微扰QCD因子化方案下的B介子三体衰变

王辉升 王兴林 葛强 王庆松

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微扰QCD因子化方案下的B介子三体衰变

    通讯作者: 王辉升, hswang@ahpu.edu.cn
  • 中图分类号: O413.4;O572.24+6

B three−body decays in perturbative QCD factorization approach

    Corresponding author: WANG Hui-sheng, hswang@ahpu.edu.cn ;
  • CLC number: O413.4;O572.24+6

  • 摘要: 运用微扰QCD因子化方案,考虑Sudakov因子对长程部分的压低作用,引入双强子分布振幅等非微扰参数,利用Flatté和Briet−Wigner模型对类时形状因子进行参数化处理,加入顶角修正,微扰计算经共振态 $ {{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1500,\;1790) $${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + } $ 三体衰变分支比,结果分别为 $ 6.41 \times {10^{ - 9}} $$ 1.25 \times {10^{ - 7}} $$ 1.92 \times {10^{ - 8}} $$ 5.66 \times {10^{ - 9}} $. 目前实验上给出分支比 $ Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{f_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) $ 的上限数据是 $ 1.5 \times {10^{ - 6}} $. 对比实验结果表明,在考虑 $ {\rm{s\bar s}} $ 的贡献和顶角修正项后,该文计算较前期结果更加合理,其中 $ {\rm{s\bar s}} $ 的贡献是差别的主要来源,不容忽略.
  • 图 1  B衰变的费曼图

    Figure 1.  Feynman diagrams for B decay

    图 2  B经共振态衰变到末态的衰变谱

    Figure 2.  The resonant contribution to the decays spectrum for B decay

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-11-11
  • 录用日期:  2020-05-17
  • 网络出版日期:  2020-06-20

微扰QCD因子化方案下的B介子三体衰变

    通讯作者: 王辉升, hswang@ahpu.edu.cn
  • 安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖 241000

摘要: 运用微扰QCD因子化方案,考虑Sudakov因子对长程部分的压低作用,引入双强子分布振幅等非微扰参数,利用Flatté和Briet−Wigner模型对类时形状因子进行参数化处理,加入顶角修正,微扰计算经共振态 $ {{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1500,\;1790) $${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + } $ 三体衰变分支比,结果分别为 $ 6.41 \times {10^{ - 9}} $$ 1.25 \times {10^{ - 7}} $$ 1.92 \times {10^{ - 8}} $$ 5.66 \times {10^{ - 9}} $. 目前实验上给出分支比 $ Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{f_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) $ 的上限数据是 $ 1.5 \times {10^{ - 6}} $. 对比实验结果表明,在考虑 $ {\rm{s\bar s}} $ 的贡献和顶角修正项后,该文计算较前期结果更加合理,其中 $ {\rm{s\bar s}} $ 的贡献是差别的主要来源,不容忽略.

English Abstract

  • 在验证标准模型和寻找新物理的过程中,${\rm{B}}$ 介子衰变的实验测量和理论研究备受关注. 无论对 ${\rm{B}}$ 的两体璨衰变还是非璨衰变,共线因子化理论都存在奇异端点的问题.G. F. Sterman、李湘南等基于kT因子化理论,在 ${\rm{B}}$ 介子两体衰变的分析中引入了微扰量子色动力学(perturbative Quantum Chromodynamics, pQCD)因子化方法[1-3]. 这种方法和重夸克极限下的因子化假设一致,可以红外截断,满足规范不变性.

