集值测度和非可加集值测度的f-散度

巩增泰 申诚诚

引用本文:
Citation:

集值测度和非可加集值测度的f-散度

    通讯作者: 巩增泰; 
  • 中图分类号: O159

On the f-divergence for set-valued measures and non-additive set-valued measures

    Corresponding author: GONG Zeng-tai
  • CLC number: O159

  • 摘要: 散度作为信息之间的一种度量,在分类问题中因表示信息之间的差异程度而得到广泛应用. 集值测度和非可加集值测度作为测度的推广,定义和讨论了集值测度和非可加集值测度的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集值的运算和偏序关系,证明了H-散度和δ-散度满足三角不等式性质和对称性,同时给出了集值测度和非可加集值测度Radon-Nikodym 导数存在的充分必要条件. 最后给出了算例.
  • [1] Pearson K. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling[J]. Philosophical Magazine, 1900, 50(302): 157-175.
    [2] Hellinger E. Neue begrundung der theorie quadratischer formen von unendlichvielen veranderlichen[M]. Walter De Gruyter Incorporated, 1909, 1909(136): 210-271. DOI:  10.1515/crll.1909.136.210.
    [3] Cieslak D A, Hoens T R, Chawlan V, et al. Hellinger distance decision trees are robust and skew-insensitive[J]. Data Mining and Knowledge Discovery, 2012, 24(1): 136-158. DOI:  10.1007/s10618-011-0222-1.
    [4] Shlomo N, Antai L, Elliot M. Measuring disclosure risk and data utility for flexible table generators[J]. Journal of Official Statistics, 2015, 31(2): 305-324. DOI:  10.1515/jos-2015-0019.
    [5] Kuyllback S, Leibler R A. On information and sufficiency[J]. The Annals of Mathematical Statistics, 1951, 22(1): 79-86. DOI:  10.1214/aoms/1177729694.
    [6] Csiszar I. Information-type measures of difference of probability distributions and indirect observations[J]. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 1967, 2: 299-318. DOI: doi: http://dx.doi.org/.
    [7] Topse F. Some inequalities for information divergence and related measures of discrimination[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2000, 46(4): 1 602-1 609. DOI:  10.1109/18.850703.
    [8] Burbea J, Rao C. On the convexity of some divergence measures based on entropy functions[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1982, 28(3): 489-495. DOI:  10.1109/TIT.1982.1056497.
    [9] Beran R. Minimum hellinger distance estimates for parametric models[J]. The Annals of Statistics, 1997, 5(3): 445-463.
    [10] Dragomir S S, Glussevic V, Pearce C E. Csiszar f-divergence, Ostrowski’s inequality and mutual information[J]. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 2001, 47(4): 2 375-2 386. DOI:  10.1016/S0362-546X(01)00361-3.
    [11] Jain K C, Srivastava A. On symmetric information divergence measures of Csiszar’s f-divergence class[J]. Journal of Applied Mathematics, Statistic and Informatics, 2007, 29(3): 477-491.
    [12] 吴从炘, 马明. 模糊分析学基础[M]. 北京: 国防工业出版社, 1991.

