3p阶群的3度bi-Cayley图

王丽 王紫璇 李圆

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3p阶群的3度bi-Cayley图

    通讯作者: 王丽, wanglimath@hpu.edu.cn
  • 中图分类号: O157.5; O152.5

Cubic bi-Cayley graphs over a group of order 3p

    Corresponding author: WANG Li, wanglimath@hpu.edu.cn ;
  • CLC number: O157.5; O152.5

  • 摘要: 称一个图是群H上的bi-Cayley图,如果它有一个同构于H的半正则自同构群且作用在顶点集 上恰有2个轨道. 分类了一类3p(p为奇素数)阶非交换群上的所有3度bi-Cayley图,并证明3度点传递bi-Cayley图一定同构于一个Cayley图,同时给出了这类图的全自同构群.
  • 图 1  X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})的导出子图

    Figure 1.  The induced subgraph of X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-28
  • 录用日期:  2020-03-27
  • 网络出版日期:  2020-05-14

3p阶群的3度bi-Cayley图

    通讯作者: 王丽, wanglimath@hpu.edu.cn
  • 河南理工大学 数学与信息科学学院,河南 焦作 454000

摘要: 称一个图是群H上的bi-Cayley图,如果它有一个同构于H的半正则自同构群且作用在顶点集 上恰有2个轨道. 分类了一类3p(p为奇素数)阶非交换群上的所有3度bi-Cayley图,并证明3度点传递bi-Cayley图一定同构于一个Cayley图,同时给出了这类图的全自同构群.

English Abstract

  • 本文所研究的图均指有限、连通、简单、无向图. 对图X,我们用V(X), E(X), Arc(X), Aut(X)分别表示图的顶点集、边集、弧集和全自同构群. 若Aut(X)分别在V(X), E(X), Arc(X)上传递,则称X为点传递图,边传递图,弧传递图(或对称图). 如果Aut(X)在图X上的作用是点传递,边传递的,但非弧传递,则称图X是半弧传递图. 此外,Gv表示点vV(X)的稳定子群,Ni(v)表示与顶点v距离为i的点的集合,称为点vi步邻域. 特别地,N(v)表示点v的邻点的集合. 定义群G关于子集S(不含单位元)的Cayley图记为X=Cay(G, S),其点集为G,边集为{{g, sg}|gG, sS}. 易知Cayley图是点传递图[1]. Bi-Cayley图是研究对称图以及半对称图的一个重要工具,其定义为: 设X=BiCay(H, R, L, S)是群H上关于集合R, LS的bi-Cayley图,其点集为H0H1; 边集为{{h0, g0}|gh−1R}∪{{h1, g1}|gh−1L}∪{{h0, g1}|gh−1S},其中Hi = {hi|hH}, i = 0, 1; R, LSH的子集,满足R−1=R, L−1=LRL中不包含H的单位元. 若|R|=|L|= s,则称BiCay(H, R, L, S)是s-型bi-Cayley图. 若|S|=1,则称BiCay(H, R, L, S)是1-匹配bi-Cayley图. 若群H在图X点集上的右正则表示R(H)在Aut(X)中正规,称图X是正规bi-Cayley图. 现今关于bi-Cayley图已有许多结果,如bi-Cayley图的谱[2],连通性[3], BCI性[4]等. 此外,对某些特定群上的bi-Cayley图的分类得到了很多学者的关注,如Marušič研究了循环群上的3度边传递bi-Cayley图[5];Boben和Pisanski对循环群上的3度2-型bi-Cayley图进行了分类[6];Zhou等刻画了交换群上3度bi-Cayley图[7]. 之后,Koike等对交换群上的弧传递bi-Cayley图及其BCI性给出了一些结果[8]. 基于此,本文对一类3p(p为奇素数)阶非交换群上的3度bi-Cayley图进行了分类,并给出此类图的自同构群. 本文若未有定义而引用的概念和记号可参看文献[9].

