时间尺度上二阶Lagrange系统Mei 对称性及守恒量

赵淑琼 朱建青

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时间尺度上二阶Lagrange系统Mei 对称性及守恒量

    作者简介: 赵淑琼(1997−),女,山东人,硕士生,主要研究工程中的数学技术. E-mail:981489540@qq.com;
    通讯作者: 朱建青, zjq@mail.usts.edu.cn
  • 中图分类号: O316

On Mei symmetry and conserved quantity of second-order Lagrange systems on time scales

    Corresponding author: ZHU Jian-qing, zjq@mail.usts.edu.cn
  • CLC number: O316

  • 摘要: 研究时间尺度上二阶Lagrange系统的Mei对称性及守恒量. 以时间尺度上二阶Lagrange系统的运动方程为基础,给出系统中的Lagrange方程在无限小变换下的Mei对称性及判定方程,并建立Mei对称性导致守恒量条件,最后举例说明结果的应用.
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-08-24
  • 录用日期:  2021-07-25
  • 网络出版日期:  2021-09-09

时间尺度上二阶Lagrange系统Mei 对称性及守恒量

    作者简介:赵淑琼(1997−),女,山东人,硕士生,主要研究工程中的数学技术. E-mail:981489540@qq.com
    通讯作者: 朱建青, zjq@mail.usts.edu.cn
  • 苏州科技大学 数学科学学院,江苏 苏州 215009

摘要: 研究时间尺度上二阶Lagrange系统的Mei对称性及守恒量. 以时间尺度上二阶Lagrange系统的运动方程为基础,给出系统中的Lagrange方程在无限小变换下的Mei对称性及判定方程,并建立Mei对称性导致守恒量条件,最后举例说明结果的应用.

English Abstract

  • 1988年,Hilger[1]将离散和连续系统相统一提出了时间尺度理论. 对于一些较为复杂的动力学问题,由时间尺度理论建立相应的数学模型予以解决[2-4]. 在时间尺度变分问题方面也有了一定进展. 2004年,时间尺度变分问题及时间尺度上Euler-Lagrange方程由Bohner[5]所提出. 随后,Ferreira[6]将其推广到时间尺度上高阶变分问题并建立了相应的高阶Lagrange方程. 2013年,Cai等[7]研究了时间尺度上非保守和非完整系统的Noether对称性. Song等[8-9]研究了时间尺度上Birkhoff系统的Noether对称性以及非迁移Birkhoff系统的Noether对称性,分别推导出相应Birkhoff方程,进一步得到守恒量. 张毅[10]研究了时间尺度上Hamilton系统Noether对称性. 2019年,季晓慧等[11]得到了时间尺度上弱非完整系统Noether对称性及守恒量. 2020年,彭姣等[12]基于微分方程在无限小变换下不变性原理得到了时间尺度上相空间中非完整系统相对运动动力学的Lie对称性.

    1848—1858年间,含有广义坐标对时间作高阶导数运算的Lagrange函数所构成的广义经典力系统是由Ostrogradsky和Jacobi所提出. 1987年,中国在梅凤翔指导下开展了广义经典力学研究. 自提出以来到21世纪初,它在理论研究[13-14]、物理学场论中带有二阶导数的电磁理论[15]以及数学[16]方面微积分几何学中的应用引起广泛的研究热潮. 2000年,由Mei[17]提出了系统中动力学函数在无限小变换下仍满足原方程的一种不变性叫作形式不变性,也称之为Mei对称性. 在广义经典力学系统中,国内学者已经在Mei对称性方面有了一定研究成果,2003年,乔永芬等[18]给出了广义经典力学中Lagrang方程的Mei对称性. 同年,Zhang[19]给出了广义经典力学系统正则方程的Mei对称性, 乔永芬等[20]将其推广到广义经典力学中完整非保守系统中. 关于时间尺度上Mei对称性研究方面也取得了一定进展,例如2017年,时间尺度上Delta导数下Lagrange系统的Mei对称性由孔楠等[21]给出,2018年,孙晨等[22]得到了时间尺度上Delta导数下Hamilton系统Mei对称性, 2020年,Zhai[23]研究了时间尺度上Birkhoff系统下的Mei对称性及守恒量及正则方程的Mei对称性, 目前关于时间尺度上高阶Lagrange函数的动力学系统对称性与守恒量方面的研究是一个较为新颖的课题,研究甚少. 因此本文以时间尺度上二阶Lagrange系统Mei对称性定义及判据为基础,系统Mei对称性导致守恒量的条件被建立,文末举例说明结果的应用.

