分数阶和整数阶自由振动单摆模型的解及其动力学性质

王文莹 芮伟国

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分数阶和整数阶自由振动单摆模型的解及其动力学性质

    作者简介: 王文莹(1996−),女,重庆人,硕士生,主要从事分数阶微分方程方面的研究. E-mail:wangwenying9683@163.com;
    通讯作者: 芮伟国, weiguorhhu@aliyun.com
  • 中图分类号: O 175.08

The Solutions and Dynamic Properties of Fractional and Integer-order Pendulum Model of Free Vibration

    Corresponding author: RUI Wei-guo, weiguorhhu@aliyun.com
  • CLC number: O 175.08

  • 摘要: 自由振动下的分数阶单摆模型是经典的整数阶单摆模型的一种推广,它在研究具有黏性特征下复杂介质中的振动问题方面有很好的应用. 采用Laplace变换法和动力系统相图分析法,分别对分数阶线性单摆模型和整数阶非线性单摆模型的解及其动力学性质进行了系统研究,特别是在分数阶模型方面的研究,获得了一系列Mittag-Leffler函数形式的精确解,并进一步对二者之间解的动力学性质进行比较,最终给出了相关结论,这些研究成果对于在复杂介质中的振动问题方面的类似研究工作具有一定的参考价值.
  • 图 1  分数阶自由振动的单摆模型:解(13)和解(15)的动力学演化坐标图

    Figure 1.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (13) and (15)

    图 2  分数阶自由振动的单摆模型:解(21)和解(22)的动力学演化坐标图

    Figure 2.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (21) and (22)

    图 3  整数阶自由振动的非线性单摆模型的相图和波形图

    Figure 3.  Phase portraits and wave-form graph of nonlinear pendulum model of integer-order free vibration

    图 4  不同初值条件下有阻尼的单摆模型的相图

    Figure 4.  Phase portrait of a pendulum model with damping under different initial conditions

    图 5  不同初值条件下有阻尼的单摆模型的波形图

    Figure 5.  Graphs of waveform of the pendulum model with damping under different initial conditions

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-01-16
  • 录用日期:  2020-03-27
  • 网络出版日期:  2020-05-14

分数阶和整数阶自由振动单摆模型的解及其动力学性质

    作者简介:王文莹(1996−),女,重庆人,硕士生,主要从事分数阶微分方程方面的研究. E-mail:wangwenying9683@163.com
    通讯作者: 芮伟国, weiguorhhu@aliyun.com
  • 重庆师范大学数学科学学院 重庆 401331

摘要: 自由振动下的分数阶单摆模型是经典的整数阶单摆模型的一种推广,它在研究具有黏性特征下复杂介质中的振动问题方面有很好的应用. 采用Laplace变换法和动力系统相图分析法,分别对分数阶线性单摆模型和整数阶非线性单摆模型的解及其动力学性质进行了系统研究,特别是在分数阶模型方面的研究,获得了一系列Mittag-Leffler函数形式的精确解,并进一步对二者之间解的动力学性质进行比较,最终给出了相关结论,这些研究成果对于在复杂介质中的振动问题方面的类似研究工作具有一定的参考价值.

English Abstract

  • 近几十年来,分数阶偏微分方程的精确求解及其解法研究,一直是力学、工程技术学、物理学、生命科学和应用数学等领域的工作者致力于研究的最为活跃的前沿课题之一. 由分数阶微分方程建立的数学模型具有自身的独特优点,这些优点是整数阶微分模型无可替代的,而此类分数阶模型往往在信号处理领域[1-3]、系统控制领域[4,5]、物质反常扩散和热传导领域[6-9]乃至黏弹性流体力学[10-13]、生物学[14-16]、磁力学[17-19]以及其它众多学科领域有着广泛的应用. 特别是具有记忆性、反常扩散现象和黏弹性现象的物理问题、化学问题和生物种群问题均可以用分数阶微分方程来建模. 例如:许多自然现象具有记忆性,事物内在的联系和变化不仅依赖于时间的瞬时性,还依赖于以往的时间历程,这些现象均可以用时间分数阶微分模型来加以刻画和描述. 在反应扩散模型中,反常扩散现象也可以用分数阶微分模型来加以刻画和描述,如:岩石工程中的渗流、油藏工程中的采油率、核物质或污染物在地层中的迁移等问题都可以用时间分数阶微分方程来建模. 分数阶水分子向土壤的入渗以及非饱和水在土壤中的运移模型可以用时间-空间分数阶微分模型来刻画和描述. 而在生物医学方面,分数阶微分模型的广泛应用可以促进生物工程师提高生物医学器材的设计与控制等能力;分数阶微分方程也常常被用来模拟癌细胞在人体组织内的扩散过程,或作为建模工具模拟药物在人体中的扩散过程. 综上所述,分数阶微分模型往往在以上提及的众多科学领域中有很好的应用. 然而,相比于整数阶微分方程的精确求解而言,在求分数阶微分方程的精确解时往往比较困难,所以正如文献[20,21]中的所提及的那样,目前大多数工作主要集中在解和正解的存在性研究,与这类研究工作不同的是本文的研究将立足于对分数阶微分方程精确求解以及动力学性质方面的探索与研究.

