $\rho > 1$,存在正常数 ${C_{(\rho )}}$,使对所有球 $B \subset R \subset S$,有 $\tilde K_{B,R}^{\left( \rho \right),p} \leqslant {C_{(\rho )}}\tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),p}$.

      (ii)对任意 $\alpha \geqslant 1,\rho > 1$,存在正常数 ${C_{(\alpha ,\rho )}}$,使得对于所有的球 $B \subset S$,其中 ${r_S} \leqslant \alpha {r_B},$$\tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),P} \leqslant {C_{(\alpha ,\rho )}}$.

      (iii)对任意 $\;\rho > 1$,存在正常数 ${c_{(\rho ,p,v)}}$,使得对于所有的球 $B \subset R \subset S$,有

      $\qquad {\left[\tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),p}\right]^p} \leqslant {\left[\tilde K_{B,R}^{\left( \rho \right),p}\right]^p} + {c_{(\rho ,p,v)}}{\left[\tilde K_{R,S}^{\left( \rho \right),p}\right]^p}. $

      (iv)对任意 $\;\rho > 1$,存在正常数 ${\tilde c_{(\rho ,p,v)}}$,使得对 $B \subset R \subset S$,有 $\tilde K_{R,S}^{\left( \rho \right),p}$$ \leqslant {\tilde c_{(\rho ,p,v)}}$$\tilde K_{B,S}^{\left( \rho \right),p}$.

      (v)对任意 ${\;\rho _1},{\rho _2} > 1$,存在常数 ${c_{({\rho _1},{\rho _2},p,v)}} > 0$${C_{({\rho _1},{\rho _2},p,v)}} > 0$,使得对所有的球 $B \subset S$,有

      $\qquad {c_{({\rho _1},{\rho _2},p,v)}}\tilde K_{B,S}^{\left( {{\rho _2}} \right),p} \leqslant \tilde K_{B,S}^{\left( {{\rho _1}} \right),p} \leqslant {C_{({\rho _1},{\rho _2},p,v)}}\tilde K_{B,S}^{\left( {{\rho _2}} \right),p}.$

      对于任意整数 $k$,记 ${B_k} = \left\{ {x \in X:d({x_0},x) < {2^k}} \right\}$,其中 ${x_0}$$X$ 的一固定点,${C_k} = {B_k}\backslash {B_{k - 1}}$,且 ${\chi _k} = {\chi _{{C_k}}}$. 非齐度量测度空间上的齐型Herz空间定义如下.

      定义6[18] 令 $ - \infty < \alpha < \infty ,0 < p < \infty ,0 < q \leqslant \infty $. 假设 $(X,d,\mu )$ 是非齐度量测度空间,则非齐度量测度空间上的齐型Herz空间 $\dot K_q^{\alpha ,p}\left( \mu \right)$ 定义为

      $\qquad \dot K_q^{\alpha ,p}\left( \mu \right) = \left\{ f \in L_{{\rm{loc}}}^q(X\backslash \{ 0\} ):||f|{|_{\dot K_q^{\alpha ,p}(u)}} < \infty \right\} , $

      其中 $||f|{|_{\dot K_q^{\alpha ,p}\left( \mu \right)}} = $${\left\{ \displaystyle\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^k})]}^{\alpha p}}||f{\chi _k}||_{{L^q}(u)}^p} \right\} ^{1/p}}.$

      定义7[18] 令 $0 < \alpha < \infty ,1 \leqslant q < \infty $,若 $(X,d,\mu )$ 上的函数 $b(x)$ 满足以下条件:

      (i) ${\rm{supp}}b \subset B({x_0},r),{\rm{ }}r > 0$,其中 $B({x_0},r) = $$\left\{ {x \in X:d({x_0},x) < r} \right\};$

      (ii) $||b|{|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {[\lambda ({x_0},r)]^{ - \alpha }}.$

      则称 $b(x)$ 为中心 $(\alpha ,q) $-块.

      下面的结果是非齐度量测度空间上齐次Herz空间的分解定理.

      引理3[18] 令 $0 < \alpha < \infty ,0 < p < \infty ,1 \leqslant q < \infty $. 设 $\lambda $ 满足 $\eta $-弱逆倍条件,其中 $ \eta \in \left( {0,\min \left\{ \dfrac{{\alpha p}}{2},\dfrac{{\alpha p}}{{2(p - 1)}}\right\}} \right).$$f \in \dot K_q^{\alpha ,p}(\mu )$ 当且仅当 $f(x) = \displaystyle\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{\lambda _k}} {b_k}(x)$,其中 ${b_k}(x)$ 是中心 $(\alpha ,q) $-块,${\rm{supp}}{b_k} \subset {B_k}$,且 $\displaystyle\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } | {\lambda _k}{|^p} < \infty .$ 进一步,${\rm{||}}f{\rm{|}}{{\rm{|}}_{\dot K_q^{\alpha ,p}(\mu )}} \sim \inf {\left\{ \displaystyle\sum\limits_{k = - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{\lambda _k}} \right|}^p}} \right\} ^{\frac{1}{p}}}$,其中下确界取遍所有 $f$ 这样的分解.

      韩瑶瑶等[18]引进了Herz型Hardy空间,并讨论了原子和分子分解及其相互关系.