    • 设系统的位形由 $ n $ 个广义坐标 ${q_s}$$ \left( {s = 1,2,...,n} \right) $ 来表示,那么该系统Lagrange量

      $ \qquad \begin{split} &L = \left( {t,{q_s}^{{\sigma ^2}}(t),{q_s}^{\sigma \Delta }(t),{q_s}^{{\Delta ^2}}(t)} \right).\\ &I\left[ {{q}_{s}}(\centerdot ) \right]=\int_{{{t}_{0}}}^{{{t}_{1}}}{L\left( t,{{q}_{s}}^{{{\sigma }^{2}}}(t),{{q}_{s}}^{\sigma \Delta }(t),{{q}_{s}}^{{{\Delta }^{2}}}(t) \right)}\Delta t, \end{split} $

      式(1)为时间尺度上Hamilton作用量,其中 $ {q_s}^{{\sigma ^2}}(t) = ({q_s} \circ \sigma \circ \sigma )(t)$$ {q_s}^{\sigma \Delta }(t) = (1 + {\mu ^\Delta }(t)){q_s}^{\Delta \sigma }(t)$$ {q_s}^{{\Delta ^2}}(t) $ 为二阶 $ {\rm{delta}} $ 导数,$ t \in T $$ L:{{\rm{R}}} \times {{{\rm{R}}} ^{\rm{n}}} \times {{{\rm{R}}} ^{\rm{n}}} \times {{{\rm{R}}} ^{\rm{n}}} \to {{\rm{R}}} $ 对其中各个元素都是 $ {C^2} $ 的.

      根据文献[6],可以得到时间尺度上二阶Lagrange系统运动方程

      $ \qquad \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}} - \frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} + \frac{1}{{(1 + {\mu ^\Delta }(t))}}\frac{{{\Delta ^2}}}{{\Delta {t^2}}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}} = 0. $

    • 引入无限小变换群

      $ \qquad \begin{split} &{t^ * } = t + \varepsilon {\xi _0}(t,{{\boldsymbol{q}}^{{\sigma ^2}}},{{\boldsymbol{q}}^{\sigma \Delta }},{{\boldsymbol{q}}^{{\Delta ^2}}}) + o(\varepsilon ),\\ &{q_s}^ * = {q_s} + \varepsilon {\xi _s}(t,{{\boldsymbol{q}}^{{\sigma ^2}}},{{\boldsymbol{q}}^{\sigma \Delta }},{{\boldsymbol{q}}^{{\Delta ^2}}}) + o(\varepsilon ), \end{split} $

      式中 $ \varepsilon $ 表示无限小参数,$ {\xi }_{0}$$ {\xi _s} $ 为无限小单参数群变换生成元.

      在无限小变换下,$ L = L\left( {t,{q_s}^{{\sigma ^2}}(t),{q_s}^{\sigma \Delta }(t),{q_s}^{{\Delta ^2}}(t)} \right) $ 变成

      $ \qquad {L^ * }{\text{ = }}L\left( {{t^ * },{q_s}^{{ * ^{{{({\sigma ^2})}^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{^{{{(\sigma \Delta )}^ * }}}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{{{({\Delta ^2})}^ * }}}}({t^ * })} \right), $

      类似于文献[17]中的定义,时间尺度上二阶Lagrange系统Mei对称性定义如下:

      定义 1 在无限小变换(3)式下,若时间尺度上二阶Lagrange系统中的动力学函数 $ {L^ * } $

      仍满足方程(2),即存在

      $ \qquad \frac{\partial {L}^{\ast }}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}}-\frac{\Delta }{\Delta t}\frac{\partial {L}^{\ast }}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}+\frac{1}{(1+{\mu }^{\Delta }(t))}\frac{{\Delta }^{2}}{\Delta {t}^{2}}\frac{\partial {L}^{\ast }}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}=0, $

      那么称这种对称性为该系统的Mei对称性.