    像文献[22]那样,本文将利用Laplace变换和Mittag-Leffler函数相结合的方法首先研究下列2个分数阶线性单摆模型方程的精确解及其动力学性质

    $\qquad {\nu _\alpha }\frac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}\phi }}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}} + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \frac{g}{l}\phi = 0,$

    $\qquad {\nu _\alpha }\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \frac{g}{l}\phi = 0,$

    其中 $\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$ 为Caputo型分数阶微分算子,$\alpha $ 为分数阶导数的阶数且 $0 < \alpha < 1,$$\phi $ 表示摆角,$t$ 表示时间,$m$ 表示摆球质量,$l$ 表示摆线长度,$g$ 表示重力加速度,$\mu $ 表示摆线的摩擦系数,${\nu _\alpha } =\dfrac{\rho }{{{\sigma _\alpha }}},\;\;{\sigma _\alpha }$ 表示液体的黏滞系数,$\;\rho $ 为介质密度. 由于在分数阶领域中 $\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) \ne \dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}}}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}},$ 因此,方程(1)和(2)可以看作是2个不同的方程,然而这2个方程都属于单摆在具有黏性特征的复杂介质中的自由振动模型.

    其次,为了与以上2个分数阶单摆模型方程的解及其动力学性质进行比较,我们将用动力系统相图分析法研究以下经典的整数阶非线性单摆模型方程

    $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac{\mu }{m}\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{g}{l}\sin \phi = 0$

    的解及其动力学性质,最后对这些方程的结果进行比较研究,给出相应的研究报告. 事实上,方程(1)和(2)可以看作是经典模型方程(3)在具有黏性特征的复杂介质中的自然推广,即在尺度变换 $\dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}} \to $$ {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$$\;\dfrac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}}}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}}$ 以及近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)就转化成了方程(1).同样在尺度变换 $\dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}} \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$$\dfrac{{{{\rm{d}}^{}}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^{}}}}{{{\rm{d}}t}}} \right) \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right)$ 以及近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)转化成了方程(2). 当摆角 $\phi $ 很小时,在近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)可以用下列线性模型方程来近似替代

    $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac{\mu }{m}\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{g}{l}\phi = 0.$

    显然,当 $\alpha \to 1$ 时,方程(1)和(2)均退化成整数阶线性方程(4). 在非线性动力学理论未完善之前,人们是无法讨论非线性模型方程(3)的解及其动力学性质的. 因此,在长达300多年的微积分历史长河中,早期人们只研究了方程(3)的线性近似模型方程(4)的解及其动力学性质. 随着非线性动力学理论的日趋完善,针对非线性经典模型方程(3)的研究工作越来越多,2006年,潘军廷等在文献[23]中研究了方程(3)的Jacobi椭圆函数解;2010年,邓永菊等在文献[24]中通过计算机仿真研究了方程(3)的运动规律;2017年,在文献[25]中,陈大伟和斯小琴研究了方程(3)的数值解;2018年,刘正成等在文献[26]中通过数值模拟的方式研究了方程(3)的非线性特征. 在这些文献中,大多数研究成果以数值计算和定性分析为主. 本文的工作主要集中在针对分数阶方程(1)和(2)的精确求解研究以及与非线性模型方程(3)的解的动力学性质作比较研究,因此我们的工作将与这些文献中的研究结果大为不同.