      定义8[18] 设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,$0 < p \leqslant 1 \leqslant q \leqslant \infty ,$ $p \ne q,$ $\alpha \in (0,\infty ),$ $\;\rho \in (1,\infty ),\gamma \in [1,\infty ).$${L^2}(\mu )$ 上的函数 $b$ 满足以下条件:(i)存在一个球 $B$ 使得 ${\rm{supp }}b \subset B = B({x_0},r),{\rm{ }}r > 0;$ (ii)$\int_X {b(x){\rm{d}}\mu (x)} = 0$; (iii)对于 $j = 1,2$,存在支在球 ${B_j} \subset $$B$ 上的函数 ${a_j}$ 和常数 ${\lambda _j} \in {\bf{C}}$,使得 $b = {\lambda _1}{a_1} + {\lambda _2}{a_2}$,且 $ {\rm{||}}{a_j}|{|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant$$ {[\lambda ({x_0},{r_B})]^{ - \alpha }}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(\rho ),p}]^{ - \gamma }}.$ 则称 $b$ 是一个 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\rho )_\lambda } $-原子块,并记 ${\rm{|}}b{{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}} = {\rm{|}}{\lambda _1}{\rm{|}} + {\rm{|}}{\lambda _2}{\rm{|}}{\rm{.}}$

      如果存在一个 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\rho )_\lambda } $-原子块序列 $ {\rm{\{ }}{b_i}{\rm{\} }}_{i = - \infty }^{ + \infty }$,使得在 ${L^2}(\mu )$$f = \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $,且 $ \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}^p} < \infty $,则称 $f$ 是属于 ${\tilde{\bf H}}\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$ 的,并且定义 $||f|{|_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}}: = $$ \inf {\left\{ \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}^p} \right\}^{\frac{1}{p}}}$,这里的下确界取遍 $f$ 所有的分解. 原子Herz型Hardy空间 $\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$ 定义为在 $p $-拟模 $|| \cdot ||_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}^p$${\tilde{\bf H}}\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$ 的完备化. 同时,作者还指出,原子Herz型Hardy空间 $\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$$\gamma $$\rho $ 的取值无关.

      非齐度量测度空间上原子齐次Herz型Hardy空间的分解是下面的结果.

      引理4[18] 设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,$0 < p \leqslant 1 \leqslant q \leqslant \infty ,p \ne q$. 令 $\alpha \in (0,\infty ),\rho \in (1,\infty ), $$\gamma \in [1,\infty )$. 则 $f \in \tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$ 当且仅当存在 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\rho )_\lambda } $-原子块列 $ {\rm{\{ }}{b_i}{\rm{\} }}_{i = - \infty }^{ + \infty }$,使得 $ f = \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $,且 $\displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}^p} < \infty .$ 进一步有 $||f||_{_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}}^p = $$ \inf \left\{ \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )}^p} \right\}$,这里的下确界取遍 $f$ 这样的所有分解.

      定义9[18] 设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,$0 < p \leqslant 1 \leqslant q \leqslant \infty ,p \ne q$. 令 $\alpha \in (0,\infty ),\rho \in (1,\infty ),\gamma \in [1,\infty ),$$\varepsilon \in (0,\infty )$. 若 ${L^2}(\mu )$ 上的函数 $b$ 满足以下条件:(i)$\int_X {b(x)} {\rm{d}}\mu (x) = 0;$ (ii)存在一些球 $B: = B({x_0},{r_B})$(其中 ${r_B} > 0$ )和常数 $\tilde M$$M \in {\bf{N}}$),使得对于所有的 $ k \in {{\bf{Z}}_ + },j \in {\rm{\{ }}1, \cdots ,{M_k}{\rm{\} }}$(当 $k = 0$ 时,$ {M_0}: = \tilde M$;当 $k > 0$ 时,$ {M_k}: = M$),存在支在球 ${B_{k,j}} \subset {U_k}(B)$ 上的函数 ${m_{k,j}}$(当 $k = 0$ 时,${U_0}(B): = {\rho ^2}B$;当 $k > 0$ 时,${U_k}(B): = {\rho ^{k + 2}}B\backslash {\rho ^{k - 2}}B$),以及 ${\lambda _{k,j}} \in {\bf{C}}$,使得在 ${L^2}(\mu )$$ b = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^{{M_k}} {{\lambda _{k,j}}{m_{k,j}}} } $,且有 ${\rm{||}}{m_{k,j}}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {\rho ^{ - k\varepsilon }}{[\lambda ({x_0},{\rho ^{k + 2}}rB)]^{ - \alpha }}{[\tilde K_{Bk,j,\rho k + 2B}^{\left( \rho \right),p}]^{ - \gamma }},$ $|b|_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p=$$ \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^{{M_k}} {{\rm{|}}{\lambda _{k,j}}{{\rm{|}}^p}} } < \infty ,$ 则称 $b$ 是一个 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\varepsilon ,\rho )_\lambda } $-分子块.

      若存在一个 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\varepsilon ,\rho )_\lambda } $-分子块序列 $ {\rm{\{ }}{b_i}{\rm{\} }}_{i = - \infty }^{ + \infty }$,使得在 ${L^2}(\mu )$ 中有 $f = \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $,且 $\displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p} < \infty,$ 则函数 $f$ 称为属于 ${\tilde{\bf H}}\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$,并且定义 $||f|{|_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}}: = $$ \inf {\left\{ \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {\left| {{b_i}} \right|_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p} \right\}^{\frac{1}{p}}}$,这里的下确界取遍 $f$ 这样的所有分解. 分子Herz型Hardy空间 $\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$ 定义为在 $p $-拟模 ${\rm{||}} \cdot ||_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p$${\tilde{\bf H}}\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$ 的完备化.