    近几年随着高能实验数据的不断增加,三体衰变的研究变成一个热门方向,因为其中可以提取重要的信息. 这是 ${\rm{B}}$ 介子衰变一个非常重要的发展领域.

    pQCD方法基于共线因子化理论,提出了新拓展方法[3-5],把非微扰部分作为输入参数. 对于末态为三体的 ${\rm{B}}$ 衰变,引入双介子分布振幅,使得三体衰变的分析具有可行性[6-8]. 在双介子分布振幅里,端点的奇异性被消除,因此共线理论依然成立. 衰变末态介子携带动量 ${ O}({M_{\rm{B}}})$,其中每三对组合都具有 ${ O}({M_{\rm{B}}}^2)$ 的不变质量,${M_{\rm{B}}}$${\rm{B}}$ 介子的质量,衰变的主要贡献来自于此. 衰变中至少有一对轻介子在 ${\rm O}(\overline \varLambda {M_{\rm{B}}})$ 下有不变质量($\overline \varLambda = {M_{\rm{B}}} - {M_{\rm{b}}}$ 是指 ${\rm{B}}$ 介子和 ${\rm{b}}$ 夸克的质量差),这就涉及到其中有两个高速粒子几乎捆绑在一起[9]. 无论是针对共振还是非共振贡献,经过对双介子分布振幅 ${\varPhi _{{{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_{\rm{2}}}}}$ 的参数化处理,衰变都可以按照两体模式进行分析.

    本文通过引入非微扰的波函数,用pQCD因子化方法分析振幅的解析式. 并通过数值计算,得到衰变分支比,从而有利于理论和实验对 ${{\rm{f}}_0}$ 的内部结构分析和探索.

    • ${\rm{B}} \to {{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_2}{{\rm{h}}_3}$ 三体衰变的因子化公式为:$M = {\Phi _{\rm{B}}} \otimes H \otimes {\Phi _{{{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_{\rm{2}}}}} \otimes {\Phi _{{{\rm{h}}_{\rm{3}}}}}$. ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + }$ 衰变可以简单描述为 ${\rm{B}} \to {M_{2{\rm{\pi }}}}{M_{\rm{\pi }}}$${M_{2{\rm{\pi }}}}$ 对应一组双 ${\rm{\pi }}$ 介子对. 在 ${\rm{B}}$ 介子质心坐标系中,设 ${{\rm{\pi }}^ + }$${{\rm{\pi }}^ - }$ 介子分别携带 ${P_1}$${P_2}$ 的动量,${\rm{B}}$ 介子动量 ${P_{\rm{B}}}$,双 ${\rm{\pi }}$ 介子总动量 $P = {P_1} + {P_2}$,单独 ${\rm{\pi }}$ 介子动量 ${P_3}$. 用光锥坐标表示为:${P_{\rm{B}}} = {M_{\rm{B}}}(1,1,{0_T})/\sqrt 2 $${P}\; = {M_{\rm{B}}}(1,\eta ,{0_T})/\sqrt 2 $${P_3} = {M_{\rm{B}}}(1,1 - \eta ,{0_T})/\sqrt 2 $.

      其中 $\eta = {\omega ^2}/{M_{\rm{B}}}^2$${\omega ^2} = {P^2}$.

      用pQCD方法计算的结果依赖于非微扰赝标介子的输入参数:率变常数,分布振幅和手征能标. ${\rm{B}}$ 介子的分布振幅为:

      $ \qquad {\phi _{\rm{B}}}(x,b) = {N_{\rm{B}}}{x^2}{(1 - x)^2}\exp \bigg[ - \frac{1}{2}{\bigg(\frac{{x{M_{\rm{B}}}}}{{{\omega _b}}}\bigg)^2} - \frac{{{\omega _b}^2{b^2}}}{2}\bigg],$

      其中归一化常数 ${N_{\rm{B}}}$ 与衰变常数 ${f_{\rm{B}}}$ 有关,满足方程 $\int\limits_0^1 {{\rm{d}}x{\phi _{\rm{B}}}(x,b = 0)} = 2{f_{\rm{B}}}/\sqrt {2{N_c}} $${N_c} = 3$ 是色自由度指标. ${\omega _b}$ 为自由形状参数,本文在数值计算中取 ${\omega _b} = (0.40 \pm {0.04})\;{\rm{GeV}}{.}$ $x$${\rm{B}}$ 介子中旁观者夸克的动量占比, b是旁观者夸克横动量kT的共轭变量.