    • 下面我们讨论方程(1)的初值问题:

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} {\nu _\alpha }\dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}\phi }}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}} + \dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \dfrac{g}{l}\phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \\ \end{array} \right.$

      其中 ${\theta _0}$ 为单摆的最大偏转角. 将方程(5)两边做Laplace变换得:

      $\qquad {\nu _\alpha }\left[ {{s^{2\alpha }}\Phi (s) - {s^{2\alpha - 1}}\phi (0) - {s^{2\alpha - 2}}\phi '(0)} \right] + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\left[ {{s^\alpha }\Phi (s) - {s^{\alpha - 1}}\phi (0)} \right] + \frac{g}{l}\Phi (s) = 0. $

      由方程(6)和初值条件 $\phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0$ 解得:

      $\qquad \Phi (s) = \dfrac{{{\theta _0}{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{\mu }{m}{s^\alpha } + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}} + \dfrac{{{\theta _0}\dfrac{\mu }{m}{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{\mu }{m}{s^\alpha } + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}}.$

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} > 0$ 时,(7)式可化为:

      $\qquad \Phi (s) = \frac{{{\theta _0}}}{{{\eta _1}}}\left[ {\frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _1}}} - \frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _2}}}} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{m{\eta _1}}}\left[ {\frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _1}}} - \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _2}}}} \right]. $

      其中,${\eta _1} = \sqrt {\dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}}} ,$${\delta _1} = - \dfrac{\mu }{{2m}} + \dfrac{1}{2}{\eta _1},$${\delta _2} = - \dfrac{\mu }{{2m}} - $$ \dfrac{1}{2}{\eta _1}.$${s^{2\alpha - 1}} = {s^{\alpha - (1 - \alpha )}}$,对(8)式施行Laplace逆变换,我们获得方程(5)的一个特解:

      $\qquad \phi (t) = \frac{{{\theta _0}{t^{ - \alpha }}}}{{{\eta _1}}}\left[ {{E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _1}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _2}{t^\alpha })} \right] +\frac{{{\theta _0}\mu }}{{m{\eta _1}}}\left[ {{E_{\alpha ,1}}({\delta _1}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1}}({\delta _2}{t^\alpha })} \right]. $

      (9)式中函数 ${E_{\alpha ,\beta }}(\lambda {t^\alpha }) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(\lambda {t^\alpha })}^k}}}{{\Gamma (\alpha k + \beta )}}} $ 称为双参数Mittag-Leffler函数,是一个特殊的解析函数,以下情形相同,概不赘述.

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} = 0$ 时,(7)式可化为:

      $\qquad\Phi (s) = {\theta _0}\left[ {\dfrac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{{({s^\alpha } + \dfrac{\mu }{{2m}})}^2}}}} \right] + \dfrac{{{\theta _0}\mu }}{m}\left[ {\dfrac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{{({s^\alpha } + \dfrac{\mu }{{2m}})}^2}}}} \right].$

      对(10)式施行Laplace逆变换,我们得到方程(5)的一个特解:

      $\qquad\begin{split} \phi (t) &= {\theta _0}{E'_{\alpha ,1 - \alpha }}\left( { - \frac{\mu }{{2m}}{t^\alpha }} \right) + \frac{{{\theta _0}\mu }}{m}{t^\alpha }{E'_{\alpha ,1}}\left( { - \frac{\mu }{{2m}}{t^\alpha }} \right)=\\ &{\theta _0}\sum\limits_{j = 0}^\infty {{{\left( { - \frac{\mu }{{2m}}} \right)}^j}\frac{{\left( {j + 1} \right){t^{\alpha j}}}}{{\Gamma \left[ {\alpha \left( {j + 1} \right) + \left( {1 - \alpha } \right)} \right]}} + \frac{{{\theta _0}\mu }}{m}} \sum\limits_{j = 0}^\infty {{{\left( { - \frac{\mu }{{2m}}} \right)}^j}\frac{{\left( {j + 1} \right){t^{\alpha (j+1)}}}}{{\Gamma \left[ {\alpha \left( {j + 1} \right)} \right]}}}. \end{split} $

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} < 0$ 时,(7)式可化为:

      $\qquad \Phi (s) = \frac{{{\theta _0}}}{{{\rm{i}}{\eta _2}}}\left[ {\frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _3}}} - \frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _4}}}} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{{\rm{i}}m{\eta _2}}}\left[ {\frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _3}}} - \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _4}}}} \right], $

      其中 ${\eta _2} = \sqrt {\dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} ,$${\delta _3} = - \dfrac{\mu }{{2m}} + \dfrac{{\rm{i}}}{2}{\eta _2},$${\delta _4} = - \dfrac{\mu }{{2m}} - $$ \dfrac{{\rm{i}}}{2}{\eta _2}.$ 对(12)式施行Laplace逆变换,我们得到方程(5)的一个复值解:

      $\qquad \phi (t) = \frac{{{\theta _0}{t^{ - \alpha }}}}{{{\rm{i}}{\eta _2}}}\left[ {{E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _3}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _4}{t^\alpha })} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{{\rm{i}}m{\eta _2}}}\left[ {{E_{\alpha ,1}}({\delta _3}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1}}({\delta _4}{t^\alpha })} \right], $

      根据线性方程解的基本理论,显然解(13)的实部和虚部均为方程(5)的解,实部与虚部之和 $\operatorname{Re} [\phi (t)] + \operatorname{Im} [\phi (t)]$ 也是该方程的解.

      与整数阶模型相类似,当 $\Delta \geqslant 0$ 时,模型为大阻尼情形,单摆都不会来回摆动,即当 $\Delta > 0$ 时单摆不会摆过平衡点,当 $\Delta = 0$ 时,我们其称为临界情形,此时单摆只摆过平衡点一次,这在整数阶模型里面也是这样的,为此我们只讨论 $\Delta < 0$ 时单摆在具有黏性特征的复杂介质中的摆动情况. 为了直观展示分数阶单摆模型方程(5)在具有黏性特征的复杂介质中的运动规律,取固定参数值 ${\theta _0} =\dfrac{\text{π} }{3},\; \mu = 0.1,\;$$\alpha = 0.9,\;m = 5,\;l = 10,$$g = 9.8,v = 10.5,$ 我们绘出解(13)的实部与虚部之和的坐标演化图(图1(a)). 从图1(a)中,可以看出单摆在具有黏性的介质中自由振动时,其摆的振幅会随着时间的增加而减小,最终会回到平衡位置.

      图  1  分数阶自由振动的单摆模型:解(13)和解(15)的动力学演化坐标图

      Figure 1.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (13) and (15)

      如果介质的参数值 ${\nu _\alpha }$ 足够大,而摆线的摩擦系数足够小,那么可以近似地认为 $\;\mu = 0,$ 这种情形被称为无阻尼情形,此时(7)式可简化成

      $\qquad\Phi (s) = {\theta _0}\dfrac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}}.$

      对(14)式施行Laplace逆变换,我们得到方程(5)的一个特解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_{2\alpha ,1}}\left( { - \frac{g}{{{\nu _\alpha }l}}{t^{2\alpha }}} \right).$

      为了直观展示单摆模型方程(5)在具有黏性特征的复杂介质中无阻尼时的运动规律,取固定参数值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π} }{3},\;\alpha = 0.9,\;m = 5,\;l = 2,$$g = 9.8,v = 15,$ 我们绘出了解(15)的坐标演化图形,(图1(b)). 从图1(b)中,可以看出单摆在具有黏性的介质中的自由振动情况,即便忽略摆线的摩擦系数,其摆幅仍然随着时间的增加而减小,最终会回到平衡位置,这一点完全与整数阶模型的运动规律截然不同. 这是因为复杂介质的黏性阻力起到了决定性的作用,摆线的摩擦力只起到次要作用,即便无阻尼,振幅也会衰减.