      引理5[18] 设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,$0 < p \leqslant 1 \leqslant q \leqslant \infty ,p \ne q$. 令 $\alpha \in (0,\infty ),\rho \in (1,\infty ),\gamma \in [1,\infty ),$$\varepsilon \in (0,\infty )$,则 $f \in \tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$ 当且仅当存在一个 ${(\alpha ,p,q,\gamma ,\varepsilon ,\rho )_\lambda } $-分子块序列 $ {\rm{\{ }}{b_i}{\rm{\} }}_{i = - \infty }^{ + \infty }$,使得在 $\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$ 中,$f = \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{b_i}} $,且 $\displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p} < \infty .$ 进一步 ${\rm{||}}f{\rm{||}}_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p$$ = \inf \left\{ \displaystyle\sum\limits_{i = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{b_i}{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )}^p} \right\}$,其中下确界取遍 $f$ 这样的所有分解.

      文献[18]讨论了 $\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu )$$\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu )$$\dot K_q^{\alpha ,p}\left( \mu \right)$ 3者之间的关系,得到 $\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma }(\mu ) =$$ \tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{\alpha ,p,\gamma ,\varepsilon }(\mu ) \subset $$\dot K_q^{\alpha ,p}\left( \mu \right)$.

      定义10 令 $ \beta \in (0,1]$. 函数 $ f:X \to C$ 称为属于 $ {\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }(\mu )$,如果

      $\qquad {\rm{||}}f{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}} = \mathop {\sup }\limits_{x \ne y,x,y \in X} \frac{{|f(x) - f(y)|}}{{{{[\lambda (x,d(x,y))]}^\beta }}} < \infty ,$

      或者

      $\qquad {\rm{||}}f{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}} = \mathop {\sup }\limits_{x \ne y,x,y \in X} \frac{{|f(x) - f(y)|}}{{{{[\lambda (y,d(x,y))]}^\beta }}} < \infty .$

    • 非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子的定义如下.

      定义11[8] 设函数 $K \in L_{{\rm{loc}}}^1(X \times X\backslash \{ (x,x,):x \in X\} ).$ 如果存在一个正常数 $ {C_{(K)}}$,使得:

      (i)对于任意的 $x,y \in X,x \ne y,|K(x,y)| \leqslant {C_{(K)}}{[\lambda (x,d(x,y))]^{ - 1}};$

      (ii)存在 $0 < \delta \leqslant 1$ 和正常数 $ {c_{(K)}}$,使得对于任意的 $x,\tilde x,y \in X,d(x,y) \geqslant {c_{(K)}}d(x,\tilde x),$

      $\qquad {\rm{|}}K(x,y) - K(\tilde x,y){\rm{|}} + {\rm{|}}K(y,x) - K(y,\tilde x){\rm{|}} \leqslant {C_{(K)}}\frac{{{{[d(x,\tilde x)] }^\delta }}}{{{{[d(x,y)]}^\delta }\lambda (x,d(x,y))}}.$

      则称函数 $K(x,y)$ 为非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子核.

      $K$ 是非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子核,对于所有的 $f \in L_b^\infty (\mu ): = {\rm{\{ }}f \in {L^\infty }(\mu ):$$ f{\rm{ }}{\text{的支集有界}}{\rm{\} }}$

      $\qquad Tf(x): = \int_X {K(x,y)f(y){\rm{d}}\mu (y)} ,\;\;\;x \notin {\rm{supp}}(f),$

      则称 $T$ 是非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子.

      对如此定义的Calderón-Zygmund算子有下面的重要结果.

      引理6[8] 假设 $(X,d,\mu )$ 是一个非齐度量测度空间,令 $T$ 是一个Calderón-Zygmund算子,则以下结论是等价的:

      (i) $T$${L^2}(\mu )$ 上是有界的;

      (ii) 对于 $q > 1$, $T$${L^q}(\mu )$ 上是有界的;

      (iii) $T$${L^1}(\mu )$ 到弱-${L^1}(\mu )$ 有界的.

      Calderón-Zygmund算子 $T$ 和函数 $h$ 生成的交换子定义为

      $\qquad [T,h]f(x): = h(x)Tf(x) - T(hf)(x),\;\;\;x \in X.$

      若对于所有的 $g \in L_b^\infty (\mu ),{\rm{ }}\int_X {g(y){\rm{d}}\mu (y)} = 0,$$\int_X {Tg(y){\rm{d}}\mu (y)} = 0,$ 则称 $T$ 满足 $T^*1 = 0$.

      本文的主要结果是下面的2个定理.

