用最新的观测数据限制距离对偶关系

陈骏

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用最新的观测数据限制距离对偶关系

    通讯作者: 陈骏, 79892345@qq.com
  • 中图分类号: O412.1

On testing the distance duality relation with the latest

    Corresponding author: CHEN Jun, 79892345@qq.com
  • CLC number: O412.1

  • 摘要: 用模型无关的方法,选取最新的哈勃参数数据和Union 2.1超新星数据共同限制了距离对偶关系,发现3种参数化因子的最佳拟合值都不为0,但是在1σ置信区间内还是支持距离对偶关系的. 然后边缘化了观测限制时超新星数据中哈勃常数取值的影响,限制结果表明,在1σ置信区间内,距离对偶关系与观测数据是吻合的.
  • 图 1  不考虑和考虑超新星数据系统误差时似然概率曲线

    Figure 1.  The likelihood functions without and with systematic errors

    图 2  不考虑和考虑超新星数据系统误差时圈图

    Figure 2.  The contour plots without and with systematic errors

    图 3  边缘化h之后的似然概率曲线

    Figure 3.  The likelihood functions with a marginalization over h

    表 1  哈勃参数数据

    Table 1.  Hubble parameter data

    zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $
    073.241.740.076919.60.0969120.16912
    0.1268.626.20.178380.17917540.1993755
    0.272.929.60.2479.692.650.2777140.2888.836.6
    0.381.76.220.3178.174.740.3279.25.60.3483.803.36
    0.3582.78.40.351983140.3679.933.390.3881.51.9
    0.38028313.50.495170.40047710.20.424787.111.2
    0.4386.453.680.4482.67.80.449792.812.90.478934
    0.478380.990.4897600.5190.41.90.5294.352.65
    0.5693.332.320.5792.97.80.5998.483.190.592910412.4
    0.687.96.10.6197.32.10.6498.822.990.6797927.7
    0.7397.370.781210511.20.875412516.40.889040
    0.9117231.03715420.21.3168171.36316033.6
    1.43177181.53140141.75202401.965186.550.4
    2.322482.3322482.3422272.362268
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-20
  • 录用日期:  2021-07-12
  • 网络出版日期:  2021-07-29
  • 刊出日期:  2021-11-15

用最新的观测数据限制距离对偶关系

    通讯作者: 陈骏, 79892345@qq.com
  • 1. 怀化学院 机械与光电物理学院,湖南 怀化 418000
  • 2. 凯里学院 理学院,贵州 凯里 556011

摘要: 用模型无关的方法,选取最新的哈勃参数数据和Union 2.1超新星数据共同限制了距离对偶关系,发现3种参数化因子的最佳拟合值都不为0,但是在1σ置信区间内还是支持距离对偶关系的. 然后边缘化了观测限制时超新星数据中哈勃常数取值的影响,限制结果表明,在1σ置信区间内,距离对偶关系与观测数据是吻合的.

English Abstract

  • 在现代宇宙学中,有一个非常重要的关系,也就是发光距离与角直径距离之间的距离对偶关系,它是Etherington在1933年建立的[1], 即:

    $ \qquad {d_{\rm{L}}}{\left( {1 + z} \right)^{ - 2}}{d_{\rm{A}}}^{ - 1} = 1, $

    式中dL是发光距离,dA是角直径距离,$z$ 是红移. 这个式子有2个前提条件:①光在满足黎曼几何的时空中沿零测地线运动;②光子数是恒定的. 违背第1个条件可以用来研究新的物理[2-3],而违背第2个条件则可以用来限制宇宙透明度[4-5]. 因为这一关系与物质和爱因斯坦场方程无关,而发光距离与角直径距离又是天文观测中非常重要的尺度,很多宇宙学问题都是用这些观测数据研究的[6-13],所以距离对偶关系在天文观测和现代宇宙学中有着特别重要的地位和作用. 因此,用天文观测检验这一关系是必要的,也是有意义的.