    • 下面我们讨论方程(2)的初值问题:

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} {\nu _\alpha }\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) + \dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \dfrac{g}{l}\phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \end{array} \right.$

      其中 ${\theta _0}$ 为单摆的最大偏转角. 假设方程(16)具有下列形式的解:

      $\qquad\phi = {E_\alpha }\left( {\lambda {t^\alpha }} \right),$

      其中 $\lambda $ 为待定常数. 将(17)式代入方程(16)中,利用Mittag-Leffler函数的 $\alpha $ 阶导数公式 $D_t^\alpha {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) = $$ \lambda {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha })$ 可得:

      $\qquad{\nu _\alpha }{\lambda ^2}{E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\lambda {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) + \frac{g}{l}{E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) = 0.$

      方程(18)约去Mittag-Leffler函数可得:

      $\qquad{\nu _\alpha }{\lambda ^2} + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\lambda + \frac{g}{l} = 0.$

      方程(19)类似于整数阶线性齐次微分方程的特征方程,当 $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} > 0$ 时,方程(19)有2个不等的实根 ${\lambda _{1,2}} = - \dfrac{\mu }{{2m}} \pm \dfrac{1}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l}} $,此时方程(19)在初值条件下有下列形式的精确解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_\alpha }\left[ {\left( { - \frac{\mu }{{2m}} + \frac{1}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {{{\left( {\frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2} - \frac{{4{\nu _\alpha }g}}{l}} } \right){t^\alpha }} \right].$

      $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} = 0$ 时,即 $\;\mu = \dfrac{{2m}}{{{\nu _\alpha }}}\sqrt {\dfrac{{{\nu _\alpha }g}}{l}} $ 时,方程(19)有2个相等的实根 $\lambda = - \sqrt {\dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}} ,$ 此时方程(19)在初值条件下有下列形式的精确解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_\alpha }\left( { - \sqrt {\frac{g}{{{\nu _\alpha }l}}} \;{t^\alpha }} \right).$

      $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} < 0$ 时,方程(19)有2个复根 ${\lambda _{1,2}} = - \dfrac{\mu }{{2m}} \pm \dfrac{{\rm{i}}}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {\dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} - {{\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2}} ,$ 此时方程(19)在初值条件下有下列形式的解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_{\alpha ,1}}\left[ {\left( { - \frac{\mu }{{2m}} + \frac{{\rm{i}}}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {\frac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} - {{\left( {\frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2}} } \right){t^\alpha }} \right].$

      为了直观展示有阻尼单摆模型方程(16)的运动规律和动力学性质,我们以解(21)和(22)为例,分别绘出它们的坐标图形. 取固定参数值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{3}, $$\;\alpha = 0.75,\;{\nu _\alpha } = 5,\;l = 10,\;g = 9.8,$ 我们绘出了解(21)的坐标演化图形(图2(a)). 类似地,如果取固定参数值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{3},\;\mu = 0.3,\;\alpha = 0.75,\;{\nu _\alpha } = 5,\;m = 20,\;l = 10,\; $$g = 9.8,$ 我们利用解(22)的实部与虚部的和绘出了坐标演化图形(图2(b)).

      图  2  分数阶自由振动的单摆模型:解(21)和解(22)的动力学演化坐标图

      Figure 2.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (21) and (22)

    • 下面我们讨论方程(3)的初值问题:

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \dfrac{\mu }{m}\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \dfrac{g}{l}\sin \phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \\ \end{array} \right.$

      其中 ${\theta _0}$ 为单摆的最大偏转角. 令 $\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y,$ 则方程(23)化为

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y, \\ \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{g}{l}\sin \phi - \dfrac{\mu }{m}y. \\ \end{array} \right.$

      若摆线的摩擦系数 $\;\mu = 0$,则方程(24)可约化为:

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y, \\ \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{g}{l}\sin \phi . \\ \end{array} \right.$

      由此我们可以得到方程(25)的首次积分如下:

      $\qquad\frac{1}{2}{y^2} = \frac{g}{l}\cos \phi + h.$

      其中 $h$ 是一个积分常数. 为了便于下文讨论,我们将方程(26)改写为:

      $\qquad H(\phi ,y) \equiv \frac{1}{2}{y^2} - \frac{g}{l}\cos \phi = h.$

      $P(\phi ,y) = y$$Q(\phi ,y) = - \dfrac{g}{l}\sin \phi .$ 为了方便讨论我们把方程(25)的雅克比矩阵和雅克比行列式写成:

      $\qquad M(\phi ,y) = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial P(\phi ,y)}}{{\partial \phi }}}&{\dfrac{{\partial P(\phi ,y)}}{{\partial y}}} \\ {\dfrac{{\partial Q(\phi ,y)}}{{\partial \phi }}}&{\dfrac{{\partial Q(\phi ,y)}}{{\partial y}}} \end{array}} \!\!\!\right] = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - \dfrac{g}{l}\cos \phi }&0 \end{array}}\!\!\! \right],$

      $\qquad J(\phi ,y) \equiv \det M(\phi ,y) = \frac{g}{l}\cos \phi .$

      由方程(25)和(27)可知,方程(25)是Hamilton系统. 方程(25)有无穷多个平衡点,在这里我们只讨论其中的3个平衡点:$A(0,0)$$B( -\text{π} ,0)$$C(\text{π},0)$ 分别将以上3个平衡点代入方程(27)和(29)式可得:

      $\qquad {h_1} = H(0,0) = - \frac{g}{l},\;{h_2} = {h_3} = H( - \text{π} ,0) = H(\text{π} ,0) = \frac{g}{l},$

      $\qquad J(0,0) = \frac{g}{l},\;J( - \pi ,0) = - \frac{g}{l}.$

      从平面动力系统理论可知,平面相图中轨道的走向和分布取决于方程(25)的平衡点的特征和位置. 平面相图中轨道的走向和分布决定了方程(25)解的类型和动力学行为. 接下来,我们将给出平面方程(25)的相图分支. 基于(28)式和(29)式以及平面动力系统理论,我们很容易知道 $A(0,0)$ 是一个中心点,$B( -\text{π} ,0)$$C(\text{π} ,0)$ 是2个鞍点. 通过分析3个平衡点的特征与位置关系,利用Maple软件,我们绘出了方程(25)的相图(图3(a)). 通过数值模拟的方式,取 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{4},\phi (0) = 0$ 为初值,我们绘出了与某个蓝色闭轨道相对应的波形图(图3(b)). 值得注意的是现实中的单摆的最大摆角不超过 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2},$ 即不超过图3(a)中的2条绿色竖线之间.

      图  3  整数阶自由振动的非线性单摆模型的相图和波形图

      Figure 3.  Phase portraits and wave-form graph of nonlinear pendulum model of integer-order free vibration

      图3(a)中看出,在不考虑摆线摩擦的情况下,单摆运动的相轨道为一对称的椭圆形闭轨,表明单摆作周期性的振动. 在理论上,相图的平衡点是 $( -\text{π} ,0)$$(\text{π} ,0)$,但在实际情况中自由摆角的最大幅度不会超过 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2},$ 若超过 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2}$,单摆将不会作周期运动,故在图3(a)中的有效轨道应为介于区间 $\left[ { - \dfrac{\text{π} }{2},\dfrac{\text{π} }{2}} \right]$,即图中标记为蓝色的轨道. 为了研究方程(25)解的性质,我们将对部分轨道进行求解. 由初值条件 $\phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0$ 知,通过方程(26),我们可以得到:

      $\qquad h = - \frac{g}{l}\cos {\theta _0}.$

      将(32)式代入方程(27),解得:

      $\qquad y = \pm \sqrt {\frac{{2g}}{l}(\cos \phi - \cos {\theta _0})} .$

      在第一摆的情况下,$\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} < 0,$ 故由 $\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y$ 可得:

      $\qquad \begin{split} \int\nolimits_{{\theta _0}}^\phi {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} = - \sqrt {\frac{{2g}}{l}} \int\limits_0^t {{\rm{d}}t} . \end{split} $

      $\qquad \int\nolimits_0^\phi {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} = \int\limits_0^{{\theta _0}} {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} - \sqrt {\frac{{2g}}{l}} \;t.$

      方程(35)中的积分不能用初等函数表示,因此我们无法通过(35)来获得方程(23)的精确解析解. 但我们可以利用方程(25)来进行波形的数值模拟,在 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π} }{4},\phi (0) = 0$ 的初值条件下,其单摆的振动形成的波形图像(图3(b)). 从图3(b)可以看出,无阻尼的非线性摆动是一种周期的简谐振动,这与前面提到的无阻尼分数阶系统完全不同.

      若摆线摩擦系数 $\mu \ne 0$,我们可以通过Maple软件绘出有阻尼的单摆自由振动时的相图以及与之对应的波形图(图4(a)图4(b)).