      对于 ${\rm{\pi }}$ 介子领头阶扭度(twist−2)的分布振幅 $\phi {_{\rm{\pi }}^A}\;$ 和次领头阶(twist−3)的 $\phi {_{\rm{\pi }}^P}\;$$\phi {_{\rm{\pi }}^T}\;$ 的具体表示如下:

      $\qquad \begin{split} \phi _{\rm{\pi }}^A(x) =& {\frac{{{f_{\rm{\pi }}}}} {3\sqrt 6 }}x(1 - x) \cdot [1 + a_1^{\rm{\pi }}C_1^{3/2}(t) + a_2^{\rm{\pi }}C_2^{3/2}(t) + a_4^{\rm{\pi }}C_4^{3/2}(t)],\\ \phi _{\rm{\pi }}^P(x) =& {\frac{{f_{\rm{\pi }}}} {2\sqrt 6 }}\left\{ 1 + \bigg(30{\eta _3} - \frac{5}{2}{\rho _{\rm{\pi }}}^2\bigg)C_2^{1/2}(t)] - 3\bigg[{\eta _3}{\omega _3} + \frac{9}{{20}}{\rho _{\rm{\pi }}}^2(1 + 6a_2^{\rm{\pi }})\bigg]C_4^{1/2}(t)\right\},\\ \phi _{\rm{\pi }}^T(x) =& {\frac{{f_{\rm{\pi }}}} {2\sqrt 6 }}x(1 - x)\bigg[1 + (5{\eta _3} - \frac{1}{2}{\eta _3}{\omega _3} - \frac{7}{{20}}{\rho _{\rm{\pi }}}^2 - \frac{3}{5}{\rho _{\rm{\pi }}}^2a_2^{\rm{\pi }})C_2^{3/2}(t)\bigg]. \end{split} $

      其中 ${\rho _{\rm{\pi }}} = {m_{\rm{\pi }}}/{m_{0{\rm{\pi }}}}$,分子是质量,分母是手征对称性破坏标度,$a_i^{\rm{\pi }}$ 是Gegenbauer动量,$C_n^\nu (t)$ 是Gegenbauer多项式.

      衰变始末介子波函数为:

      $\qquad \begin{split} {\varPhi _{\rm{B}}}(x,b) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}({{\not P}_{\rm{B}}} + {M_{\rm{B}}}){\gamma _5}{\phi _{\rm{B}}}(x,b),\\ {\varPhi _{\rm{\pi }}}({P_{\rm{\pi }}},x) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}{\gamma _5}[{{\not P}_{\rm{\pi }}}\phi _{\rm{\pi }}^A(x) + {m_{0{\rm{\pi }}}}\phi _{\rm{\pi }}^P(x) + {m_{0{\rm{\pi }}}}(\not v\not n - 1)\phi _{\rm{\pi }}^T(x)]. \end{split} $

      其中 $n = (1,0,{0_T})$$v = (0,1,{0_T})$ 分别是光锥坐标里的正反向基矢.

      对于双 ${\rm{\pi }}$ 介子系统,本文选择如下[10]

      $\qquad \begin{split} {\Phi _{2{\rm{\pi }}}}(z,\zeta ,{\omega ^2}) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}[\not P{\phi _0}(z,\zeta ,{\omega ^2}) + \omega {\phi _s}(z,\zeta ,{\omega ^2}) + \omega (\not n\not v - 1){\phi _t}(z,\zeta ,{\omega ^2})], \\ \end{split} $

      其中,$\zeta = P_1^ + /{P^ + }$${{\rm{\pi }}^ + }$ 介子的动量占比. ${\phi _0}$${\phi _{s(t)}}$ 分别是Gegenbauer展开式中领头阶扭度部分和次领头阶部分[11-13],

      $\qquad \begin{split} {\phi _0} =& \frac{{9{F_s}({\omega ^2})}}{{\sqrt {2{N_c}} }}a_2^{I = 0}z(1 - z)(1 - 2z),\;\\ {\phi _s} =& \frac{{{F_s}({\omega ^2})}}{{2\sqrt {2{N_c}} }},\;\;\;{\phi _t} = \frac{{{F_s}({\omega ^2})}}{{2\sqrt {2{N_c}} }}(1 - 2z). \end{split} $

      这里的 ${F_s}({\omega ^2})$$a_2^{I = 0}$ 分别是类时标量形状因子和Gegenbauer系数.