    Wu C X, Ma M. Fuzzy anailtical foundation[M]. Beijing: Defence Industry Press, 1991.
    [13] Sugeno M. Theory of fuzzy integral and its applications[D]. Tokyo: Tokyo Institute of Thconology, 1974.
    [14] Wang Z Y. The autocontinuity of set function and the fuzzy integral[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1984, 99(1): 195-218. DOI:  10.1016/0022-247X(84)90243-9.
    [15] 巩增泰, 魏朝琦. 集值函数关于非可加集值测度的~Choquet积分[J]. 山东大学学报: 理学版, 2015, 50(8): 62-71. Gong Z T, Wei Z Q. Chouquet integral of set-valued functions with resppect to multisubmeasures[J]. Journal of Shandong University: Natural Science, 2015, 50(8): 62-71.
    [16] Torra V, Narukawa Y. Numerical integration for the Choquet integral[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2016, 31: 137-145. DOI:  10.1016/j.inffus.2016.02.007.
    [17] Zhang D L, Guo C M. Fuzzy integrals of set-valued mappings and fuzzy mappings[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1995, 75(1): 103-109. DOI:  10.1016/0165-0114(94)00342-5.
    [18] Jang L C, Kilb B M, Kimc Y K, et al. Some properties of Choquet integrals of set-valued functions[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1997, 91(1): 95-98. DOI:  10.1016/S0165-0114(96)00124-8.
    [19] Huang Y, Wu C X. Real-valued Choquet integral for set-valued mappings[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2014, 55(2): 683-688. DOI:  10.1016/j.ijar.2013.09.011.
    [20] Sugeno M. A note on derivatives of functions with respect to fuzzy measures[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2013, 222(1): 1-17. DOI:  10.1016/j.fss.2012.11.003.
    [21] Torra V, Narukawa Y, Sugeno M. On the f-divergence for non-additive measures[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2016, 292(C): 364-379. DOI:  10.1016/j.fss.2015.07.006.
    [22] Torra V, Narukawa Y, Sugeno M. On the f-divergence for discrete non-additive measures[J]. Information Sciences, 2019, 512(C): 50-63.
    [23] Artstein Z. Set-Valued measure[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1972, 165: 103-125. DOI:  10.1090/S0002-9947-1972-0293054-4.
    [24] 何东武. 集值测度的 Radon-Nikodym导数的唯一性[J]. 辽宁师范大学学报: 自然科学版, 2003, 26(2): 137-38. He D W. The unigueness of Radon-Nikodym derivative of set-valued measures[J]. Journal of Liaoning Normal University: Natural Science Edition, 2003, 26(2): 137-38.
    [25] 李腾, 张文修. 关于集值测度的 Radon-Nikodym导数[J]. 西安交通大学学报: 理学版, 1989, 23(1): 113-115. Li T, Zhang W X. On Radon-Nikodym derivative of set-valued measures[J]. Journal of Xi'an Jiaotong University: Natural Science, 1989, 23(1): 113-115.
    [26] 黄丽云, 孔维丽, 何青海. 有限维空间中集值映射及其导数的连续选择[J]. 云南大学学报: 自然科学版, 2006, 28(4): 289-292. Huang L Y, Kong W L, He Q H. Continuous selections of set-valued maps in finite dimensional vector spaces and its derivatives[J]. Journal of Yunnan University: Natural Sciences Edition, 2006, 28(4): 289-292.
  • [1] 张艳李天牧 . 基于Hausdorff距离的快速人脸检测. 云南大学学报(自然科学版),
    [2] 刘云袁浩恒 . 距离估计修正的定位算法优化研究. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20170091
    [3] 杨威龙华王美杜庆治 . 基于时间距离的时空重排扫描优化方法. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20190532
    [4] 姜跃 . 基于云有序概念层次树的时间序列距离计算模型. 云南大学学报(自然科学版),
    [5] 杞娴胡光华彭新俊 . 基于最佳距离度量近邻法的邻域风险最小化方法. 云南大学学报(自然科学版),
    [6] 刘海燕刘云 . 无线传感器网络中基于距离的簇头选择优化研究. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20130284
    [7] 王灵矫梁雅媚郭华 . 基于距离估计的无线传感网络移动节点定位研究. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20180674
    [8] 龚黔芬罗光耀 . 总拟--渐近非扩张映象不动点的混合广义f-投影方法*. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20150034
    [9] 曹伟龙华杜庆治邵玉斌李博 . 基于网络微积分的QoS接入策略. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20140692
    [10] 巩增泰赵乖霞 . 模糊直线上模糊数值函数的Henstock积分. 云南大学学报(自然科学版),
    [11] 杨智纯魏舟 . 关于向量值函数Riemann积分的若干研究. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20180624
    [12] 李源郝小枝 . 多元数量值函数积分中的轮换对称性. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20130725
    [13] 洪勇 . 一类重积分型Hardy-Hilbert不等式. 云南大学学报(自然科学版),
    [14] 杨必成 . 一个-3齐次核的Hilbert型积分不等式. 云南大学学报(自然科学版),
    [15] 张霖江寅生曹勇辉 . 具有非光滑核的奇异积分交换子的加权估计. 云南大学学报(自然科学版),
    [16] 周盼周疆 . 强奇异积分算子在加权Amalgam空间上的有界性. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20160681
    [17] 崔建斌刘坤 . n维模糊数值函数Henstock-Stieltjes积分的刻画定理. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20160356
    [18] 张海洋邱志鹏熊良林 . 新的Jensen类二重积分不等式的改进. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20160410
    [19] 赵凯郝春燕王磊 . Marcinkiewicz积分在加权弱Hardy空间的有界性. 云南大学学报(自然科学版),
    [20] 杨丽霞张毅 . 时间尺度上Birkhoff系统的积分因子和守恒量. 云南大学学报(自然科学版), doi: 10.7540/j.ynu.20190287
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-01
  • 录用日期:  2020-03-27
  • 网络出版日期:  2020-05-15

集值测度和非可加集值测度的f-散度

    通讯作者: 巩增泰; 
  • 西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070

摘要: 散度作为信息之间的一种度量,在分类问题中因表示信息之间的差异程度而得到广泛应用. 集值测度和非可加集值测度作为测度的推广,定义和讨论了集值测度和非可加集值测度的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集值的运算和偏序关系,证明了H-散度和δ-散度满足三角不等式性质和对称性,同时给出了集值测度和非可加集值测度Radon-Nikodym 导数存在的充分必要条件. 最后给出了算例.

English Abstract

  • 作为度量2类信息之间差异程度的数学指标,最早描述2个随机分布差异性度量的是皮尔逊(Pearson)1900年的工作[1]. 1909年,Hellinger在文献[2]中利用概率测度对于另一个概率测度的Radon-Nikodym导数,凭借所定义的距离函数研究了2个概率分布函数所表示的信息量之间的差异,已广泛应用于数据挖掘[3]和密码学[4]等领域. 而后,作为距离的推广,Kullback和Leibler通过引入一种较距离函数弱的散度函数评估了2个概率分布之间的差异[5]. 事实上,散度作为信息之间的一种度量,在分类问题中因表示信息之间的差异程度而得到广泛应用,因而基于不同背景和赋值描述的散度度量已有很多研究[6-11],包括Csiszar, Topse, Burbea, Beran, Dragomir, Jain基于不同背景和应用需要所提出的J-散度[6],Jensen-Shannon散度[7],算术几何散度[8],Hellinger散度[9],对称χ2-散度[10],和基于算术几何平均的随机分布散度等[11]. 众所周知,概率测度的可列可加性所描述的是无误差条件下属性指标的测量问题,然而在实际应用中概率测度的可列可加性条件似乎太强,以至于人们很难充分把握. 尤其是当测量误差不可避免,或当其涉及到主观评判和非重复性实验时,测量问题本质上是非可加的. 因此,作为概率测度推广的非可加测度[12-14]和基于非可加测度的Choquet积分理论[15-20]已受到很多学者的关注. 正如Sugeno在文献[20]中所述,对于Choquet积分的研究(完全类似于散度理论的讨论)大多因为其在信息融合、机器学习、模式识别、决策分析等诸多领域中得到广泛应用等原因而集中在离散的情形. 2016年以来,Torra等利用2个非可加测度对另一个非可加测度的Radon-Nikodym导数,以Choquet积分替代经典的Lebesgue积分定义和讨论了基于非可加测度的f-散度[21],基于非可加测度的f-散度的离散情形[22],推广了Hellinger, Csiszar, Dragomir, Kullback和Leibler等的结果. 集值映射以及作为测度推广的集值测度(非可加集值测度)已经有了很多研究[23-26]. 本文定义和讨论了集值测度(非可加集值测度)的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集合的运算和偏序关系,证明了H-散度和δ-散度满足三角不等式性和对称性,同时给出了集值测度(非可加集值测度) Radon-Nikodym导数存在的充分必要条件. 最后给出了相关例子.