    • X = BiCay(H, R, L, S)是群H关于其子集R, L, S的bi-Cayley图,记A = Aut(X). 则有如下引理:

      引理1[7] (1) 图X是连通的充分必要条件是HRLS生成;

      (2) 在图同构意义下,S可包含群H的单位元1;

      (3) BiCay$(H,R,L,S) \cong $BiCay(H, R, L, S−1);

      (4) 对任意 $\alpha $∈Aut(H), BiCay$(H,R,L,S) \cong $BiCay(H, $R^\alpha $, $L^\alpha $, $S^\alpha $).

      由文献[10],对任意hH, i=0,1, gH, R(g):${h_i} \mapsto $(hg)i是点集V(X)上的置换且R(H)={R(g)|gH}$ \leqslant $Aut(X). 对 $\alpha $∈Aut(H), x, y, gH,给出点集V(X)上2个置换:

        ${\delta _{\alpha ,x,y}}$: $ {h_0}\mapsto $(${xh}^\alpha $)1, ${h_1} \mapsto $(${yh}^\alpha $)0, $\forall h $H,     ${\sigma _{\alpha ,g}}$: ${h_0} \mapsto$($h^\alpha $)0, ${h_1} \mapsto $(${gh}^\alpha $)0, $\forall h$H,

      且有

        I={${\delta _{\alpha ,x,y}}$|$\alpha $∈Aut(H) 使得 $R^\alpha $ = x−1Lx, $L^\alpha $ = y−1Ry, $S^\alpha $ = y−1S−1x},

        F={${\sigma _{\alpha ,g}}$|$\alpha $∈Aut(H) 使得 $R^\alpha $ = R, $L^\alpha $ = g−1Lg, $S^\alpha $ = g−1S}$ \leqslant $Aut(X).

      引理2[10]  设X =BiCay(H, R, L, S)是群H上的bi-Cayley图. 若I$ \ne \emptyset $,则对任意 ${\delta _{\alpha ,x,y}}$∈I有:

      (1) $\langle $R(H),${\delta _{\alpha ,x,y}}$$\rangle $V(X)上传递;

      (2) 若 $o(\alpha )$ = 2且x =y = 1,则X$ \cong $Cay($\bar H,$R$\alpha S$),其中 $\bar H$=$H:\langle \alpha \rangle $.

      引理3[11] 设群H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b−1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $, 其中p为奇素数且3|p−1. 则Aut(H)={$\alpha $|$a^\alpha $=ai, $b^\alpha $=bat},其中 i=1, 2,$\cdots, $ p−1; t =0,1, 2,$\cdots, $ p−1.

    • 为叙述简便,记H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b−1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $,其中p为奇素数且3|p−1.

      定理1 设 ${\Gamma _1}$=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, a, bs}),${\Gamma _2}$=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, bsa, bs})是群H上的3度0-型bi-Cayley图,其中s=1, 2. 则 ${\Gamma _1} \cong {\Gamma _2}$.

      证明 对任意vV($\Gamma $),用vmn表示V(${{\rm{\Gamma}}_n}$)中的点,其中m = 0, 1; n = 1, 2. 设

        $\phi $: (aibj)01$ \mapsto $($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12, (aibj)11$ \mapsto $(a−ibj−s)02

      是点集V(${\Gamma _1}$)到点集V(${\Gamma _2}$)的映射,易知 $\phi $ 是点集V(${\Gamma _1}$)到点集V(${\Gamma _2}$)上的双射. 下证 $\phi $ 保持边的邻接关系.

        $N((a^ib^j)_{01})^\phi $={(aibj)11, (ai+1bj)11, ($a^{i{r^{ - s}}}$$b^{j+s})_{11}\}^\phi $=          {(aibj−s)02, (a−(i+1)bj−s)02, ($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)02}=N(($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12),

        $N((a^ib^j)_{11})^\phi $={(aibj)01, (ai−1bj)01, ($a^{i{r^s}}$$b^{j-s})_{01}\}^\phi $=          {($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12, ($a^{ - (i - 1){r^{ - s}}}$bj)12,(aibjs)12}=N((aibjs)02).