    • 在文献[5]中作者用微扰QCD的方法分析计算过本衰变过程,计算结果发现其中的 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)$ 衰变的分支比明显超出了实验结果给出的范围,计算结果不能令人满意. 本文基于LHCb的结果[14],在对类时标量形状因子 ${F_s}$ 的参数化中考虑s波共振态,计算与 ${{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1500,\;1790)$ 相关的衰变分支比.

      ${\rm{d\bar d}}$ 分量有关的是 ${{\rm{f}}_0}(500)$,本文采用Briet−Wigner模型[15]

      $\qquad F_{\rm{s}}^{{\rm{d}}\bar {\rm{d}}}({\omega ^2}) = \frac{{cm_{{{\rm{f}}_0}(500)}^2}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(500)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(500)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(500)}}({\omega ^2})}},$

      此处 ${m_{{{\rm{f}}_0}(500)}} = {0.50}\;{\rm{GeV}},\;$ 对于s波共振态衰变成双 ${\rm{\pi }}$ 介子情形,${\Gamma _s}({\omega ^2})$ 可参数化[16]

      $\qquad {\Gamma _s}({\omega ^2}) = {\Gamma _s}F_R^2\frac{{{m_s}}}{\omega }\sqrt {\frac{{{\omega ^2} - 4m_{\rm{\pi }}^2}}{{m_s^2 - 4m_{\rm{\pi }}^2}}} ,\;$

      ${\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(500)}} = {0.40}\;{\rm{GeV}},\;$${F_R} = {1}\;$ 是Blatt−Weisskopf制约系数[17].

      形状因子 ${\rm{s\bar s}}$ 的部分与 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + }$ 中间态 ${{\rm{f}}_0}(980,\;1500,\;1790)$ 相关[5,18],本文采用Flatté和Briet−Wigner模型来处理 ${{\rm{f}}_0}(980)$${{\rm{f}}_0}(1500,\;1790)$ 中间态.

      $\qquad \begin{split} F_{\rm{s}}^{{\rm{s}}\bar {\rm{s}}}({\omega ^2}) =& \frac{{{c_1}m_{{{\rm{f}}_0}(980)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _1}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}}({g_{{\rm{\pi \pi }}}}{\rho _{{\rm{\pi \pi }}}} + {g_{{\rm{KK}}}}{\rho _{{\rm{KK}}}})}}+ \frac{{{c_2}m_{{{\rm{f}}_0}(1500)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _2}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(1500)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(1500)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(1500)}}({\omega ^2})}}+ \\ & \frac{{{c_3}m_{{{\rm{f}}_0}(1790)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _3}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(1790)}^2 - {\omega ^2} - i{m_{{{\rm{f}}_0}(1790)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(1790)}}({\omega ^2})}} , \end{split} $

      其中 $c$${c_i}$${\theta _i}$ 的参数取值源于LHCb的结果[14]

      $\qquad \begin{split} c = 3.500,\;\;{c_1} =& 0.900,\;\;{c_2} = 0.106,\;\;{c_3} = 0.066\\ {\theta _1} =& - \pi /2,\;{\theta _2} = \pi /4,\;{\theta _3} = 0. \end{split} $

      其它相关取值为:

      $\qquad \begin{split} &\begin{array}{*{20}{l}} {{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}} = 0.97\;{\rm{GeV}},\;{m_{{{\rm{f}}_0}(1500)}} = 1.50\;{\rm{GeV}},\;} {{m_{{{\rm{f}}_0}(1790)}} = 1.81\;{\rm{GeV}},} \end{array}{g_{\pi \pi }} = 0.167,\;{g_{{\rm{KK}}}} = 3.47{g_{\pi \pi }}. \end{split} $