      定理1 设 $(X,d,\mu )$ 为一非齐度量测度空间,$0 < p < \infty ,1 < q < \infty ,0 < \beta < 1$$\beta < {\alpha _1} < 1 - \dfrac{1}{q},{\alpha _2} = {\alpha _1} - \beta $. 令 $\lambda $ 满足 $\eta $-弱逆倍条件,$ \eta = \min \left\{ \dfrac{{{\alpha _2}p}}{2},\dfrac{{{\alpha _2}p'}}{2},\dfrac{{(1 - {\dfrac{1}{q}} - {\alpha _1})p}}{2},\dfrac{{(1 - {\dfrac{1}{q}} - {\alpha _1})p'}}{2}\right\}$. 若 $T$ 为非齐度量测度空间上的Calderón-Zygmund算子,且 $T$${L^2}(\mu )$ 上有界,$h \in {\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }(\mu )$,则交换子 $[T,h]$ 是从 $\dot K_q^{{\alpha _1},p}\left( \mu \right)$$\dot K_q^{{\alpha _2},p}\left( \mu \right)$ 有界的.

      定理2 设 $(X,d,\mu )$ 是一非齐度量测度空间. 令 $0 < p \leqslant 1 \leqslant q \leqslant \infty ,p \ne q,$ $\rho \in (1,\infty ),$ $\gamma \in [1,\infty ),0 < \beta < 1, $$0 < {\alpha _2} < {\dfrac{\delta}{v}} ,{\alpha _1} = {\alpha _2} + \beta $. 设 $T$ 是非齐度量测度空间上的Calderón- Zygmund算子,若 $T$${L^2}(\mu )$ 上有界,且 $T^*1 = 0$, $h \in {\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }(\mu )$,则交换子 $[T,h]$ 是从 $\tilde H\dot K_{atb,q,\rho }^{{\alpha _1},p,\gamma }(\mu )$$\tilde H\dot K_{mb,q,\rho }^{{\alpha _2},p,\gamma ,{\frac{\delta - v{\alpha _2}}{2}}}(\mu )$ 有界的.

      定理1的证明 对任意 $ f \in \dot K_q^{{\alpha _1},p}\left( \mu \right)$,由引理3知 $ f(x) = \displaystyle\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\lambda _j}{b_j}(x)} $,其中 $ {b_j}$ 是中心 $ ({\alpha _1},q) $-块,$ {\rm{supp}}{b_j} \subset {B_j}$,且 $ {\rm{||}}f{\rm{|}}{{\rm{|}}_{\dot K_q^{{\alpha _1},p}(\mu )}}{{ \sim }}\inf {\left\{\displaystyle\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} \right\}^{\frac{1}{p}}}.$

      $ \begin{aligned} ||[T,h]f||_{\dot K_q^{{\alpha _2},p}(\mu )}^p =& \sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{{\alpha _2}p}}} ||([T,h]f){\chi _l}||_{{L^q}(\mu )}^p \leqslant\\ & C\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{{\alpha _2}p}}} {\{ \sum\limits_{j = - \infty }^{l - 2} {|{\lambda _j}|} ||([T,h]{b_j}){\chi _l}|{|_{{L^q}(\mu )}}\} ^p} +\\ & C\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{{\alpha _2}p}}} {\{ \sum\limits_{j = l - 1}^\infty {|{\lambda _j}|} ||([T,h]{b_j}){\chi _l}|{|_{{L^q}(\mu )}}\} ^p}= :{I_1} + {I_2}. \end{aligned} $

      对于 ${I_2}$,分为以下2种情况进行讨论.

      (i)当 $0 < p \leqslant 1$ 时,由引理6和(5)式,以及定义7和 $\eta $-弱逆倍条件,有

      $ \qquad \begin{aligned} {I_2} \leqslant& C\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{\alpha_2p}}} \sum\limits_{j = l - 1}^\infty {|{\lambda _j}{|^p}} ||(h(x) - h(y)){b_j}||_{{L^q}(\mu )}^p \leqslant \\ &C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{{\alpha _2}p}}} \sum\limits_{j = l - 1}^\infty {|{\lambda _j}{|^p}} {[\lambda ({x_0},{2^j})]^{ - ({\alpha _1} - \beta )p}}=\\ &C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} \sum\limits_{l = - \infty }^{j + 1} {{{[\frac{{\lambda ({x_0},{2^l})}}{{\lambda ({x_0},{2^j})}}]}^{{\alpha _2}p}}} \leqslant C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} . \end{aligned} $

      (ii)当 $1 < p < \infty $ 时,同样由引理6和(5)式及Hölder不等式和 $\eta $-弱逆倍条件可得

      $ \qquad \begin{aligned} {I_2} \leqslant& \sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}\lambda ({x_0},{2^l}){{\rm{|}}^{{\alpha _2}p}}} {\bigg\{ \sum\limits_{j = l - 1}^\infty {{\rm{|}}{\lambda _j}{\rm{|}}} {\rm{||}}(h(x) - h(y)){b_j}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}}{\rm{\bigg\} }}^p}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{\bigg\{ }}\sum\limits_{j = l - 1}^\infty {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} {{\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^l})}}{{\lambda ({x_0},{2^j})}}\bigg]}^\frac{\alpha _2p}{2}}{\rm{\bigg\} }}} {\rm{\bigg\{ }}\sum\limits_{j = l - 1}^\infty {{{\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^l})}}{{\lambda ({x_0},{2^j})}}\bigg]}^\frac{\alpha _2p'}{2}}} {\rm{\bigg\} }}^\frac{p}{p'} \leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {\sum\limits_{j = l - 1}^\infty {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} } {\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^l})}}{{\lambda ({x_0},{2^j})}}\bigg]^\frac{\alpha _2p}{2}} \leqslant C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} . \end{aligned} $