      所以 $\phi $V(${\Gamma _1}$)到V(${\Gamma _2}$)的同构,因而 ${\Gamma _1} \cong {\Gamma _2}$. 证毕.

      定理2 设 ${\Gamma _3}$=BiCay(H,{ba, (ba)−1}, {b, b−1},{1}),${\Gamma _4}$=BiCay(H,{b2a, (b2a)−1}, {b, b−1}, {1})是群H上的3度2-型bi-Cayley图. 则 ${\Gamma _3} \cong {\Gamma _4}$.

      证明 设 $\phi $: $(b^j a^i)_ l \mapsto (b^j a^{-ir})_ l$是图 ${\Gamma _3}$ 到图 ${\Gamma _4}$ 点集上的映射,其中l=0, 1. 易知 $\phi $ 是双射. 下证 $\phi $ 保持边的邻接关系.

        $N((b^ja^i)_{0})^\phi $={(bjai)1,(babjai)1,(a−1b−1bjai)0$\}^\phi $=         {(bjair)1, (bj−1$a^{{r^j} - ir}$)0, (bj+1$a^{ - {r^{j + 1}} - ir}$)0}=N((bjair)0),

        N((bjai)1$)^\phi $ ={(bjai)0, (bj+1ai)1, (bj−1ai)1$\}^\phi $=         {(bjair)0, (bj+1air)1, (bj−1air)1}=N((bjair)1).

      故可知 $\phi $ 是图 ${\Gamma _3}$${\Gamma _4}$ 的点集上同构映射,即 ${\Gamma _3} \cong {\Gamma _4}$. 证毕.

      定理3 设群H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b−1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $,其中p为奇素数且3|p−1. R, L, SH的不含单位元的子集,则群H的3度bi-Cayley图X=BiCay(H, R, L, S)是如下情形之一:

      (1)X1=BiCay(H, $\emptyset $, $\emptyset $, S1), 其中S1={1, ba, b};

      (2)X2=BiCay(H, $\emptyset $, $\emptyset $, S2), 其中S2={1, b2a, b};

      (3)X3=BiCay(H, R1, L1, S),其中R1={a, a−1}, L1={b, b−1}, S={1};

      (4)X4=BiCay(H, R2, L2, S),其中R2={ba, (ba)−1}, L2={b, b−1}, S={1}.

      证明 因为o(a)=p, p为奇素数,所以对任意1≤i, kp−1,有 $\langle $ai$\rangle $=$\langle $ak$\rangle $. 易知群H的生成元有如下4种情况: {bjak, bsat},其中j$ \ne $sk$ \ne $t;{ ai, bj}, {ai, bjak}, {bjai, bs},其中1≤i, t, kp−1, 1≤j, s≤2.

      $\alpha $: a$ \mapsto $a, b$ \mapsto $ba, $\;\beta $: a$ \mapsto $ai, b$ \mapsto $b. 由引理3知,$\alpha $,$\;\beta $∈Aut(H),则有

         $\langle $a, bj${\rangle ^{\beta \alpha}}$=$\langle $ai, bj${\rangle ^\alpha}$=$\langle $ai, bjak$\rangle $,

         $\langle $bja, bs${\rangle ^{\beta \alpha}}$=$\langle $bjai, bs${\rangle ^\alpha}$=$\langle $bj${a^{\dfrac{{{r^j} - 1}}{{r - 1}} + i}}$, bs${a^{\dfrac{{{r^s} - 1}}{{r - 1}}}}$$\rangle $ =$\langle $bjak, bsat$\rangle $.

      根据bi-Cayley图定义,引理1及定理1, 2知, R, L, S只有上述4种情形. 证毕.