    • XR上的非空集合,${P_0}(X)$ 表示其非空子集的全体,${\cal{B}}$X的子集族构成的σ-代数. (X${\cal{B}}$) 为可测空间. 记 ${{\bf{R}}^ + } = [0,\infty ]$${{\bf{R}}^ + }$ 上所有非空子集记为 ${P_0}({{\bf{R}}^ + })$,所有非空紧凸集记为 ${P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$. ${P_0}({{\bf{R}}^ + })$ 上的偏序关系,对于任意的 $A,B \in {P_0}({{\bf{R}}^ + })$$A \leqslant B$ 是指:

      (1)对于任意的 ${x_0} \in A$,存在 ${y_0} \in B$ 使得 ${x_0} \leqslant {y_0}$

      (2) 对于任意的 ${y_1} \in B$,存在 ${x_{\rm{1}}} \in A$,使的 ${x_1} \leqslant {y_1}$. 对于 $A,B \in {P_0}({{\bf{R}}^ + })$$A + B = \{ a + b|a \in A,b \in B\} $$A \cdot B = \{ a \cdot b|a \in A,b \in B\} $.

      对于可测空间 (X${\cal{B}}$),如果集函数m: ${\cal{B}}$→[0,∞] 满足m($\emptyset $)=0和可列可加性,则m称为测度. 并记(X${\cal{B}}$m)为测度空间.

      X是非空集合,${\cal{B}}$X的子集族构成的σ-代数. 映射 $\;\;\mu : {\cal{B}}$→[0,∞] 称为模糊测度,若 $\;\;\mu $ 满足[12-14]:

      (1) $\;\mu (\emptyset ) = 0$

      (2) 若 $A \subset B$,则 $\;\mu (A) \leqslant \;\mu (B)$

      (3) 若 ${A_{_1}} \subset {A_2} \subset \cdots \subset {A_n}\subset \cdots$,则 $\;\mu (\mathop \cup \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\mu ({A_n})$

      (4)若 ${A_{_1}} \supset {A_2} \supset \cdots \supset {A_n} \supset \cdots$,并且存在 ${n_0}$,使得 $\;\mu ({A_{{n_0}}}) < \infty $,则 $\;\mu (\mathop \cap \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\mu ({A_n}).$

      $\;\mu $ 是模糊测度,则 (X${\cal{B}}$$\;\mu $) 称为模糊测度空间. 模糊测度 $\;\mu $ 称为是凹的,如果 $\;\mu (A \cup B) + $$ \;\mu (A \cap B) \leqslant \;\mu (A) + \;\mu (B)$,反之如果 $\;\mu (A \cup B) + \;\mu (A \cap B) \geqslant \;\mu (A) + \;\mu (B)$,则称模糊测度 $\;\mu $ 是凸的.

      设(X,${\cal{B}}$$\;\mu $)是模糊测度空间,$g:X \to {{\bf{R}}^ + }$ 是可测的实值函数,则函数 $g(x)$A上的Choquet 积分定义为[16]

      $\qquad (c)\int\limits_A {g{\rm{d}}} \;\mu = (L)\int_0^\infty {\;\mu (\{ x|g(x) \geqslant \alpha \} \cap A){\rm{d}}} \alpha .$

      定义1[23,25] 设XR上的非空集合,${\cal{B}}$X的子集族构成的σ-代数, (X${\cal{B}}$) 是一可测空间,称集值映射 $\pi :{\cal{B}} \to {P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$ 为集值测度,若其满足:

      (1) $\pi (\emptyset ) = \{ 0\}$

      (2)对 $\{ {A_n}\} \in {\cal{B}}$,若 ${A_i} \cap {A_j} = \emptyset$,有 $\pi (\mathop \cup \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\pi ({A_n})}$$\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\pi ({A_n})} = \{ \eta = \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\eta _n}} ,{\eta _n} \in \pi ({A_n}),\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\eta _n}} $ 一致收敛}.

      定义2[15] 对于集值函数 $\theta : {\cal{B}} \to {P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$,称 $\theta $ 为非可加集值测度,若 $\theta $ 满足:

      (1) $\theta (\emptyset ) = \{ 0\}$

      (2) $A,B \in {\cal{B}}$$A \cap B = \emptyset ,\theta (A \cup B) \leqslant \theta (A) + \theta (B)$

      (3) $A,B \in {\cal{B}}$$A \subseteq B,\theta (A) \leqslant \theta (B)$.

      记 (X${\cal{B}}$$\pi )$,(X${\cal{B}}$$\theta $)分别为集值测度空间和非可加集值测度空间. 若 $\pi $ 为集值测度,m为测度,且对 $A \in {\cal{B}}$,有 $m(A) \in \pi (A)$,称m$\pi $ 的选择,记为 $m \in \pi $. 若 $\theta $ 是非可加集值测度,$\;\mu $ 是非可加测度,且对 $A \in {\cal{B}}$,有 $\;\mu (A) \in \theta (A)$,则称 $\;\mu $$\theta $ 的选择,记为 $\;\mu \in \theta $. 无特别说明,本文中 $m,{m_i}$ 为测度;$\;\mu ,{\;\mu _i}$ 为非可加测度;$\pi ,{\pi _i}$ 为集值测度;$\theta ,{\theta _i}$ 为非可加集值测度;$(A)\int {} $ 表示实值函数关于集值测度的 Aumann积分,$\int {} $ 表示实值函数关于测度的 Lebesgue 积分,$(C)\int {} $ 表示实值函数关于非可加集值测度的 Chouquet 积分,$(c)\int {} $ 表示实值函数关于非可加测度的Chouquet积分. Radon-Nikodym 导数简写成R-N导数;Hellinger距离简写成H-距离;Hellinger 散度简写成H-散度.