    要限制距离对偶关系需要确定相同红移处的发光距离和角直径距离,而观测在某一红移处有角直径距离数据,却不一定有相应的发光距离数据,因此早期限制距离对偶关系大多是基于标准宇宙学模型进行的. 比如Uzan等[14]就这样限制了这一关系,发现距离对偶关系在 $1\sigma $ 置信区间与观测数据是吻合的. 随着观测数据越来越多,人们又开始采用模型无关的方法来限制距离对偶关系. 例如李正祥等[15]用Union2的超新星数据和星系团数据共同限制了这一关系,发现这一关系在 $3\sigma $ 置信区间与观测数据是吻合的. 付响云等[16]也限制了这一关系,发现这一关系对于椭球模型和球模型分别在 $1\sigma $$2\sigma $ 置信区间与观测数据是吻合的.

    近来,距离对偶关系被不同的研究者采取不同的方法和数据限制了[17-18]. 最近,吴普训等[19]用Union2.1超新星数据和重子声学振荡数据限制了这一关系,发现没有边缘化约化哈勃常数取值的影响之前这一关系在 $2\sigma $ 置信区间与观测数据是吻合的,而边缘化约化哈勃常数取值的影响之后这一关系在 $1\sigma $ 置信区间与观测数据也是吻合的. 只是当时由于观测条件的限制,吴普训等只挑选到5个重子声学振荡数据点,与利用 ${\;\chi ^2}$ 分析问题需要40个以上数据点的标准还有一定的差距. 为此笔者查找了相关文献,一共找到了如表1所列的56个哈勃参数数据点[20-38],哈勃参数的单位是km·S−1·Mpc−1. 其中45个数据点有对应红移处的超新星观测数据,是文献[19]中数据的9倍. 同时,我们在2017年限制宇宙透明度时[5],当时只有29个数据点,且没有用积分边缘化约化哈勃常数取值的影响. 因此,笔者拟用这些数据限制距离对偶关系,同时对边缘化约化哈勃常数取值前后结果进行对比,因所选用的数据更多且更精确,所以限制结果会更加准确、可信度也会提高.

    zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $zH(z)$1\sigma $
    073.241.740.076919.60.0969120.16912
    0.1268.626.20.178380.17917540.1993755
    0.272.929.60.2479.692.650.2777140.2888.836.6
    0.381.76.220.3178.174.740.3279.25.60.3483.803.36
    0.3582.78.40.351983140.3679.933.390.3881.51.9
    0.38028313.50.495170.40047710.20.424787.111.2
    0.4386.453.680.4482.67.80.449792.812.90.478934
    0.478380.990.4897600.5190.41.90.5294.352.65
    0.5693.332.320.5792.97.80.5998.483.190.592910412.4
    0.687.96.10.6197.32.10.6498.822.990.6797927.7
    0.7397.370.781210511.20.875412516.40.889040
    0.9117231.03715420.21.3168171.36316033.6
    1.43177181.53140141.75202401.965186.550.4
    2.322482.3322482.3422272.362268

    表 1  哈勃参数数据

    Table 1.  Hubble parameter data

    • 为了模型无关地限制距离对偶关系,考虑以下几种参数化形式:

      $ \qquad {d_{\rm{L}}}{\left( {1 + z} \right)^{ - 2}}{d_{\rm{A}}}^{ - 1} = 1 + {\eta _1}, $

      $ \qquad {d_{\rm{L}}}{\left( {1 + z} \right)^{ - 2}}{d_{\rm{A}}}^{ - 1} = 1 + {\eta _2}z, $

      $ \qquad {d_{\rm{L}}}{\left( {1 + z} \right)^{ - 2}}{d_{\rm{A}}}^{ - 1} = 1 + \frac{{{\eta _3}z}}{{1 + z}}, $

      这里 ${\eta _1}$${\eta _2}$${\eta _3}$ 是常数. 如果距离对偶关系与观测数据是吻合的,那么 ${\eta _j}$(j=1,2,3)等于0. 通过计算(5)式的最小值确定距离对偶关系与观测数据是否吻合:

      $ \qquad {\chi ^2}({\eta _j}) = \sum\limits_i {\frac{{{{[{\eta _j}(z) - {\eta _{i,o}}(z)]}^2}}}{{\sigma {_{i,o}}^2}}} ,$

      式中,${\eta _{i,o}}(z)$ 从观测数据中选取,${\sigma _{i,o}}$ 是相应的误差. 参数 ${\eta _j}$ 的概率分布是这样计算的,$P = A\exp ( - {\chi ^2}({\eta _j})/2)$,其中 $A$ 为归一化因子. 由 ${\;\chi ^2}({\eta _j})$ 的最小值确定相应的最佳拟合值.