      根据时间尺度上Taylor公式,对 $ {L^ * } $ 进行展开有

      $ \qquad \begin{split} {L^ * }=&L\left( {{t^ * },{q_s}^{{ * ^{{{({\sigma ^2})}^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{^{(\sigma \Delta }{)^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{{{({\Delta ^2})}^ * }}}}({t^ * })} \right){\text{ = }} \\ & L\left( {t,{q_s}^{{\sigma ^2}}(t),{q_s}^{\sigma \Delta }(t),{q_s}^{{\Delta ^2}}(t)} \right){\text{ + }}\frac{{\partial L}}{{\partial t}}(\tilde \Delta t){\text{ + }}\\ &\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}(\tilde \Delta {q_s}^{{\sigma ^2}}) + \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}}(\tilde \Delta {q_s}^{\sigma \Delta }) + \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}(\tilde \Delta {q_s}^{{\Delta ^2}}){\text{ + o(}}{\varepsilon ^2}{\text{)}}. \end{split} $

      依据 $ \delta {q_s} = \tilde \Delta {q_s} - {q_s}^\Delta \tilde \Delta t $ 可以得到

      $ \qquad \tilde \Delta t{\text{ = }}\varepsilon {\xi _0},\;\;\tilde \Delta {q_s}^{{\sigma ^2}}{\text{ = }}\varepsilon {\xi _s}^{{\sigma ^2}}. $

      $ \qquad \begin{split} \tilde \Delta {q_s}^{\sigma \Delta }=&\delta {q_s}^{\sigma \Delta }{\text{ + }}{q_s}^{\Delta \sigma \Delta }\tilde \Delta t{\text{ = }}\varepsilon \frac{\Delta }{{\Delta t}}({\xi _s}^\sigma - {q_s}^{\Delta \sigma }{\xi _0}^\sigma ){\text{ + }}\varepsilon {q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0}{\text{ = }} \\ &\varepsilon ({\xi _s}^{\sigma \Delta } - {q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0}^\sigma - {q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}{\xi _0}^{\sigma \Delta }{\text{ + }}{q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0}) \triangleq \varepsilon {\eta ^{(1)}} \end{split}$

      $ \qquad \begin{split} \tilde \Delta {q_s}^{{\Delta ^2}}=&\delta {q_s}^{{\Delta ^2}}{\text{ + }}{q_s}^{{\Delta ^3}}\tilde \Delta t{\text{ = }}\\ &\varepsilon ({\xi }_{s}{}^{{\Delta }^{2}}-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}{}^{{\sigma }^{2}}-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\sigma \Delta }-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\Delta \sigma }-{q}_{s}{}^{\Delta }{\xi }_{0}{}^{{\Delta }^{2}}\text+{q}_{s}{}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0})\triangleq \varepsilon {\eta }^{(2)} \end{split} $

      从而

      $ \qquad \begin{split} \frac{\partial L}{\partial t}(\tilde {\Delta})=&\varepsilon {\xi }_{0}\frac{\partial L}{\partial t},\;\;\;\;\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}}(\tilde \Delta{q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}})=\varepsilon {\xi }_{s}{}^{{\sigma }^{2}}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}},\\ &\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}(\tilde \Delta{q}_{s}{}^{\sigma \Delta })=\varepsilon {\eta }^{(1)}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }},\;\;\;\;\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}(\tilde \Delta{q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}})=\varepsilon {\eta }^{(2)}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}. \end{split}$

      其中 $ \tilde \Delta $ 为时间尺度上全变分符号.