    • $\pi $ 是集值测度,m是测度,若 $\mathop {\lim }\limits_{m(A) \to \infty } \pi (A) = \{ 0\} $,则 $\pi $ 称关于m是连续的[23],记作 $\pi \ll m$. 设 (X${\cal{B}}$$\pi $)是集值测度空间,$f:X \to {{\bf{R}}^ + }$ 为可测实值函数,$A \in {\cal{B}}$fA上关于 $\pi $ 的 Aumann 积分定为 $(A)\int\limits_A {f{\rm{d}}} \pi = $$ {\{ \int\limits_A {f{\rm{d}} m < \infty ,m \in \pi } \}} $. 设 ${\pi _1},{\pi _2}$ 是集值测度,${\pi _1} \ll m,{\pi _2} \ll m$,若存在非负可测实值映射 $g:X \to {\bf{R}}$,使得 ${\pi _1}(A) = (A)\int_A {g{\rm{d}}} {\pi _2}$,则称g${\pi _1}$ 关于 ${\pi _2}$ 的R-N导数[24],记作 $g = {\rm{d}}{\pi _1}/{\rm{d}}{\pi _2}$$\dfrac{{{\rm{d}}{\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}}}$.

      定义3 设(X${\cal{B}}$$\pi $)是集值测度空间,${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 为集值测度,且关于测度m连续,若 ${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的R-N导数存在,$f:{{\bf{R}}^{ + }} \to {{\bf{R}}^{ + }}$ 为凸函数,f(1)=0,则 ${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的f-散度定义为

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\Big(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\Big){\rm{d}} {\pi _3}.$

      注1 特别地,在定义3条件下,称:

      (1) ${H_{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(A)\int {{{\Bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} \Bigg)}^2}{\rm{d}} {\pi _3}} }$${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的H-散度. 取 $f(x) = {(1 - \sqrt x )^2}$,则 ${H_{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}{D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})} $;

      (2) ${\delta _{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \dfrac{1}{2}(A)\int {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}\Big|} {\rm{d}} {\pi _3}$${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$$\delta $-散度. 若令 $f(x) = |x - 1|$,则 ${\delta _{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = $$ \dfrac{1}{2}{D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$.

      注2 当定义3中的集值测度退化为经典测度时,对应f-散度,H-散度与 $\delta $-散度分别退化为经典意义下的f-散度[21],H-距离[21]$\delta $-距离[21]. 特别地,当测度为离散的概率分布时,其f-散度,H-散度与 $\delta $-散度分别表示概率分布的f-散度[10],H-距离[10]与-$\delta $ 距离[10].

      关于2个集值测度的R-N导数存在性,文献[25]已经进行了讨论.

      引理1[25]${\pi _1},{\pi _2}$ 是2个集值测度,${\pi _i} \ll m,i = 1,2$,则存在可积映射 $h:X \to {\bf{R}}$ 使得 ${\pi _1}(A) = \int\limits_A {h{\rm{d}} } {\pi _2}$ 的充要条件是:

      (1) 对 ${\pi _1}$ 的任意选择 ${m_1}$,存在 ${\pi _2}$ 的选择 ${m_2}$,使得 ${m_1}(A) = \int\limits_A h {\rm{d}} {m_2}$

      (2) 对 ${\pi _2}$ 的任意选择 ${m_2}$,存在 ${\pi _1}$ 的选择 ${m_1}$,使得 ${m_1}(A) = \int\limits_A h {\rm{d}} {m_2}$.

      性质1 对于任意2个集值测度 ${\pi _1},{\pi _2}$,若 ${\pi _1}{\rm{ = }}{\pi _2}$,则 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}){\rm{ = \{ 0\} }}$.

      性质2 集值测度的H-散度与 $\delta $-散度满足对称性.

      性质3 对于集值测度 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3},{\pi _4}$,若 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 关于 ${\pi _4}$ 的R-N导数存在,则

      $\qquad {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3}).$

      性质4 对于集值测度 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3},{\pi _4}$,若 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 关于 ${\pi _4}$ 的R-N导数存在,则

      $\qquad {\delta _{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}){\rm{ + }}{\delta _{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {\delta _{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3}).$

      证明 不难验证,性质1和性质2成立,性质4 的证明完全类似于性质3. 我们只证明性质3,设 $a \in {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3})$,即存在 ${\pi _4}$ 的一个选择 ${m_1}$,使得 $a \!\!=\!\! \sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\left( {\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} } \right)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } $. 由于H-距离满足三角不等式性,得

        $a = \sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } \! \leqslant \! \sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } {\rm{ + }}\sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } \in $

          ${H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) +{H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) $.

      另一方面,设 $b \in {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3})$,即存在 ${\pi _4}$ 的2个选择 ${m_2},{m_3}$(取 $m = \min \{ {m_2},{m_3}\} $),使得

        $b = \sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_2}} } {\rm{ + }}\sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_3}} } $.

      $c = \sqrt {\dfrac{1}{2}\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} m} } $,则 $b \geqslant c$. 故 ${H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3})$. 证毕.