      对于 ${I_1}$,注意到 $j \leqslant l - 2,x \in {C_l},y \in {B_j}$,则 $ x \in X\backslash 2{B_j}$,意味着 $\lambda (x,d(x,y)) \sim $$\lambda ({x_0},d(x,{x_0}))$. 因此,由(5)式, Hölder不等式和定义7,知

      $ \qquad \begin{aligned} {\rm{||}}([T,h]{b_j}){\chi _l}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant &{{\rm{\{ }}\int_{{C_l}} | \int_{{B_j}} {\frac{{{\rm{|}}\left( {h(x) - h(y)} \right){b_j}(y){\rm{|}}}}{{\lambda (x,d(x,y))}}} {\rm{d}}\mu (y){{\rm{|}}^q}{\rm{d}}\mu (x){\rm{\} }}^{\frac{1}{q}}} \leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{\left\{\int_{{C_l}} {\frac{1}{{{{\left[ {\lambda ({x_0},d(x,y))} \right]}^{(1 - \beta )q}}}}} |{\int_{{B_j}} {|{b_j}(y)|{\rm{d}}\mu (y)|} ^q}{\rm{d}}\mu (x)\right\}^{\frac{1}{q}}} \leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}\frac{{{{[\mu \left( {{B_l}} \right)]}^{\frac{1}{q}}}}}{{{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{1 - \beta }}}}||{b_j}|{|_{{L^q}(\mu )}}{[\mu ({B_j})]^{\frac{1}{{q'}}}} \leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{\left\{\frac{{[\lambda ({x_0},{2^j})]}}{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}}\right\}^{1 - \frac{1}{q}}}{[\lambda ({x_0},{2^l})]^\beta }{[\lambda ({x_0},{2^j})]^{ - {\alpha _1}}}. \end{aligned} $

      再分为2种情况:

      (i)当 $0 < p \leqslant 1$ 时,由 $\eta $-弱逆倍条件,有

      $\qquad \begin{aligned} {I_1} \leqslant& C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{{\alpha _2}p}}} \sum\limits_{j = - \infty }^{l - 2} {|{\lambda _j}{|^p}} {\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^j})}}{{\lambda ({x_0},{2^l})}}\bigg]^{ - (1 - \frac{1}{q})p}}\frac{{{{[\lambda ({x_0},{2^l})]}^{\beta p}}}}{{{{[\lambda ({x_0},{2^j})]}^{{\alpha _1}p}}}}=\\ &C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}\sum\limits_{l = j + 2}^{ + \infty } {{{\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^j})}}{{\lambda ({x_0},{2^l})}}\bigg]}^{(1 - \frac{1}{q} - {\alpha _1})p}}} } \leqslant C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} .\end{aligned} $

      (ii)当 $1 < p < \infty $ 时,由Hölder不等式和 $\eta - $ 弱逆倍条件可得

      $\qquad \begin{split} {I_1} \leqslant& C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {{{\left\{\sum\limits_{j = - \infty }^{l - 2} {{\rm{|}}{\lambda _j}{\rm{|}}} {{\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^j})}}{{\lambda ({x_0},{2^l})}}\bigg]}^{(1 - \frac{1}{q} - {\alpha _1})}}\right\}}^p}} \leqslant C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{l = - \infty }^{ + \infty } {\sum\limits_{j = - \infty }^{l - 2} {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} } {\bigg[\frac{{\lambda ({x_0},{2^j})}}{{\lambda ({x_0},{2^l})}}\bigg]^{(1 - \frac{1}{q} - {\alpha _1})\frac{p}{2}}} \leqslant\\ &C{\rm{||}}h{\rm{||}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}^p\sum\limits_{j = - \infty }^{ + \infty } {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} . \end{split} $

      因此

      $\qquad ||[T,h]f|{|_{\dot K_q^{{\alpha _2}p}(\mu )}} \leqslant C||h|{|_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}||f|{|_{\dot K_q^{{\alpha _1}p}(\mu )}}.$

      定理1证毕.

      定理2的证明 由假设知,只需对任意的 $ {({\alpha _1},p,q,2,2)_\lambda }$-原子块 $ b$,证明 $ [T,h]b$ 是一个 $ {\bigg({\alpha _2},p,q,1,\dfrac{\delta - v{\alpha _2}}{2},2\bigg)_\lambda }$-分子块,且 $ |[T,h]b{|_{\tilde H\dot K_{mb,q,2}^{{\alpha _2},p,1,{\frac{\delta - v{\alpha _2}}{2}}}(\mu )}}$$ \leqslant C{\rm{|}}b{{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{atb,q,2}^{\alpha_1,p,2}(\mu )}}.$ 事实上,设有 $ {({\alpha _1},p,q,2,2)_\lambda }$-原子块 $b,{\rm{ }}b = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^2 {{\lambda _j}{a_j}}$, $ {\rm{supp }}{a_j} \subset {B_j} \subset B$,且 $ {\rm{||}}{a_j}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant $$ {[\lambda ({x_0},{r_B})]^{ - {\alpha _1}}}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]^{ - 2}}.$$ {B_0} = 8B$,进一步记