      图1展示了衰变过程微扰可算的费曼图,其中a类跃迁图(可因子化图)可以对顶角进行高阶修正. 顶角修正在QCD因子化方法中很早就有文献[19]分析,这里的顶角修正计算不需要考虑夸克在端点的横动量效应,可以直接给出修正项. 它可以被吸收到Wilson系数里. 原来的Wilson系数组合为:

      图  1  B衰变的费曼图

      Figure 1.  Feynman diagrams for B decay

      $\qquad {d_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_i} + {c_{i + 1}}/3,(i = 1,3,5,7,9),}\\ {{c_i} + {c_{i - 1}}/3,(i = {\rm{2}},{\rm{4}},{\rm{6}},{\rm{8}},{\rm{10}}),} \end{array}} \right.$

      考虑顶角修正后变为

      $\qquad {d_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {c_i} + \dfrac{{{c_{i + 1}}}}{3}\bigg[1 + \dfrac{{{\alpha _s}}}{{4\pi }}{C_F}{V_i}({\rm{M}})\bigg],(i = 1,3,5,7,9), \end{array}\\ \begin{array}{l} {c_i} + \dfrac{{{c_{i - 1}}}}{3}\bigg[1 + \dfrac{{{\alpha _s}}}{{4\pi }}{C_F}{V_i}({\rm{M}})\bigg],(i = {\rm{2}},{\rm{4}},{\rm{6}},{\rm{8}},{\rm{10}}), \end{array} \end{array}} \right.$

      式中 ${\rm{M}}$ 是指从弱相互作用出射的介子,其中,

      $\qquad {V_i}({\rm{M}}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 12\ln \dfrac{{{m_{\rm{b}}}}}{\mu } - 18 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^A(x)g(x),} (i = 1 ,\cdots, 4,9,10), \end{array}\\ \begin{array}{l} - 12\ln \dfrac{{{m_{\rm{b}}}}}{\mu } + 6 - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^A(x)g(1 - x),} (i = 5,7), \end{array}\\ { - 6 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^P(x)h(x),\;(i = 6,8)} }, \end{array}} \right. $

      硬散射函数:

      $\qquad \begin{split} g(x) =& 3\bigg(\frac{{1 - 2x}}{{1 - x}}\ln x - {\rm{i}}\pi \bigg) + [2L{i_2}(x) - {\ln ^2}x + \frac{{2\ln x}}{{1 - x}} - (3 + 2{\rm{i}}\pi )\ln x - (x \leftrightarrow 1 - x)], \\ \end{split} $

      $\qquad h(x) = 2L{i_2}(x) - {\ln ^2}x - (1 + 2{\rm{i}}\pi )\ln x - (x \leftrightarrow 1 - x).$

    • 由总的衰变率$ \Gamma = \dfrac{{{G_F}^2{M_{\rm{B}}}^5}}{{512{\pi ^4}}}\int\limits_0^1 {{\rm{d}}\eta } (1 - \eta )\int\limits_0^1 {{\rm{d}}\zeta {{\left| {M(\zeta ,\eta )} \right|}^2}} $即可算出分支比. 具体参数选择${M_{\rm{B}}} = 5.28\;{\rm{GeV}},\; $${f_{\rm{B}}} = 0.19\;{\rm{GeV}},{\tau _{{{\rm{B}}^ + }}} = 1.641\;{\rm{ps}},\;{m_\pi } = 0.13\;{\rm{GeV}} $.

