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Chua 于1971年提出忆阻器的概念[1]，并于1976年与Kang 共同提出广义忆阻器的概念[2]，2008年Strukov等第一次成功实现了忆阻器件[3]. 由于忆阻器有着天然的非线性、可塑性和非易失性记忆等特性，且具备高集成密度、高读写速度、低功耗、多值计算潜力等优势，使得忆阻器及忆阻电路系统有着潜在的、广泛的应用前景，特别是在人工神经形态网络、类脑计算等方面有独特优势，已成为物理、电子、材料、纳米、生物等领域的前沿和热点之一. 虽然忆阻器已被证实具有物理可实现性，但目前还主要处于实验探索阶段，且因设计方案多、实现难度大、整体造价高，更多学者还不能从市场上获取该类器件用于科学研究. 这也促使部分学者采用电阻、电容、运算放大器、模拟乘法器等常规分立器件构建多种类型忆阻模拟电路，或者基于一些特殊拓扑形式的电路构建广义忆阻器，来满足科研需求[4-15]. 在提出的广义忆阻器中，诸如Corinto和Ascoli提出了基于二极管桥级联RLC滤波器组成的广义忆阻器[8]，包伯成团队提出的基于二极管桥级联RC、RL滤波器组成的广义忆阻器[9-10]等，是以传统电子电路为主体稍加改进而成，电路结构简单，拓展了忆阻模拟器的实现方式，这也预示着传统的基本电路中可能还存在有具有忆阻特性的电路，但目前尚无文献报道.
倍压整流电路是一种基本电子电路，由二极管和电容器串并联组成，可以将电压幅值较低的交流整流成高压直流，广泛应用在高压直流电源中. 现有文献更多关注于倍压整流原理分析及电路改进上，还未对其端口特性加以关注. 利用广义忆阻器的数学定义及忆阻器的端口须具备的3个本质特征为判据，通过数学建模、数值仿真、虚拟实验仿真及物理实验对二倍压整流电路端口特性展开研究，证实了二倍压整流电路在取适当电路元件参数时会呈现出广义忆阻特性.
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一个器件或电路系统要具备忆阻器特性，须具备忆阻器的3个本质特征[16]：（1）当施加双极性周期信号时，在v-i平面上展现为一条在原点紧缩的紧磁滞回线，且响应是周期性的；（2）当激励频率超过临界频率，磁滞旁瓣面积随频率的增加而单调减少；（3）当激励频率趋于无限大时，磁滞回线收缩为一个单值函数. 而广义忆阻器除满足忆阻器的3个本质特征外，其端口的伏安关系还应符合广义忆阻的数学定义式. 一个广义忆阻系统可表示为[17]
$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( t \right) = g\left( {{{x}},u,t} \right)u\left( t \right),}\\ {\dfrac{{{\rm{d}}{{x}}}}{{{\rm{d}}t}} = f\left( {{{x}},u,t} \right),} \end{array}} \right. $ 式中
$u\left( t \right)$ 与$y\left( t \right)$ 为系统的输入与输出变量，x为系统内部的n维状态变量，$g\left( {{{x}},u,t} \right)$ 为系统转移特性函数，$f\left( {{{x}},u,t} \right)$ 是n维矢量函数. 如果一个器件或电路系统的端口v、i关系符合此定义，则该器件或电路可称为广义忆阻器. 当$y\left( t \right)$ 为流入端口电流，$u\left( t \right)$ 为端口电压时，该器件或电路系统是一个压控型广义忆阻器，$g\left( {{{x}},u,t} \right)$ 为忆导；反之，为流控型广义忆阻器，$g\left( {{{x}},u,t} \right)$ 为忆阻. -
二倍压整流电路的广义忆阻模拟器如图1所示. 在端口施加激励电压v，其参考方向及电路中各支路电流参考方向如图1所标注，各元件两端电压参考方向选取与通过该元件电流参考方向相关联. D1、D2为具有相同特征参数的二极管，根据二极管的正向特性，在二极管正向导通时，流经二极管的电流可以表示为:
图 1 二倍压整流电路等效的广义忆阻器
Figure 1. Equivalent generalized memristor for double voltage rectification circuit
$ {i_1} = {I_S}\left( {{e^{2\rho {v_1}}} - 1} \right), $ $ {i_{2}} = {I_S}\left( {{e^{2\rho {v_2}}} - 1} \right), $ 式中i1、i2分别为流过D1、D2的电流；v1、v2为D1、D2两端的电压，
$\rho = 1/\left( {2n{V_T}} \right)$ ，IS、n与VT为二极管的特征参数，分别指反向饱和电流、发射系数与热电压.由基尔霍夫电流定律（KCL）可得到：
$ {i_{{C_1}}} + {i_2} = {i_1}, $ $ {i_{{C_2}}} + {i_R} = {i_2}, $ $ i = {i_{{C_1}}}, $ 式中iC1、iC2、iR分别表示通过电容器C1、C2及电阻R的电流，i表示端口输入电流.