      定理4 设X1=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S1)是群H上的连通3度bi-Cayley图. 则|${A_{{1_0}}}$|=2.

      证明 由轨道定理知,|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$||$b_1^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|. 下面分3步证明|${A_{{1_0}}}$|=2.

      步骤1:考虑|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$|.

      易知 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定点10,11, b1N(10)={11, b1, (ba)1},则点(ba)1也被固定,即N(10)中的点都被 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定. 于是N(11)\{10}={(a−1b−1)0, (b2)0}, N(b1)\{10}={(a−1)0, b0}, N((ba)1)\{10}={(ba)0, a0}.

      经计算:

        C1=[10, b1, b0, (b2)1, (b2)0, 11, 10],

        C2=[10, (ba)1, (ba)0, (a−1b−1)1, (a−1b−1)0, 11, 10]

      是图X1的2个6-圈,且过点10, b1有且仅有1个6-圈C1,过点10, (ba)1有且仅有1个6-圈C2,易知点(a−1b−1)0, (b2)0, b0, (ba)0被固定,进一步有点(a−1)0, a0被固定,即N2(10)被固定. 由图的连通性可知 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定图X1的所有点,即|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$|=1.

      步骤2:考虑|b1$^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|.

      易知点10, 11被固定. 设 $\alpha $: a$ \mapsto $a−1, b$ \mapsto $ba,易知 $\alpha $∈Aut(H), o($\alpha $)=2,进而有o(${\sigma _{\alpha ,1}}$)=2. 下证 ${\sigma _{\alpha ,1}}$∈F. 由定义有$S^\alpha $ = {1, ba, b} = S. 故 ${\sigma _{\alpha ,1}}$∈F且$1_0^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=10, $1_1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=11, $b_1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=(ba)1,故|$b_1^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|=2.

      步骤3:考虑|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      由步骤1知过点10, b1有且仅有1个6-圈C1,过点10, (ba)1有且仅有1个6-圈C2,过点10, 11有2个6-圈C1, C2,故点11被固定,即|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1.

      由步骤1~3知|${A_{{1_0}}}$|=2, o(${\sigma _{\alpha ,1}}$)=2且${1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}_0}$=10,则 ${A_{{1_0}}}$=$\langle $${\sigma _{\alpha ,1}}$$\rangle $. 证毕.

      定理5 图X1=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S1)是非弧传递的.

      证明 若图X1是弧传递图,则 ${A_{{1_0}}}$ 传递作用在N(10)上,从而3$\left|{{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{|}}} \right.{A_{{{\rm{1}}_{\rm{0}}}}}{\rm{|}}$. 由定理4知,|${A_{{1_0}}}$|=2,矛盾. 即得图X1是非弧传递的. 证毕.

      定理6 设X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S2)是H上的3度0-型bi-Cayley图. 则:

      (1) X2$ \cong $Cayley($\bar H$, {$\;\beta $,$\;\beta {b^2}a$,$\;\beta b$}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 =${\;\beta ^2}$ = 1, b−1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a−1, $b^{\;\beta }$ = bar$\rangle $;

      (2) Aut(X2) =$\langle $R(H), ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $Z3,其中 ${\delta _{\beta ,1,1}}$∈I. 特别地,X2是弧正则的.

      证明 (1)设 $\;\beta $: $ a\mapsto $a−1, $b \mapsto $bar,由引理3可得 $\;\beta $∈Aut(H), $a^{{\;\beta ^2}}$ = ${(a^{-1})}^\beta$ = a, $b^{{\;\beta ^2}}$ = $({ba^{-r}})^{\;\beta} $ = barar = b. 故o($\;\beta $) = 2,进而有o(${\delta _{\;\beta ,1,1}}$)=2.