      注3 由性质2,集值测度的H-散度与 $\delta $-散度满足对称性,但是集值测度的f-散度不一定满足对称性,例如,令 $f(x) = {(x - 1)^2}$,有 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \int {\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} \right)}^2}}}{{\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}}}} {\rm{d}} {\pi _3}$,显然不满足对称性. 但是,在实际应用中若需要满足对称性,只需改造为 ${{\rm{D}}^{\rm{*}}}_{f,{\pi _3}}({\pi _1},{\pi _2}) = \dfrac{1}{2}\left( {(A)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3} + (A)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3}} \right)$. 不过本文所讨论的只是定义3的情形.

      定理1 设 (X${\cal{B}}$$\pi $) 是集值测度空间,${\pi _1},{\pi _2},{\pi _{_3}}$ 是集值测度,若 ${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的R-N导数存在,则 ${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的f-散度是一个紧凸集.

      证明 首先证明凸性,由定义3 可知,${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 ${\pi _3}$ 的f-散度为 ${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3}$. 对于任意的 $x,y \in {{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$,存在 ${\pi _3}$ 的选择 ${m_1},{m_2}$,使得 $x = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_1},y = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_2}$,对于任意的 $\alpha \in (0,1)$

      $\qquad \begin{split} \alpha x + (1 - \alpha )y =& \alpha \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_1} + (1 - \alpha )\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_2} = \\ &\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} \alpha {m_1} + \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} (1 - \alpha ){m_2}{\rm{ = }}\\ &\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} (\alpha {m_1} + (1 - \alpha ){m_2}). \end{split} $

      由于 ${\pi _3}$ 是紧凸集值映射,所以存在 ${m_3} \in {\pi _3}$,使得对任意的 $A \in {\cal{B}}$,有 ${m_3}(A) = \alpha {m_1}(A) + (1 - \alpha ){m_2}(A)$,即 $\alpha x + (1 - \alpha )y = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_3}$. 因此 $\alpha x + (1 - \alpha )y \in {D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$,故 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一个凸集.

      下面我们证明紧性,对于任意的有界无限点列 $\{ {x_n}\} \in {D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right)$,存在一列 ${\pi _3}$ 的选择列 $\{ {m_n}\} $,使得 ${x_n} = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_n}$. 显然 $\{ {m_n}(X)\} $ 是有界无限点列,因为 ${\pi _3}$ 是紧凸集值映射,所以 $\{ {m_n}(X)\} $ 存在收敛子列 $\{ {m_{{n_k}}}(X)\} $,不妨设递增收敛到 $\gamma $,则相对应的 $\{ {x_n}\} $ 存在一列递增点列 $\{ {x_{{n_k}}} = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_{{n_k}}}\} $,由单调有界收敛定理可知 $\{ {x_{{n_k}}}\} $ 收敛,并且有 $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} \gamma .$${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一个紧集.

      综上,${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一个紧凸集. 证毕.

      例1 设m是区间[0,1]上的Lebesgue 测度,${\cal{B}}$ 是[0,1]上的Borel-σ代数,${m_1}:A \to $$ \int\limits_A {t{\rm{d}} m} ,{m_2}: A \to \int\limits_A {t + 1{\rm{d}} m}$$A \in {\cal{B}}$,由Lebesgue 积分的性质可知,${m_1},{m_2}$ 是测度,令 $\pi (A) = [0,m(A)]$${\pi _1}(A) = [0,{m_1}(A)]$${\pi _2}(A) = [0,{m_2}(A)]$,不难验证 $\pi ,{\pi _1},{\pi _2}$ 都是集值测度,其中 ${\pi _1}$ 关于 $\pi $ 的R-N导数为 ${g_1}(t) = t$${\pi _2}$ 关于 $\pi $ 的R-N导数为 ${g_2}(t) = t + 1$,则 ${\pi _1},{\pi _2}$ 关于 $\pi $ 的f-散度为

      $\qquad {D_{f,\pi }}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\int\nolimits_0^1 {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big){\rm{d}} \pi = \left[ {0,\int\nolimits_0^1 {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big){\rm{d}} m} } \right]} .$

      特别地,H-散度为

      $\qquad \begin{split} {H_\pi }({\pi _1},{\pi _2}) =& \left[ {0,\left. {\sqrt {\dfrac{1}{2}\int\nolimits_0^1 {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} \pi }}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} \pi }}} \bigg)}^2}} {\rm{d}} m} } \right]} \right. = \left[ {0,\left. {\sqrt {\dfrac{1}{2}\int\nolimits_0^1 {{{(\sqrt t - \sqrt {t + 1} )}^2}} {\rm{d}} t} } \right]} \right. = \\ &\left[ {0,\left. {\dfrac{1}{4}(3\sqrt 2 - \ln (1 + \sqrt 2 ))} \right]} \right.. \end{split}$

      $\delta $-散度为 ${\delta _\pi }({\pi _1},{\pi _2}) = \dfrac{1}{2}(A)\int\limits_0^1 {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} \pi }} - \dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} \pi }}\Big|} {\rm{d}} \pi = [0,\dfrac{1}{2}]$.

    • 设 (X${\cal{B}}$$\theta $) 为非可加集值测度空间,对任意的 $A \in {\cal{B}}$,令 ${\;\mu _1}(A) = \inf \theta (A),{\;\mu _2}(A) = \sup \theta (A)$,记 ${\;\mu _1}$$\theta $ 的最小选择,${\;\mu _2}$$\theta $ 的最大选择. 显然 ${\;\mu _1} \in \theta ,{\;\mu _2} \in \theta $.

      $\theta $ 为非可加集值测度,f是一个可测实值函数,$A \in {\cal{B}}$fA上关于 $\theta $ 的 Choquet 积分定义为 $(C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } \theta = \{ \int\limits_A {f{\rm{d}} \;\mu < \infty ,\;\mu \in \theta } \} $.