由基尔霍夫电压定律（KVL），可得到
$ {v_1} + {v_{{C_1}}} = v, $ $ {v_1} + {v_2} + {v_{{C_2}}} = 0, $ 式中vC1、vC2分别表示电容器C1、C2两端电压.
电容器C1、C2及电阻R的伏安关系为
$ {i_{{C_1}}} = {C_1}\frac{{d{v_{{C_1}}}}}{{dt}}, $ $ {i_{{C_2}}} = {C_2}\frac{{d{v_{{C_2}}}}}{{dt}}, $ $ {i_R} = \frac{{{v_R}}}{R}, $ 式中vR为电阻两端电压，且vR=vC2，
结合以上（2）至（11），可得图1电路的端口伏安关系及电容电压的状态方程
$ \begin{array}{l} i = {g_M}\left( {{v_{{C_1}}},{v_{{C_2}}},v,t} \right)v = {I_S}{e^{2\rho \left( {v - {v_{{C_1}}}} \right)}} -\\ \quad{I_S}{e^{2\rho \left( {{v_{{C_1}}} - v - {v_{{C_2}}}} \right)}}\\ \dfrac{{{\rm{d}}{v_{{C_1}}}}}{{{\rm{d}}t}} = \dfrac{{{I_S}{e^{2\rho \left( {v - {v_{{C_1}}}} \right)}} - {I_S}{e^{2\rho \left( {{v_{{C_1}}} - v - {v_{{C_2}}}} \right)}}}}{{{C_1}}}\\ \dfrac{{{\rm{d}}{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{d}}t}} = \dfrac{{{I_S}\left( {{e^{2\rho \left( {{v_{{C_1}}} - v - {v_{{C_2}}}} \right)}} - 1} \right)}}{{{C_2}}} - \dfrac{{{v_{{C_2}}}}}{{{\rm{R}}{C_2}}}. \end{array} $ 当满足v=0，有vC2=2vC1时，与（1）式比较，（12）式符合广义忆阻器的定义式，图1电路是一个二阶广义压控忆阻的等效电路，式中
${g_M}\left( {{v_{{C_1}}},{v_{{C_2}}},v,t} \right) = $ $ \dfrac{{{e^{2\rho \left( {v - {v_{{C_1}}}} \right)}} - {I_S}{e^{2\rho \left( {{v_{{C_1}}} - v - {v_{{C_2}}}} \right)}}}}{v}$ 为忆导. -
选取电路元件参数，施加正弦激励电压，依据（12）式用Matlab软件对端口伏安关系进行数值仿真. 取C1=C2=100 uF、R=1 kΩ,选用IN4148型二极管，其特征参数为：IS=2.682 nA、n=1.836、
${V_T} = 25\;mV\left( {T = 293\;{\rm{K}}} \right)$ ，激励电源为$v = $ $ {V_m}sin\left( {2\pi f} \right)t\;{\rm{V}}$ ，式中Vm和f分别为振幅和频率.当Vm不变，改变f时：取Vm=3 V，f分别为20、100、500、1 000 Hz时，伏安关系曲线分别如图2（a）、（b）、（c）和（d）所示. 均展现出在原点收缩的紧磁滞回线，且随频率增大，紧磁滞回线旁瓣面积逐渐变小. 当继续增大频率时，紧磁滞回线最终将收缩为一条非线性单值函数. 适当改变电路元件参数，当超过临界频率也具有此特性.
图 2 不同频率下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 2. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different frequencies
当频率不变，改变振幅时：取f=20 Hz，Vm分别为6、7、8 V时，伏安关系曲线如图3（a）、（b）、（c）所示，随着激励振幅的变化，伏安关系曲线仍然为在原点收缩的紧磁滞回线. 在其他频率下，改变振幅仍有此特性，如当f=50 Hz，Vm分别为3、4、5 V时，伏安关系曲线如图4（a），当f=200 Hz，Vm分别为3、4、5，如图4（b）所示. 在其他电路参数下仍有此特性.
图 3 20 Hz时不同激励振幅下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 3. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 20 Hz
图 4 50、200 Hz时不同激励振幅下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 4. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 50、200 Hz
从数值仿真结果来看，二倍压整流电路具备忆阻器端口的3个本质特征.
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用Multisim 12仿真软件构建图1所示的二倍压整流电路，元件参数与1.2节中数值仿真取值相同. 激励电源
$v = {V_{\rm{m}}}{\rm{sin}}\left( {2\pi f} \right)t\;{\rm{V}}$ ，取Vm=3 V（有效值约为2.121 64 V），当激励频率f分别为20、100、500、1000 Hz时，v-i关系曲线在原点收缩的紧磁滞回线如图5（a）、（b）、（c）和（d）所示. 将图5与图2比较可知：虚拟实验与数值仿真结果基本相同.
图 5 不同频率下紧磁滞回线虚拟实验图
Figure 5. Diagrams of virtual experiment of pinched hysteresis loops with different frequencies
当频率不变，改变振幅时：取f=20 Hz，Vm分别为6、7、8时，伏安关系曲线如图6（a）、（b）、（c）所示. 将图6与图3比较可知：虚拟实验与数值仿真结果仍基本一致.