      因哈勃参数数据的观测值与光子数是否守恒和宇宙学模型无关,所以可以用来确定角直径距离的观测值. 哈勃参数数据只给出了膨胀速率,由(6)式计算相应的共动距离[39]

      $ \qquad {D_c}(z) = c\int_0^z {\frac{{{\rm{d}}z'}}{{H(z')}}} \approx \frac{c}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {({z_{i + 1}} - {z_i})\left[\frac{1}{{H({z_{i + 1}})}} + \frac{1}{{H({z_i})}}\right]} .$

      式中 $H({z_i})$ 表示第 $i$ 个哈勃参数数据. 第 $i$ 项的误差为

      $ \qquad {s_i} = \frac{c}{2}({z_{i + 1}} - {z_i})\sqrt {\sigma _{{H_{i + 1}}}^2H_{i + 1}^{ - 4} + \sigma _{{H_i}}^2H_i^{ - 4}} .$

      由误差传递规律可以得到红移 $0\sim{z_n}$ 区间的总误差为所有误差之和 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{s_i}} $.

      Ia型超新星数据从Union2.1[40]的数据库中选取. 由于超新星的观测数据给出的是距离模量,用下式确定其发光距离

      $ \qquad \mu = 5\log {d_{\rm{L}}} + 25. $

      因为在Union2.1数据库中不一定有与哈勃参数数据点红移完全相同的数据点,因此选红移范围小于等于0.005以内的所有数据求并确定与之相对应的发光距离. 求并的计算过程如(9)式:

      $ \qquad d_{\rm{L}}^{{\rm{bin}}} = \dfrac{{\displaystyle\sum {_i{d_{{{\rm{L}}_i}}}{{(\sigma _{{\rm{st}}i}^2 + \sigma _{{\rm{sy}}i}^2)}^{ - 1}}} }}{{\displaystyle\sum {_i{{(\sigma _{{\rm{st}}i}^2 + \sigma _{{\rm{sy}}i}^2)}^{ - 1}}} }},$

      其中 $\sigma _{d{_{\rm{L}}}^{{\rm{bin}}}}^2$

      $ \qquad \sigma _{d{_{\rm{L}}}^{{\rm{bin}}}}^2 = \frac{1}{{\displaystyle\sum {_i{{(\sigma _{{\rm{st}}i}^2 + \sigma _{{\rm{sy}}i}^2)}^{ - 1}}} }},$

      式中,$\sigma $sti是第 $i$ 个数据点的统计误差,$\sigma $syi是第 $i$ 个数据点的系统误差. 这样在红移大于1时,除了红移1.3外,仍然没有与之对应的数据点,合计只有45个数据点. 把这些观测数据代入(5)式就可以得到 ${\eta _j}$ 的最佳拟合值.

      由于在确定超新星数据的距离模量时引入了量纲为1的约化哈勃常数 $h = 0.7$ ($h = {H_0}/100$),很显然这样会给对距离对偶关系的限制带来一定的影响,为了分析它对限制结果的影响,把它当作自由参数处理,即 ${d_{\rm{L}}} = 0.7 \times {10^{0.2\mu - 5}}/h$,这样可以画出 $h - {\eta _j}$ 的圈图. 之后,把 $h$ 的影响边缘化,具体方法是计算其似然概率 $P({\eta _j}) = \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\exp ( - 0.5{{(h - {h_{{\rm{obs}}}})}^2}\sigma _{{\rm{hobs}}}^{ - 2})P({\eta _j},h){\rm{d}}h} $,积分时hobs选WMAP9的观测结果[41-42],也就是 ${H_0} = (70 \pm $2.2) km·S−1·Mpc−1.