      定义4 设(X,${\cal{B}}$$\theta $)为非可加集值测度空间,${\theta _1},{\theta _2}$ 是非可加集值测度,若存在非负可测实值函数g,使得 ${\theta _1}(A) = (C)\int\limits_A {g{\rm{d}} } {\theta _2}$$A \in {\cal{B}}$,则称g${\theta _1}$ 关于 ${\theta _2}$ 的R-N导数,记作 $g = {\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _2}$$\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}}}$.

      定义5 设(X,${\cal{B}}$$\theta $) 为非可加集值测度空间,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值测度,若 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的R-N导数存在,$f:{{\bf{R}}^{+}} \to {{\bf{R}}^{+}}$ 为凸函数,f(1)=0,则 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的f-散度定义为

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3}.$

      注4 特别地,在定义5条件下,称:

      (1) ${H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(C)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\theta _3}} } $${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的H-散度. 取 $f(x) = {(1 - \sqrt x )^2}$,则

        ${H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}{D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})} $

      (2) ${\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \dfrac{1}{2}({\rm{C}})\int {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}\Big|} {\rm{d}} {\theta _3}$${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$$\delta $-散度. 若令 $f(x) = |x - 1|$,则

        ${\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = $$ \dfrac{1}{2}{D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$

      注5 当定义 5中的非可加集值测度退化为非可加测度时,对应f-散度,H-散度与 $\delta $-散度分别退化为非可加测度的f-散度[21],H-距离[21]$\delta $-距离[21].

      对于非可加集值测度的 $ f$-散度而言,首先是对其R-N导数进行讨论与刻画,对此我们有如下结论.

      定理2 设(X${\cal{B}}$$\theta $) 为非可加集值测度空间,${\theta _1},{\theta _2}$ 是非可加集值测度,${\;\mu _i}^S,{\;\mu _i}^I$ 分别是 ${\theta _i}$ 的最大选择与最小选择,i=1,2,且 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^S}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^S}} = f,\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^I}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^I}} = g$,则存在一个可积映射h${\theta _1}$ 关于 ${\theta _2}$ 的R-N导数的充分必要条件是f几乎处处等于g.

      证明$ \Rightarrow $” 由条件可知 ${\theta _1}(A) = (C)\int\limits_A {h{\rm{d}} } {\theta _2}$,对于 ${\theta _2}$ 的最小选择 ${\;\mu _{\rm{2}}}^I$,存在选择 $\;\mu \in {\theta _1}$,使得 $\;\mu (A) = (c)\int\limits_A h {\rm{d}} {\mu _2}^I$,显然 $\;\mu $${\theta _1}$ 的最小选择,即 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^I}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^I}} = h$. 同理可知 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^S}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^S}} = h$,所以f几乎处处等于g.

      $ \Leftarrow $” 只需要证明f${\theta _1}$ 关于 ${\theta _2}$ 的R-N导数即可,即只需要证明 ${\theta _1}(A) = (C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$$A \in {\cal{B}}$. 首先由 ${\theta _2}$ 的紧凸性可知 $(C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$ 是一个紧凸集,对于任意的 $x \in {\theta _1}(A)$,令 $\alpha = \dfrac{{{\;\mu _1}^s(A) - x}}{{{\;\mu _1}^s(A) - {\;\mu _1}^I(A)}}$,则有 $x = \alpha {\;\mu _1}^I(A) + (1 - \alpha ){\;\mu _1}^S(A)$,而 ${\;\mu _1}^S(A) = (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^S,{\;\mu _1}^I(A) = (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I$,由 ${\theta _2}$ 的紧凸性可知,存在 ${\theta _2}$ 的选择 $\;\mu = \alpha {\;\mu _1}^I{\rm{ + (1 - }}\alpha {\rm{)}}{\;\mu _{\rm{1}}}^S$,使得 $x = (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } \;\mu $,则 $x \in (C)\int\limits_A {h{\rm{d}} } {\theta _2}$,所以 ${\theta _1}(A) \subset (C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$.

      对于任意的 $y \in (C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$,存在 ${\theta _2}$ 的选择 $\;\mu $ 使得 $y = (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu $,显然 $(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I \leqslant y \leqslant (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S$,令 $\alpha = \dfrac{{(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S - y}}{{(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S - (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^I}}$,则有 $y = \alpha (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^I + (1 - \alpha )(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S$,由于 ${\theta _1}(A)$ 是一个紧凸集,并且有 $(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I \in {\theta _1}(A),(c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^S \in {\theta _1}(A)$,所以有 $y \in {\theta _1}(A)$,故 ${\theta _1}(A) \supset (C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}.$ 所以 ${\theta _1}(A) = (C)\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$. 证毕.

      引理2[21] 设(X${\cal{B}}$$\;\mu $) 是模糊测度空间,fg都是非负可测的实值函数,则:

      (1) 若 $\;\mu $ 是凹的,则 $(c)\int\limits_A {(f + g){\rm{d}} } \mu \leqslant (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu + (c)\int\limits_A g {\rm{d}} \mu $

      (2) 若 $\;\mu $ 是凸的,则 $(c)\int\limits_A {(f + g){\rm{d}} } \mu \geqslant (c)\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu + (c)\int\limits_A g {\rm{d}} \mu $.

      引理3[21] 设(X${\cal{B}}$$\;\mu $) 是模糊测度空间,fg都是非负可测的实值函数,若 $\;\mu $ 是凹模糊测度,则

        ${\left[ {(c)\int {{{(f + g)}^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}} \leqslant {\left[ {(c)\int {{f^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}} + {\left[ {(c)\int {{g^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}}$.