      下证 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由定义有$S^{\;\beta} $ = {1, b2a, b$\}^\beta $ = {1, ba-r, b2}=S −1. 故 ${\delta _{{\;\beta} ,1,1}}$∈I. 由引理2(1)可知 $\langle $R(H),${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在点集V(X)上传递且X2同构于Cay($\bar H$,{$\;\beta $,$\;\beta {b^2}a$,$\;\beta b$}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 = 1, b−1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a−1, $b^{\;\beta} $ = bar$\rangle $.

      (2)由轨道定理知,|A|=|${A_{{1_0}}}$||${1^A_0}$|. 由(1)知,图X2是点传递图,故|$1_0^A$|=6p. 现只需考虑|${A_{{1_0}}}$|的值.

      首先证明 ${A_{{1_0}}}$N(10)上的作用是忠实的. 设K${A_{{1_0}}}$ 作用在N(10)上的核,则K固定点10, 11, (b2a)1, b1,由图1可知过点10, 11, (b2a)1有且仅有1个6-圈C1=[10, 11, (a−1b)0, (a−1b)1, (b2a)0, (b2a)1, 10]; 过点10, 11, b1有且仅有1个6-圈C2=[10, 11, (b2)0, (b2)1, b0, b1, 10]; 过点10, (b2a)1, b1有且仅有1个6-圈C3=[10, b1, (a−1b2)0, ($a^{{\rm{ -}}{r^2}}$)1, (ba)0, (b2a)1, 10]; 故K固定N2(10)中的点. 再由图1的连通性及点传递性知,K固定图1中所有的点,即K=1. 故 ${A_{{1_0}}}$N(10)上的作用是忠实的. 进一步有 ${A_{{1_0}}}$$ \leqslant $ S3. 下证 ${A_{{1_0}}}$ 传递作用在N(10)上且 ${A_{{1_0}}} \cong $$ {Z_3}$. 设 $\alpha $: a$ \mapsto $ar, b$ \mapsto $bar,易知 $\alpha $∈Aut(H), o($\alpha $)=3. 进而有o(${\sigma _{\alpha ,({b^2}a)}}$)=3. 根据定义有$S^\alpha $ = {1, b2$a^{ - {r^2}}$, ba−r}=(b2a)−1 S. 因此,${\sigma _{\alpha ,({b^2}a)}}$∈F且固定点10并在N(10)上传递,故 ${A_{{1_0}}} \cong {S_3}$${A_{{1_0}}} \cong {Z_3}$.

      图  1  X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})的导出子图

      Figure 1.  The induced subgraph of X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})

      经计算知过点 ${({a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{1 + k{r^2}}})_1}$ 有且仅有1个6-圈

        [${({a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{(k - 1){r^2}}})_0}$, ${({a^{(k - 1){r^2}}})_1}$,${(b{a^{1 + k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{1 + k{r^2}}})_1},$${({a^{k{r^2}}})_0}$],

      过点 ${({a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{ - r + k{r^2}}})_0}$ 有且仅有1个6-圈

        [${({a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{(k + 1){r^2}}})_1},$${({a^{(k + 1){r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{ - r + k{r^2}}})_1},$${(b{a^{ - r + k{r^2}}})_0}$,${({a^{k{r^2}}})_1}$],

      其中k=1, 2,$\cdots, $ p−1. 若 ${A_{{1_0}}} \cong {S_3}$,则存在2阶元 $\sigma $${S_3}$ 使得$1_1^\sigma $=11, $b_1^\sigma $=(b2a)1. 因为(a−1b2)0, (ba)0在同一个6-圈,故$b_1^\sigma $=(b2a)1,进一步有 $N(b_0)^\sigma $={b1, (b2)1, (ar)1$\}^\sigma $={(b2a)1, a1, (ar)1}= N((b2a)0). 由图1可知,在6-圈[10, b1, (ba)0, ${({a^{ - {r^2}}})_1}$, (a−1b2)0, (b2a)1, 10]和[11, (b2)0, (b$a^{{r^2}}$)1, ($a^{{r^2}}$)0, (b2ar)1, (a−1b)0, 11]中点($a^{ - {r^2}}$)1, ($a^{{r^2}}$)0固定,易知点($a^{k{r^2}}$)0, ($a^{k{r^2}}$)1固定. 故$N(b_0)^\sigma \ne $N((b2a)0),矛盾. 因此,${A_{{1_0}}} \cong {Z_3}$.