      图  4  不同初值条件下有阻尼的单摆模型的相图

      Figure 4.  Phase portrait of a pendulum model with damping under different initial conditions

      从相图(即图4)中的轨道的运行情况可以看出,有阻尼自由振动的单摆模型的相图轨迹是一个不封闭的曲线,它的相轨道呈螺旋状,按顺时针方向做螺旋递进运动,最后趋于稳定的平衡位置,这个平衡位置就是方程(25)的稳定焦点. 又从数值模拟的波形图(即图5)来看,有阻尼的单摆在自由振动时,振动幅度会随着时间的增加而减小,即单摆从最大偏转角开始摆动一段时间后就静止下来了. 从而我们可以得出这样的结论:有阻尼的单摆运动,即便是在理想状态下也不会出现周期运动.

      图  5  不同初值条件下有阻尼的单摆模型的波形图

      Figure 5.  Graphs of waveform of the pendulum model with damping under different initial conditions

      显然,整数阶线性模型方程(4)的通解有3种:

      $\qquad \begin{split} \phi (t) =& {c_1}{{\rm{e}}^{\left( { - \frac{\mu }{{2m}} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \frac{{4g}}{l}} } \right)t}} + {c_2}{{\rm{e}}^{\left( { - \frac{\mu }{{2m}} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} + \frac{{4g}}{l}} } \right)t}},\\ \phi (t) =& \left( {{c_1} + {c_2}t} \right){{\rm{e}}^{ - \;\frac{\mu }{{2m}}t}},\\ \phi (t) =& {{\rm{e}}^{ - \;\frac{\mu }{{2m}}t}}\left[ {{c_1}\cos \left( {\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{4g}}{l} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} \;t} \!\right) + {c_1}\cos \left(\! {\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{4g}}{l} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} \;t}\! \right)} \right]. \end{split} $

      但是,无论分数阶线性模型方程(1)和(2)的阶数 $\alpha $ 怎么地趋近于 $1,$ 它们的精确解也无法退化到上述3种精确解的形式,这就是分数阶系统与整数阶系统的最大区别.

    • 通过对分数阶和整数阶2类自由振动的单摆模型方程的对比研究,我们发现,在无阻尼的理想状态下,整数阶单摆模型的振动是周期的简谐振动,而分数阶单摆模型的振动是非周期的衰减振动. 因此,我们得出一个结论:有阻尼的整数阶单摆模型的振动,往往受制于摆线的摩擦力,而在分数阶单摆模型的振动中,受制约因素有2种,一种是黏滞阻力,另一种才是摆线的摩擦力,然而起主要制约因素的却是黏滞阻力,而摆线的摩擦力的制约能力反而较小. 还有,分数阶和整数阶这2类自由振动的单摆模型方程解的区别也比较大,无论分数阶模型的阶数 $\alpha $ 怎样接近于 $1,$ 其解也不会趋近于整数阶模型的解,其数学模型当阶数 $\alpha \to 1$ 时,分数阶时间模型方程(1)和(2)可以退化到整数阶模型方程(4),但他们的解却无法退化到方程(4)的精确解形式,这也是分数阶模型与整数阶模型的最大区别. 另外,在分数阶系统中,$\alpha $ 越小以及黏滞系数 ${\sigma _\alpha }$ 越小,摆动次数越少,摆动幅度也越小;$\alpha $ 越大以及黏滞系数 ${\sigma _\alpha }$ 越大,摆动次数越多,摆动幅度也越大,但无论阶数 $\alpha $ 多么地接近于 $1,$ 黏滞系数 ${\sigma _\alpha }$ 多么地接近于 $0,$ 摆动次数都是有限的,不会像无阻尼的整数阶系统那样无限次的摆动下去,摆动幅度也不会恒定.

      从分数阶模型获得的这些理论,有助于海洋中一些设备的减震设计,从“$\alpha $ 越小以及黏滞系数 ${\sigma _\alpha }$ 越小,单摆的摆动次数越少,摆动幅度也越小”这个结论中,人们能够得到启发,在减震设计中可以限制类似于 $\alpha $${\sigma _\alpha }$ 的参数来达到相应的减震需求.

参考文献 (26)

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