      性质5 对于任意2个非可加集值测度 ${\theta _1},{\theta _2}$,若 ${\theta _1} = {\theta _2}$,则 ${D_{f,\theta_3}}({\theta _1},{\theta _2}) = \{ 0\} $.

      性质6 非可加集值测度的H-散度与 $\delta $-散度满足对称性.

      性质7 设 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},{\theta _4}$ 是非可加集值测度,若 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 关于 ${\theta _4}$ 的R-N导数存在,并且 ${\theta _4}$ 的最大选择与最小选择都是凹模糊测度,则有 ${H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$.

      证明 设有 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 分别是 ${\theta _4}$ 的最小选择与最大选择,对任意的 $a \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3})$,存在 ${\theta _4}$ 的选择 ${\;\mu _3},{\;\mu _4}$ 使得 $a = \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _3}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _4}} } $. 由引理3可知

      $\qquad \begin{split} a =& \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _3}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _4}} } \geqslant \\[-3pt] &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } \geqslant\\[-3pt] &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3}). \end{split} $

      另一方面,对于任意的 $b \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 存在 ${\theta _4}$ 的选择 ${\;\mu _5}$ 使得

      $\qquad \begin{split} b =& \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _5}} } \leqslant \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } \leqslant \\ &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}). \end{split} $

      所以,${H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 证毕.

      性质8 设 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},{\theta _4}$ 是非可加集值测度,若 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 关于 ${\theta _4}$ 的R-N导数存在,并且 ${\theta _4}$ 的最大选择与最小选择都是凹模糊测度,则有 ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$.

      证明 设有 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 分别是 ${\theta _4}$ 的最小选择与最大选择,对任意的 $a \in {\theta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\theta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3})$,存在 ${\theta _4}$ 的选择 ${\;\mu _3},{\;\mu _4}$ 使得 $a = \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _3} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _4}$. 由引理2可知

      $\qquad \begin{split} a =& \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _3} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _4} \geqslant \\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} \geqslant\\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} + \bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|{\rm{d}} {\mu _1} \geqslant \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3}). \end{split} $

      另一方面,对于任意的 $b \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 存在 ${\theta _4}$ 的选择 ${\;\mu _5}$ 使得

      $\qquad \begin{split} b =& \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _5}\leqslant \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} \leqslant \\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}). \end{split} $

      所以,${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 证毕.

      注6 在性质7和性质8中,当最大选择与最小选择为凸模糊测度时,不等式并不成立,并且相反的情况也不成立. 例如,设 ${h_1} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}},{h_2} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}},{h_3} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}$,则 ${h_1} + {h_2} = {h_3}$. 设 ${\;\mu _2}$${\theta _4}$ 的最大选择,若 ${h_1},{h_2},{h_3}$ 都是非负的,由于 ${\;\mu _2}$ 是凸模糊测度,由引理 2 可知 $(c)\int\limits_A {({h_1} + {h_2}){\rm{d}} } {\mu _2} \geqslant (c)\int\limits_A {{h_1}{\rm{d}} } {\mu _2} + (c)\int\limits_A {} {h_2}{\rm{d}} {\mu _2}$,则

        ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$

      不成立. 若令 ${h_1} = 1,{h_2} = - 1$,则 ${h_3}{\rm{ = 0}}$. 而

        $(c)\int\limits_A {({h_1} + {h_2}){\rm{d}} } {\mu _2} \leqslant (c)\int\limits_A {|{h_1}|{\rm{d}} } {\mu _2} +$$ (c)\int\limits_A {} |{h_2}|{\rm{d}} {\mu _2}$

      所以 ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \leqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$ 也不成立.

      定理3 设(X${\cal{B}}$$\theta $) 是非可加集值测度空间,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值测度,若 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的R-N导数存在,则 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的f-散度是一个紧凸集.

      证明 首先证明凸性,由定义5知,则 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的f-散度为 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3}$. 对于任意的 $x,y \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,存在 ${\theta _3}$ 的选择 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 使得

      $\qquad x = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}. $

      对于任意的 $\alpha \in \left( {0,\left. 1 \right)} \right.$

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = \alpha (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} + (1 - \alpha )(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}.$

      由Chouquet 积分的性质可知

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} (\alpha {\mu _1} + (1 - \alpha ){\mu _2}).$

      由于 ${\theta _3}$ 是紧凸集值映射,所以存在 ${\;\mu _3} \in {\theta _3}$,使得 ${\;\mu _3} = \alpha {\;\mu _1} + (1 - \alpha ){\;\mu _2}$,即

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3}.$

      因此 $\alpha x + (1 - \alpha )y \in {D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,故 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一个凸集.

      下面我们证明紧性,对于任意的有界无限点列 $\{ {x_n}\} \subset {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})(n = 1,2,3, \cdots),$ 存在一列 ${\theta _3}$ 的选择列 $\{ {\;\mu _n}\} $ 使得 ${x_n} = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _n}$,显然 $\{ {\;\mu _n}\} $ 是有界无限点列,因为 ${\theta _3}$ 是紧凸集值映射,所以 $\{ {\;\mu _n}\} $ 存在收敛子列 $\{ {\;\mu _{{n_k}}}\} $,不妨设递增收敛到 $\gamma $,则相对应的 $\{ {x_n}\} $ 存在一列递增点列 $\bigg\{ {x_{{n_k}}} = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _{{n_k}}}\bigg\} $,由单调有界收敛定理可知 ${x_{{n_k}}}$ 收敛,由Chouquet 积分的性质可知,$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} \gamma $. 故 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一个紧集.

      综上,${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一个紧凸集. 证毕.

      定理4 设 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值测度,${\;\mu _1}$${\theta _3}$ 的最小选择,${\;\mu _2}$ 是其最大选择.