      综上可得,Aut(X2) =$\langle $R(H),${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $Z3 且图X2是边传递的. 因为不存在奇数度的半弧传递图,结合(1)及弧传递图的定义可知图X2是弧正则的. 证毕.

      定理7 图X3=BiCay(H, R1, L1, S)是非点传递的.

      证明 由计算可知,N(10)={11, a0, (a−1)0}. 过点11有3-圈,即[11, b0, (b2)1, 11],过点a0, (a−1)0无3-圈. 若存在 $\sigma $∈Aut(X3)使得$1_1^\sigma $=a0或(a−1)0,则过点11的3-圈也在 $\sigma $ 的作用下变到过点a0, (a−1)0的3-圈,矛盾. 故图X3不是点传递的. 证毕.

      定理8 设X4=BiCay(H, R2, L2, S)是H上的3度1匹配bi-Cayley图. 则 X4$ \cong $Cay($\bar H$, {ba, (ba)−1,$\;\beta $}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 =${\;\beta ^2}$ = 1, b−1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a−1, $b^{\;\beta} $ = ba$\rangle $. 进一步的,有:

      (1)当p>7时,Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $,其中 ${\delta _{\beta ,1,1}}$∈I;

      (2)当p=7时,Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $${Z_2} \times {Z_4}$.

      证明 设 $\;\beta $: $a \mapsto $a−1, $b \mapsto $ba,由文献[11]可得 $\;\beta $∈Aut(H), $a^{{\;\beta ^2}}$=$(a^{-1})^{\;\beta} $=a, $b^{{\;\beta ^2}}$=$(ba)^\beta $=baa−1=b,故o($\;\beta $) = 2. 进而有o(${\delta _{\;\beta ,1,1}}$)=2. 下证 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由定义有$R_2^{\;\beta} $={ba, (ba)−1$\}^{\;\beta} $={b−1, b}=L2$L_2^\beta$={b, b−1$\}^{\;\beta} $= {ba, (ba)−1}=R2$S^{\;\beta} $={1}=S −1. 故 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由引理2(1)可知 $\langle $R(H),${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在点集V(X)上传递且X2同构于Cay($\bar H$,{ba, (ba)−1,$\;\beta $}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap=b3 =${\;\beta ^2}$=1, b−1ab=ar, $a^{\;\beta} $=a−1, $b^{\;\beta} $=ba$\rangle $.

      (1)由轨道定理知,|A|=|${A_{{1_0}}}$||${1^A_0}$|. 由(1)知,图X2是点传递图且|V(X4)|=2pq,故|${1^A_0}$|=2pq. 现只考虑|${A_{{1_0}}}$|的值即可. 易知|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$||$(ba)_0^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      步骤1: 考虑|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$|.

      易知 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$ 固定点10, 11, (ba)0且点10, (ba)0, ((ba)−1)0是1个3-圈,则点((ba)−1)0也被固定,即N(10)中的点都被固定. 下面讨论 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$N2(10)={b1, (b2)1, ((ba)2)1, (ba)1, ((ba)−2)1, ((ba)−1)1}上的作用. 因为图X4为3度图且点(ba)0, ((ba)−1)0固定,故点(ba)1, ((ba)−1)1固定. 当p>7时,过点10, 11, (ba)0有且仅有1个12-圈

        C1=[10, 11, (b2)1, (b2)0, (bar)0, (bar)1, (ar)1, (ar)0, (b2a)0, (b2a)1, (ba)1, (ba)0, 10];

      过点10, 11, ((ba)−1)0有且仅有1个12-圈

        C2=[10, 11, b1, b0, (b2ar)0, (b2ar)1, (ar)1, (ar)0, (bar+1)0, (bar+1)1, ((ba)−1)1, ((ba)−1)0, 10].