图 6 20 Hz时不同幅值下紧磁滞回线虚拟实验图
Figure 6. Diagrams of virtual experiment of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 20 Hz
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基于图1所示的电路图，在面包板上进行物理连接，硬件电路元件采用2个IN4148二极管、2个100 uF的电解电容、1个1 K和1个1 Ω的精密电阻. 1 Ω的电阻接入电路的输入端头，用其两端电压采集输入端电流. 用绿扬YB1602函数信号发生器作为正弦电压源，实验结果由RIGOL（北京普源精电科技有限公司）DS1102E数字示波器捕获得到. CHI通道输入为正弦交流信号电压，CH2通道输入1Ω电阻两端电压，该电压对应电路的流入电流. 正弦电源为
$v = {V_{\rm{m}}}{\rm{sin}}\left( {2\pi f} \right)t\;{\rm{V}}$ ，取Vm=3 V（函数信号发生器取峰峰值为6 V），当激励频率f分别为20、100、500、1 000 Hz时，v-i关系曲线在原点收缩的紧磁滞回线如图7（a）、（b）、（c）和（d）所示. 将图7与图2和图5比较可知：物理实验结果与数值仿真及虚拟实验结果基本一致.
图 7 不同频率下紧磁滞回线物理实验图
Figure 7. Diagrams of physical experiment of pinched hysteresis loops with different frequencies
当频率不变，改变振幅时：取f=20 Hz，Vm分别为6、7、8 V时，伏安关系曲线如图8（a）、（b）、（c）所示. 将图8与图3和图6比较可知：频率不变改变振幅时，物理实验与数值仿真及虚拟实验结果仍基本一致.
图 8 20 Hz不同幅值下紧磁滞回线物理实验图
Figure 8. Diagrams of physical experiment of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 20 Hz
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通过理论分析、数值仿真、虚拟实验以及硬件实验，证实了二倍压整流电路在适当条件下（如元件参数等）具有广义忆阻特性. 对此电路忆阻特性的认识，有助于促进人们对一些传统电路的新功能、新特性、新应用的认识和开发，提高传统电路的利用率，助推电路理论的发展. 同时，也为广义忆阻家族增添一位新成员，若对其组成的电路系统的混沌特性研究，可能会有不同于其他混沌系统的新特性，这对忆阻或忆阻系统研究有一定的促进作用.
倍压整流电路的广义忆阻特性
Generalized memristor characteristics of voltage doubler rectifier circuit
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摘要: 研究旨在证明二倍压整流电路具有广义忆阻特性，为挖掘倍压整流电路的新功能及新应用提供理论依据. 首先，根据电路理论求得二倍压整流电路在电压源激励下输入端口伏安关系式以及电路中电容电压的状态方程；其次，由理论分析所得关系式，选取电路元件参数，施加正弦激励电压，由Matlab软件对端口伏安关系进行数值仿真分析；最后，通过Multisim软件进行虚拟实验以及物理实验进行验证. 结果表明理论分析符合广义忆阻器数学定义，数值仿真、虚拟实验及硬件实验三者结果基本吻合，验证了输入端口呈现出忆阻器的3个本质特征，从而证实了二倍压整流电路在取适当电路元件参数时具有广义忆阻特性.Abstract: The purpose is to prove the generalized memristor characteristics of the voltage doubler rectifier circuit and to provide a theoretical basis for exploring the new functions and new applications of the voltage doubler rectifier. Firstly, circuit theory is used to obtain the voltage-current relation of the input port excited by the voltage source, and the equations of the capacitor voltage in the circuit. Secondly,the voltage-current relationship is derived from Matlab simulations under the parameters of circuit components selected and the sine excitation voltage input, based on the theoretical analysis. Finally, verification is conducted via Multisim software and physical experiment. Conclusions: the theoretical analysis meets the mathematical definition of generalized memristor. the results of numerical simulation, virtual experiment and hardware experiment are basically in good agreement. three essential characteristics of memristors are demonstrated at the input port, which proves that the voltage doubler rectifier has generalized memristor characteristics when taking proper circuit component parameters.
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图 1 二倍压整流电路等效的广义忆阻器
Figure 1. Equivalent generalized memristor for double voltage rectification circuit
图 2 不同频率下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 2. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different frequencies
图 3 20 Hz时不同激励振幅下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 3. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 20 Hz
图 4 50、200 Hz时不同激励振幅下紧磁滞回线数值仿真图
Figure 4. Simulation diagrams of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 50、200 Hz
图 5 不同频率下紧磁滞回线虚拟实验图
Figure 5. Diagrams of virtual experiment of pinched hysteresis loops with different frequencies
图 6 20 Hz时不同幅值下紧磁滞回线虚拟实验图
Figure 6. Diagrams of virtual experiment of pinched hysteresis loops with different amplitudes at 20 Hz
图 7 不同频率下紧磁滞回线物理实验图
Figure 7. Diagrams of physical experiment of pinched hysteresis loops with different frequencies
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