      $\qquad [T,h]b = ([T,h]b){\chi _{{B_0}}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {([T,h]b)} {\chi _{{2^k}{B_0}\backslash {2^{k - 1}}{B_0}}} = :{J_1} + {J_2}.$

      对于 ${J_1}$,由 ${B_j} \subset B$$3{B_j} \subset 8B = {B_0}$. 令 ${N_j}: = N_{2{B_j},{B_0}}^{(2)} \geqslant - 1$. 不失一般性,假设 ${N_j} \geqslant 3$. 由于 $2{B_j} \subset {B_0} \subset {2^5}{B_j}$,其它情况,即当 ${N_j} \in [ - 1,3)$ 时可转化为 ${N_j} \geqslant 3$. 因此

      $\qquad \begin{split} {J_1} = \sum\limits_{j = 1}^2 {{\lambda _j}([T,h]{a_j})} {\chi _{2{B_j}}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\sum\limits_{i = 1}^{{N_j} - 2} {{\lambda _j}([T,h]{a_j})} {\chi _{{2^{i + 1}}{B_j}\backslash {2^i}{B_j}}}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {{\lambda _j}([T,h]{a_j})} {\chi _{{B_0}\backslash {2^{{N_j} - 1}}{B_j}}}= {J_{1,1}} + {J_{1,2}} + {J_{1,3}}. \end{split} $

      对于 ${J_{1,1}}$,由引理6,(5)式,定义8和引理2,以及 $\tilde K_{2{B_j},{B_0}}^{(2)} \geqslant 1$,则对于 $j = 1,2$,有

      $ \qquad \begin{split} ||([T,h]{a_j}){\chi _2}_{{B_j}}|{|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant& C{\rm{||}}\left( {h(x) - h(y)} \right){a_j}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{[\lambda ({x_0},{r_B})]^{\beta - {\alpha _1}}}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]^{ - 2}} \leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{[\lambda ({x_0},8{r_B})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_j},4r{B_0}}^{(2),p}]^{ - 2}} \leqslant {c_1}{[\lambda ({x_0},4{r_{{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_j},4{B_0}}^{(2),P}]^{ - 1}}. \end{split} $

      其中 ${c_1}$ 是不依赖于 ${a_j}$$j$ 的正常数. 令 ${\sigma _{j,1}}: = {c_1}{\lambda _j},{\tau _{j,1}}: = c_1^{ - 1}([T,h]{a_j}){\chi _{2{B_j}}}.$${J_{1,1}} = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^2 {{\sigma _j}_{,1}{\tau _{j,1}}} $,${\rm{supp}}({\tau _{j,1}}) \subset 2{B_j} \subset {B_0}$,且 ${\rm{||}}{\tau _{j,1}}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {[\lambda ({x_0},4{r_{{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_j},4{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}. $

      对于 ${J_{1,3}}$,由于 ${B_0} \subset {2^{{N_j} + 3}}{B_j}$,有 ${r_{{B_0}}} \sim {r_{{2^{{N_j} - 1}}}}_{{B_j}}$. 由定义11,(5)式,原子的大小条件,Hölder不等式,以及引理2,并注意到 $\tilde K_{{B_j},{B_{}}}^{(2),p} \geqslant 1$,可知对于 $j = 1,2$,有

      $ \qquad \begin{split} ||([T,h]{a_j}){\chi _{{B_0}}}_{\backslash {2^{{N_{j - 1}}}}{B_j}}|{|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant &{\Biggr\{ \int_{8B\backslash {2^{{N_j} - 1}}{B_j}} {\bigg[\int_{{B_j}} {\frac{{|h(x) - h(y)||{a_j}(y)|}}{{\lambda (x,d(x,y))}}} {\rm{d}}\mu (y)} \bigg]^q}{\rm{d}}\mu (x){\Biggr\} ^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C||h|{|_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{\bigg\{ \int_{8B\backslash {2^{{N_j} - 1}}{B_j}} {\bigg[\int_{{B_j}} {\frac{{|{a_j}(y)|}}{{{{[\lambda ({c_{{B_j}}},d(x,{c_{{B_j}}}))]}^{1 - \beta }}}}{\rm{d}}\mu (y){\bigg]^q}} } {\rm{d}}\mu (x)\bigg\} ^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C||h|{|_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}\frac{{{{[\mu (8B\backslash {2^{{N_j} - 1}}{B_j})]}^{\frac{1}{q}}}}}{{{{[\lambda ({c_{{B_j}}},{2^{{N_j} - 1}}{r_{{B_j}}})]}^{1 - \beta }}}}{[\mu ({B_j})]^{\frac{1}{q'}}}||{a_j}|{|_{{L^q}(\mu )}}\leqslant\\ & C||h|{|_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{[\mu (8B)]^{\frac{1}{q} - 1}}{[\mu (8B)]^{\frac{1}{q'}}}{[\lambda ({x_0},{r_B})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]^{ - 2}}\leqslant\\ & {c_2}{[\lambda ({x_0},{r_{4{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_0},4{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}, \end{split} $