      则圈C1, C2中的点都被固定,故N2(10)中的点都被固定. 由(1)和图的连通性知,图X2中的所有点都被 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$ 固定,即|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$|=1.

      步骤2:考虑|${(ba)_0}^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|.

      假设存在 $\sigma $${A_{{1_0},{1_1}}}$ 使得$(ba)_0^\sigma $=((ba)−1)0,则

        $(ba)_1^\sigma $=((ba)−1)1, N((ba)1\{(ba)0}$)^\sigma $={a1, (b2a)1$\}^\sigma $=

           {(ar+1)1, (bar+1)1} =N(((ba)−1)1\{((ba)−1)0}.

      因为 ${A_{{1_0},{1_1}}}$ 固定点10, 11,故$b_1^\sigma $=(b2)1$b_1^\sigma $=b1. 经计算可知,当p>7时,过点11, b1, (b2)1有且仅有1个14-圈

        C3=[11, b1, b0, (a1)0, (a1)1, (b2a−1)1, (b2a−1)0, ${({a^{{r^2} - 1}})_0},$${(b{a^{{r^2}}})_0},$${(b{a^{{r^2}}})_1}$,${({a^{{r^2}}})_1}$, ${({a^{{r^2}}})_0}$, (b2)0, (b2)1, 11],

      因此点 ${({a^{{r^2} - 1}})_0}$ 固定,进一步有 ${({a^{{r^2} - 1}})_1}$ 固定. 过点(ai)0, (bai+1)0, ((ba)−1ai)0有且仅有1个14-圈

        Ci0=[(ai)0, (bai+1)0, (bai+1)1, (ai+1)1, (ai+1)0,${({b^2}{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$ ${({a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$      ${(b{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$${(b{a^{1 + i - {r^2}}})_0},$${({a^{i - {r^2}}})_1},$${({a^{i - {r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{i - {r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{i - {r^2}}})_0},$(ai)0];

      过点(ai)1, (bai)1, (b−1ai)1有且仅有一个14-圈

        Ci1=[(ai)1, (bai)1, (bai)0, (ai−1)0, (ai−1)1, (b2ai−1)1, (b2ai−1)0,${({a^{{r^2} + i - 1}})_0},$ ${(b{a^{i + {r^2}}})_0},$      ${(b{a^{i + {r^2}}})_1},$ ${({a^{i + {r^2}}})_1},$ ${({a^{i + {r^2}}})_0},$ (b2ai)0, (b2ai)1, (ai)1].

      因此(ai)0, (ai)1固定. 故N((ba)1\{(ba)0}$)^\sigma \ne $N(((ba)−1)1\ {((ba)−1)0},与假设矛盾.

      步骤3:考虑|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      过点10, (ba)0, ((ba)−1)0有3-圈[11, (ba)0, ((ba)−1)0, 11],过点10, 11无3-圈,故点11固定,即|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1.

      由步骤1~3可知,|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$||$(ba)_0^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1. 再由(1)知 $\langle $R(H),${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在点集V(X)上传递,得Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $.

      (2)当p=7时,由文献[12]可得 |Aut(X4)|=336且Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $Z2$ \times $Z4. 证毕.

      综合定理1-8, 可以得到以下主要定理9.

      定理9 设X = BiCay(H, R, L, S)是群H的3度bi-Cayley传递图,其中H是3p阶的非交换群,则有如下结论:

      (1)若X = BiCay(H,$\emptyset $, $\emptyset $, {1, b2a, b}),则X同构于一个Cayley图. 特别地,图X是弧正则图.

      (2)若X = BiCay(H, {ba, (ba)−1}, {b, b−1}, {1}),则X同构于一个Cayley图.

参考文献 (11)

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