      对于CKM矩阵元,本文仍采用Wolfenstein参数化形式,为了对比修正结果,我们输入同样的参数:

      $\qquad \begin{split} \lambda &= 0.225\;35 \pm 0.000\;65;\;A = 0.817 \pm 0.015;\\ \bar \rho &= 0.136 \pm 0.018;\;\bar \eta = 0.348 \pm 0.014. \end{split} $

      用微扰QCD因子化方法计算包含已修正的分支比结果:

      $\qquad \begin{split} &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(500)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = [6.41_{ - 1.26}^{ + 1.18}({\omega _b})_{ - 0.78}^{ + 0.79}({m_{0{\rm{\pi }}}})_{ - 0.55}^{ + 0.54}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 9}},\\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = [1.25_{ - 0.46}^{ + 0.38}({\omega _b})_{ - 0.23}^{ + 0.21}({m_{0{\rm{\pi }}}})_{ - 0.16}^{ + 0.15}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 7}} , \\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(1500)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = [1.92_{ - 0.63}^{ + 0.54}({\omega _b})_{ - 0.35}^{ + 0.36}({m_{0{\rm{\pi }}}})_{ - 0.27}^{ + 0.25}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 8}}, \\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(1790)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = [5.66_{ - 0.82}^{ + 0.79}({\omega _b})_{ - 0.56}^{ + 0.54}({m_{0{\rm{\pi }}}})_{ - 0.36}^{ + 0.38}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 9}}. \\ \end{split} $

      主要误差来自于输入参数里的 ${\omega _b} = (0.40 \pm {0.04})\;{\rm{GeV}}$${m_{0{\rm{\pi }}}} = (1.4 \pm {0.1})\;{\rm{GeV}}$$a_2^{I = 0} = 0.2 \pm 0.2$. 由Wolfenstein参数等引入的误差可以忽略不计.

      由pQCD的计算数据可绘出 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1\;500,\;1\;790) \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + }$ 的衰变谱线图,如图2所示.

      图  2  B经共振态衰变到末态的衰变谱

      Figure 2.  The resonant contribution to the decays spectrum for B decay

      目前,粒子物理实验的结果给出了 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]$ 的上限是 $1.5 \times {10^{ - 6}}$. 作者在早期文献[5]中计算了该衰变道的分支比结果,$Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 7.3 \times {10^{ - 6}}$,远超过实验结果给出的限制. 为了分析该衰变道修正项贡献的大小,本文在忽略顶角修正项贡献后,重新计算 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]$ 衰变:

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 1.26 \times {10^{ - 7}}.$

      对比本文上述两个 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 的结果表明,顶角修正项的贡献并不是很大. 本文的计算和文献[5]的主要差别来源于标量粒子 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 内部结构的模型差异,在考虑 ${\rm{n\bar n}}$${\rm{s\bar s}}$ 混合后,计算结果已满足实验结果的限制范围.

    • 本文基于kT因子化理论,运用微扰QCD因子化方法重新计算 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980) \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }{{\rm{\pi }}^ + }$ 衰变. 在文献[5]中作者给出了该衰变道的分支比结果,$Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 7.3 \times {10^{ - 6}}$. 本文忽略了贡献很小的湮灭图等贡献. 基于LHCb的数据结果,引入Flatté和Briet−Wigner模型对类时形状因子进行参数化处理,考虑到 ${\rm{s\bar s}}$ 的贡献和顶角修正. 本文还同时分析了其他3个衰变道. 本次计算的结果分支比是

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(500)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 6.41 \times {10^{ - 9}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 1.25 \times {10^{ - 7}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(1\;500)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 1.92 \times {10^{ - 8}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(1\;790)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }]) = 5.66 \times {10^{ - 9}}. $

      目前实验上给出 $Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\rm{\pi }}^ + }{{\rm{\pi }}^ - }])$ 的上限数据是 $1.5 \times {10^{ - 6}}$,从已有的数据看本文的计算是相吻合的. 当然 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 等粒子的内部结构目前还没有一个确定的结论,本文和文献[5]的计算结果对比,表明在涉及 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 等标量粒子的衰变分析中,${\rm{s\bar s}}$ 的贡献不容忽略. 随着高能实验的蓬勃发展,相信不久的将来能获得更多的数据,从而可以检验我们理论计算结果的准确性.

参考文献 (19)

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