      其中 ${c_2}$ 是不依赖于 ${a_j}$$j$ 的正常数. 令 ${\sigma _{j,3}}: = {c_2}{\lambda _j}$,${\tau _{j,3}}: = c_2^{ - 1}([T,h]{a_j}){\chi _{{B_0}\backslash {2^{{N_j} - 1}}{B_j}}}.$${J_{1,3}} = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^2 {{\sigma _{j,3}}} {\tau _{j,3}}$${\rm{supp}}({\tau _{j,3}}) \subset 16B = 2{B_0},$$||{\tau _{j,3}}|{|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {[\lambda \left( {{x_0},4{r_{B_0}}} \right)]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_0},4{B_0}}^{(2),P}]^{ - 1}}.$ 对于 ${J_{1,2}}$${J_{1,3}}$ 类似有

      $ \qquad \begin{split} {\left\| {\left( {\left[ {T,h} \right]{a_j}} \right){\chi _{^{{2^{i + 1}}{B_j}\backslash {2^i}{b_j}}}}} \right\|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant & C{\left\{ {{{\int_{{2^{i + 1}}{B_j}\backslash {2^i}{B_j}} {\left[ {\int_{{B_j}} {\frac{{|h(x) - h(y)|||{a_j}(y)||}}{{\lambda (x,d(x,y))}}{\rm{d}}\mu (y)} } \right]} }^q}{\rm{d}}\mu (x)} \right\}^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}\int_{{B_j}} {{\rm{|}}{a_j}(y){\rm{|d}}\mu (y)} {\left[ {\int_{{2^{i + 1}}{B_j}\backslash {2^i}{B_j}} {\frac{1}{{{{[\lambda ({c_{{B_j}}},{2^i}{r_{{B_j}}})]}^{(1 - \beta )q}}}}{\rm{d}}\mu (x)} } \right]^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}|\mu ({B_j}){|^{\frac{1}{q'}}}||{a_j}|{|_{{L^q}(\mu )}}\frac{{{{[\mu ({2^{i + 1}}{B_j})]}^{\frac{1}{q}}}}}{{{{[\lambda ({c_{{B_j}}},{2^i}{r_{{B_j}}})]}^{1 - \beta }}}}\leqslant\\ & {c_3}\frac{{\mu ({2^{i + 1}}{B_j})}}{{\lambda ({c_{{B_j}}},{2^i}{B_j})}}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]^{ - 1}}{[\lambda ({x_0},{r_{4{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{{2^{i + 2}}{B_j},4{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}, \end{split} $

      其中 ${c_3}$ 是不依赖于 ${a_j}$$j$$i$ 的正常数. 令    ${\sigma _{j,2}}: = {c_3}{\lambda _j}\dfrac{{\mu ({2^{i + 1}}{B_j})}}{{\lambda ({c_{{B_j}}},{2^i}{r_{{B_j}}})}}{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]^{ - 1}},$ ${\tau _{j,2}}: = c_3^{ - 1}\dfrac{{\lambda (c{B_j},{2^i}r{B_j})}}{{\mu ({2^{i + 1}}{B_j})}}\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p} $$([T,h]{a_j}){x_{{2^{i + 1}}{B_j}\backslash {2^i}{B_j}}}$,则 ${J_{1,2}} = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^2 {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{{N_j} - 2} {\sigma _{j,2}^{(i)}} } \tau _{j,2}^{(i)}$${\rm{supp}}({\tau _{j,2}}) \subset {2^{i + 2}}{B_j} \subset 2{B_0}$,且 ${\rm{||}}\tau _{j,2}^{(i)}{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {[\lambda ({x_0},4{r_{{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}$${[\tilde K_{{2^{i + 2}}{B_j},4{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}.$

      下面估计 ${J_2}$. 由几何双倍条件,知道对于任意的 $k \in {\bf{N}}$,存在一个球覆盖 $ {\rm{\{ }}{B_{k,j}}{\rm{\} }}_{j = 1}^{{M_0}}$,且它的势 ${M_0} \leqslant {N_0}{8^n}$,其中这些球旳半径都是 $ {2^{k - 3}}{r_{{B_0}}}$${\tilde U_k}({B_0}): = {2^k}{B_0}\backslash {2^{k - 1}}{B_0}.$ 不失一般性,假设这些球的中心都属于 ${\tilde U_k}({B_0})$. 令 ${C_{k,1}} = {B_{k,1}}$,${C_{k,l}}{\rm{ }}:{\rm{ = }}{B_{k,l}}\mathop \cup \limits_{m = 1}^{l - 1}{B_{k,m}}$,$l = 2, \cdots ,{M_0}$,且对所有的 $l = 1, \cdots ,{M_0}$, ${D_{k,l}}: = {C_{k,l}} \cap {\tilde U_k}({B_0})$. 则 $\left\{ {{D_{k,l}}} \right\}_{l = 1}^{{M_0}}$ 互不相交,${\tilde U_k}({B_0}) = \mathop \cup \limits_{l = 1}^{{M_0}} {D_{k,l}}$,且对任意 $l = 1, \cdots ,{M_0}$,${D_{k,l}} \subset 2{B_{k,l}} \subset {U_k}({B_0}): = {2^{k + 2}}{B_0}\backslash {2^{k - 2}}{B_0}$. 因此,${J_2} = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {\displaystyle\sum\limits_{l = 0}^{{M_0}} {([T,h]b){\chi _{{D_{k,l}}}}} } .$ 因为 $T*1 = 0$,由定义11,定义8,(5)式,应用Hölder不等式和引理2,同时注意到 $4{B_{k,l}} \subset {2^{k + 1}}{B_0}$$\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p} \geqslant 1$,可以得到