      $(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} < \infty$ 时,

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) \subseteq \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} < \infty $ 时,

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      证明$(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} < \infty $ 时,${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 非空. 设 $a \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,则存在 ${\theta _3}$ 的选择 ${\;\mu _3}$ 使得 $a = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3}$,由Chouquet积分的性质可知

      $\qquad (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} \leqslant (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3} \leqslant (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}.$

      所以 $a \in \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) \subseteq \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} < \infty $ 时,$(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,所以

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      证毕.

      例2[20-21] 设 $m{\rm{:}}{\operatorname{R} ^ + } \to {{\rm{R}}^ + }$ 是一个连续递增的函数,m(0)=0,$\lambda $ 是一个Lebesgue测度,${\;\mu _m}$ 是一个集函数,定义 ${\;\mu _m}(A) = m(\lambda (A))$. 称 ${\;\mu _m}$ 是由m诱导的变异Lebesgue测度,显然 ${\;\mu _m}$ 是一个非可加测度.

      引理4[20-21] 设f(t)是连续递增的函数,f(0)=0,${\;\mu _m}$ 是由m诱导的变异Lebesgue测度,则存在一个非减函数g,使得 $f(t) = (c)\int\limits_{[0,t]} g {\rm{d}} {\mu _m}$g如下示:

      $\qquad G(s) = \dfrac{{F(s)}}{{sM(s)}};g(t) = {L^{ - 1}}(\dfrac{{F(s)}}{{sM(s)}}).$

      其中 $F(s)$f的Laplace 变换,$G(s)$g的Laplace 变换,M(s)是m的Laplace变换.

      例3 设 $\;\mu $$\left[ {a,b} \right]$ 上的非可加测度,a大于0,${\cal{B}}$$\left[ {a,b} \right]$ 上的Borel-$\sigma $ 代数,${\theta _3}(A):A \to [0,\;\mu (A)]$${\theta _1}(A): A \to [0,(c)\int\limits_A {t{\rm{d}} } \;\mu ],{\theta _2}(A):A \to [0,(c)\int\limits_A {(t + 1){\rm{d}} } \;\mu ]$$A \in {\cal{B}}$,由Chouquet 积分的性质可知,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 都是非可加集值测度,${\theta _1}$ 关于 ${\theta _3}$ 的R-N导数为 ${g_1}(t) = t$${\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的R-N导数为 ${g_1}(t) = t+1$. 由定理4 可知其f-散度为

      $\qquad {D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int\nolimits_a^b {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big)} {\rm{d}} {\theta _3} = \left[ {0,\int\nolimits_a^b {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big)} {\rm{d}} \;\mu } \right].$

      特别地,$\delta$-散度为

      $\qquad {\delta _{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {0,\dfrac{1}{2}(c)\int\nolimits_a^b {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg|} {\rm{d}} \;\mu } \right] = \left[ {0,\dfrac{1}{2}\;\mu ([a,b])} \right].$

      H-散度为

      $\qquad {H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {0,\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\left( {\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} } \right)}^2}{\rm{d}} \;\mu } } } \right] = \left[ {0,\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {(\sqrt t - \sqrt {t + 1} } {)^2}{\rm{d}} \;\mu } } \right].$

      例4 设非可加集值测度 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 分别为 ${\theta _1} = [{\;\mu _{{m_1}}},{\;\mu _{{n_1}}}],{\theta _2} = [{\;\mu _{{m_2}}},{\;\mu _{{n_2}}}],{\theta _3} = [{\;\mu _{{m_3}}},{\;\mu _{{n_3}}}]$${\;\mu _{{m_i}}},{\;\mu _{{n_i}}}$ 分别是由 ${m_i},{n_i}$ 诱导的变异Lebesgue测度,i=1,2,3,${m_1}(t) = t,{n_1}(t) = \dfrac{3}{2}t,{m_2}(t) = \dfrac{1}{2}{t^2},{n_2}(t) = \dfrac{3}{4}{t^2},{m_3}(t) = t,{n_3}(t) = \dfrac{3}{2}t$. 显然 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{m_1}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{m_3}}}}} = 1,\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{n_1}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{n_3}}}}} = 1$,设 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{m_2}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{m_3}}}}} = {g_1}(t),\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{n_2}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{n_3}}}}} = {g_2}(t)$,由引理4可知,

      $\qquad {g_1}(t) = {L^{ - 1}}\bigg(\dfrac{{{M_2}(s)}}{{s{M_3}(s)}}\bigg) = t,{g_2}(t) = {L^{ - 1}}\bigg(\dfrac{{{N_2}(s)}}{{s{N_3}(s)}}\bigg) = t. $

      其中,${M_2}(s),{M_3}(s),{N_2}(s),{N_3}(s)$ 分别是 ${m_2},{m_3},{n_2},{n_3}$ 的Laplace变换. 由定理2可知 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的R-N导数存在且 $\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} = 1,\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} = t$,所以 ${\theta _1},{\theta _2}$ 关于 ${\theta _3}$ 的:

      f-散度为

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int t f\bigg(\dfrac{1}{{{t_{}}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3};$

      H-散度为

      $\qquad {H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(C)\int {{{(1 - \sqrt t )}^2}{\rm{d}} {\theta _3}} } ;$

      $\delta$-散度为

      $\qquad {\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \dfrac{1}{2}({\rm{C}})\int {|1 - t|} {\rm{d}} {\theta _3}.$

    • 本文定义和讨论了集值测度和非可加集值测度的f-散度,H-散度和 $\delta $-散度. 给出了集值测度和非可加集值测度Radon-Nikodym导数存在的充分必要条件. 期望能够应用到对象的属性值赋值为集值的信息系统的决策、融合和分类等相关问题中.

参考文献 (26)

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