    • 用观测数据限制 ${\eta _j}$ 的最佳拟合值和 $1\sigma $ 的置信区间为:${\eta _{1,{\rm{st}}}} = - {\rm{0}}{\rm{.011}} \pm 0.022$${\eta _{2,{\rm{st}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.016}} \pm 0.043$${\eta _{3,{\rm{st}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.029}} \pm 0.071$,这里脚标表示不包含超新星数据系统误差;${\eta _{1,{\rm{sy}}}} = - {\rm{0}}{\rm{.005}} \pm 0.028$${\eta _{2,{\rm{sy}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.009}} \pm $$ 0.060$${\eta _{3,{\rm{sy}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.016}} \pm 0.094$,这里脚标表示包含超新星数据系统误差. 相应的似然概率曲线如图1所示. 限制结果表明 ${\eta _j}$ 虽稍微偏离了0点,但在 $1\sigma $ 的置信区间内与观测数据吻合得很好.

      图  1  不考虑和考虑超新星数据系统误差时似然概率曲线

      Figure 1.  The likelihood functions without and with systematic errors

      $h$ 当作自由参数之后,限制的结果是:(${\eta _{2,{\rm{st}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.006}}$$h = 0.696$),(${\eta _{3,{\rm{st}}}} = {\rm{ }} - {\rm{0}}{\rm{.038}}$$h = {\rm{ 0}}{\rm{.702}}$),(${\eta _{2,{\rm{sy}}}} = {\rm{ }} $$ - {\rm{0}}{\rm{.017}}$$h = 0.703$)和(${\eta _{3,{\rm{sy}}}} = - {\rm{0}}{\rm{.048}}$$h = 0.707$). 相应的 $h - {\eta _j}$ 圈图如图2所示.

      图  2  不考虑和考虑超新星数据系统误差时圈图

      Figure 2.  The contour plots without and with systematic errors

      限制结果表明 ${\eta _2}$${\eta _3}$ 虽稍微偏离了0点,但无论考虑超新星的系统误差与否,距离对偶关系在 $1\sigma $ 的置信区间内也与观测数据吻合得很好.

      在边缘化约化哈勃常数之后,限制的结果是这样的:${\eta _{2,{\rm{st}}}} = - 0.014_{ - 0.062}^{ + 0.063}$${\eta _{2,{\rm{sy}}}} = {\rm{ }} - 0.012_{ - 0.080}^{ + 0.081}$${\eta _{3,{\rm{st}}}} = - 0.033_{ - 0.109}^{ + 0.111}$${\eta _{3,{\rm{sy}}}} =- 0.022_{ - 0.131}^{ + 0.133}$. 相应的似然概率曲线如图3所示. 限制的结果清楚地表明距离对偶关系与所选用的观测数据只是稍微有点偏离,还是吻合得很好的.

      图  3  边缘化h之后的似然概率曲线

      Figure 3.  The likelihood functions with a marginalization over h

    • 最近,吴普训等用重子声学振荡数据和Ia型超新星数据共同限制了距离对偶关系,发现只考虑超新星数据的统计误差时,距离对偶关系与观测数据在 $1\sigma $ 置信区间是不吻合的,只是在 $2\sigma $ 置信区间才是吻合的. 在边缘化约化哈勃常数之后,无论计算还是不计算超新星数据的系统误差,距离对偶关系与观测数据在 $1\sigma $ 置信区间就是吻合的. 笔者在用最新的哈勃参数数据和Union2.1的超新星数据共计45个数据点,采用模型无关的方法限制距离对偶关系时发现,无论计算还是不计算超新星数据的系统误差,3种参数化因子的最佳拟合值只是稍微有点偏离0点,距离对偶关系与观测数据在 $1\sigma $ 置信区间吻合得很好. 随后,把约化哈勃常数当作自由参数来处理,从限制的 $h - {\eta _2}$$h - {\eta _3}$ 的圈图中可以看出距离对偶关系与观测数据只有很微小的偏离. 最后,用积分的办法把约化哈勃常数的影响边缘化,限制结果表明距离对偶关系与观测数据也没有明显的偏离. 由此可见,距离对偶关系与所选的观测数据是吻合的,并且与 ${\eta _j}$ 的参数化形式无关,所以距离对偶关系是研究宇宙学很多问题的强有力的工具.

参考文献 (42)

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