      $ \qquad \begin{split} {\left\| {\left( {[T,h]b} \right){\chi _{{D_{k,l}}}}} \right\|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant &{\left\{ {{{\int_{{D_{k,l}}} {\left[ {\int_B {|b(y)(h(x) - h(y))||K(x,y) - K(x,{c_B})|{\rm{d}}\mu (y)} } \right]} }^q}{\rm{d}}\mu (x)} \right\}^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{\left\{ {{{\int_{{D_{k,l}}} {\left[ {\int_B {{\rm{|}}b(y){\rm{|}}\frac{{{{[d(y,{c_B})]}^\delta }}}{{{{[d(x,{c_B})]}^\delta }[\lambda {{({c_B},d(x,{c_B}))}^{1 - \beta }}]}}} {\rm{d}}\mu (y)} \right]} }^q}{\rm{d}}\mu (x)} \right\}^{\frac{1}{q}}}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{2^{ - k\delta }}{[\mu ({2^{k + 1}}{B_0})]^{{\frac{1}{q}} - 1 + \beta }}\sum\limits_{j = 1}^2 {|{\lambda _j}|} {[\mu ({B_j})]^{{\frac{1}{q'}}}}||{a_j}|{|_{{L^q}(\mu )}}\leqslant\\ & C{\rm{||}}h{\rm{|}}{{\rm{|}}_{{\rm{Li}}{{\rm{p}}_\beta }}}{2^{ - k\delta }}{[\mu ({2^{k + 1}}{B_0})]^{{\frac{1}{q}} - 1}}\sum\limits_{j = 1}^2 {|{\lambda _j}|} {[\mu ({2^{k + 1}}{B_0})]^{{\frac{1}{q'}}}}{[\lambda ({x_0},{r_B})]^{ - {\alpha _2}}}\leqslant\\ & {c_4}{2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _2})}}{2}}}{2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _2})}}{2}}}\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{\rm{|}}{{[\lambda ({x_0},{r_{{2^{k + 2}}}}{B_0})]}^{ - {\alpha _2}}}} {[\tilde K_{2{B_{k,l}},{2^{k + 2}}{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}, \end{split} $

      其中 ${c_4}$ 是不依赖于 $b$$k$ 的正常数,令

      $\qquad {\lambda _{k,l}}: = {c_4}{2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _2})}}{2}}}\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{\rm{|}}}, \; {m_{k,l}}: = \lambda _{k,l}^{ - 1}\left( {[T,h]b} \right){\chi _{{D_{k,l}}}}, $

      ${J_2} = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^\infty {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^{{M_0}} {{\lambda _{k,l}}{m_{k,l}}} } $${\rm{supp}}({m_{k,l}}) \subset 2{B_{k,l}} \subset {U_k}({B_0})$,且

      $\qquad {\left\| {{m_{k,l}}} \right\|_{{L^q}(\mu )}} \leqslant {2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _{_2}})}}{2}}}{[\lambda ({x_0},{2^{k + 2}}{r_{{B_0}}})]^{ - {\alpha _2}}}{[\tilde K_{2{B_{k,l}},{2^{k + 2}}{B_0}}^{(2),p}]^{ - 1}}.$

      ${J_1}$${J_2}$ 的估计知 $[T,h]b$ 是一个 ${(\alpha_2,p,q,1,\delta ,2)_\lambda } $-分子块,且(注意到(4)式)

      $\qquad \begin{split} |[T,h]b{|_{\tilde H\dot K_{mb,q,2}^{\alpha_2,p,1,{\frac{\delta - v{\alpha _2}}{2}}}(\mu )}} =& \sum\limits_{j = 1}^2 {|{\sigma _{j,1}}{|^p} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\sum\limits_{i = 1}^{{N_j} - 1} {|\sigma _{j,2}^{(i)}{|^p}} } } + \sum\limits_{j = 1}^2 {|{\sigma _{j,3}}{|^p}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\sum\limits_{l = 1}^{{M_0}} {|{\lambda _{k.l}}{|^p}} } \leqslant\\ &C\left\{ {\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p} + \sum\limits_{k = 1}^2 {\sum\limits_{i = 1}^{{N_j} - 2} {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}{{\left[ {\frac{{\mu ({2^{i + 3}}{B_j})}}{{\lambda \left( {{c_{{B_j}}},{2^i}r{}_{{B_j}}^{}} \right)}}} \right]}^p}{{[\tilde K_{{B_j},B}^{(2),p}]}^{ - p}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\sum\limits_{l = 1}^{{M_0}} {{2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _2})}}{2}}}} \sum\limits_{j = 1}^2 {|{\lambda _j}{|^p}} } } } } } \right\}\leqslant \\ & C\left\{ {\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{2^{ - \frac{{k(\delta - v{\alpha _2})}}{2}}}} {M_0}\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} } } \right\} \leqslant C\sum\limits_{j = 1}^2 {{\rm{|}}{\lambda _j}{{\rm{|}}^p}} \leqslant C{\rm{|}}b{{\rm{|}}_{\tilde H\dot K_{\alpha tb,q,2}^{\alpha_1,p,2}(\mu )}}. \end{split}$

      定理2证毕.

参考文献 (19)

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