      将(9)式代入(5)式可以得到

      $ \qquad \begin{split} {L^ * }=&L\left( {{t^ * },{q_s}^{{ * ^{{{({\sigma ^2})}^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{^{(\sigma \Delta }{)^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{{{({\Delta ^2})}^ * }}}}({t^ * })} \right)= \\ &L\left( {t,{q_s}^{{\sigma ^2}}(t),{q_s}^{\sigma \Delta }(t),{q_s}^{{\Delta ^2}}(t)} \right){\text{ + }}\\ & \varepsilon \left[ {{\xi _0}\frac{{\partial L}}{{\partial t}}{\text{ + }}{\xi _s}^{{\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ + }}{\eta ^{(1)}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}}{\text{ + }}{\eta ^{(2)}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}} \right]{\text{ + o(}}{\varepsilon ^2}{\text{)}}. \end{split}$

      取算子

      $ \qquad \varLambda {\text{ = }}{X^{(0)}} + {X^{(1)}} + {X^{(2)}}, $

      其中

      $ \qquad {X}^{(0)}\text={\xi }_{0}\frac{\partial }{\partial t}\text+{\xi }_{s}{}^{{\sigma }^{2}}\frac{\partial }{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}},\;\;{X}^{(1)}\text={\eta }^{(1)}\frac{\partial }{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }},{X}^{(2)}\text={\eta }^{(2)}\frac{\partial }{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}. $

      判据 1 对于时间尺度上二阶Lagrange系统,如果无限小生成元 $ {\xi }_{0},{\xi }_{s} $ 满足

      $ \qquad \frac{{\partial \varLambda (L)}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}} - \frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial \varLambda (L)}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} + \frac{1}{{(1 + {\mu ^\Delta }(t))}}\frac{{{\Delta ^2}}}{{\Delta {t^2}}}\frac{{\partial \varLambda (L)}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}} = 0 ,$

      那么相应不变性为系统的Mei对称性,方程(13)为系统Mei对称性判据方程.

      证明 由(10)、(11)、(12)式可得

      $ \qquad {L^ * }{\text{ = }}L\left( {{t^ * },{q_s}^{{ * ^{{{({\sigma ^2})}^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{^{(\sigma \Delta }{)^ * }}}}({t^ * }),{q_s}^{{ * ^{{{({\Delta ^2})}^ * }}}}({t^ * })} \right){\text{ + }}\varepsilon \varLambda (L){{ + + o(}}{\varepsilon ^2}{\text{)}}{\text{.}} $

      将(14)式代入(4)式,根据方程(2),忽略 $ {\varepsilon ^2} $ 及以上高阶小项即可得到(13)式.

    • 定理 1 在无限小变换(3)下,如果时间尺度上二阶Lagrange系统具有Mei对称性,且存在规范函数 $ G = G(t,{{\boldsymbol{q}}^{{\sigma ^2}}},{{\boldsymbol{q}}^{\sigma \Delta }},{{\boldsymbol{q}}^{{\Delta ^2}}}) $ 满足Noether等式

      $ \qquad \begin{split} &{L^\sigma }{\xi _0}^\Delta {\text{ + }}\left( {{\xi _0}{\mu ^\Delta }(t){\text{ + }}{\xi _0}{\mu ^{\sigma \Delta }}(t) - {\xi _0}^\Delta \mu (t) - {\xi _0}^{\sigma \Delta }\mu (t)} \right){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ + }}\\ &\varLambda (L)\text+{\xi }_{0}({\mu }^{\Delta }(t){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }{)}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}\text+{G}^{\Delta }\text=0, \end{split}$

      那么该系统存在Noether守恒量

      $ \qquad \begin{split} I =& L{\xi _0} + \left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - \frac{1}{{(1 + {\mu ^\Delta }(t))}}\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}} \right){({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^\sigma }{\text{ + }}\\ &\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^\Delta } + G = {\text{const}}{\text{.}} \end{split} $

      证明 将(16)式对时间求 $ \Delta $ 导数,并利用(2)式及(15)式

      $ \qquad \begin{split} & \frac{{\Delta I}}{{\Delta t}} = {L^\sigma }\xi _0^\Delta + {L^\Delta }{\xi _0} + \frac{\Delta }{{\Delta t}}\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - \frac{1}{{(1 + {\mu ^\Delta }(t))}}\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}} \right){({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\sigma ^2}}}{\text{ + }} \\ &\left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - \frac{1}{{(1 + {\mu ^\Delta }(t))}}\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}} \right){({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{\sigma \Delta }}{\text{ + }} \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\Delta ^2}}}{\text{ + }}{G^\Delta }{\text{ + }}\frac{\Delta }{{\Delta t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{\Delta \sigma }}{\text{ = }} \\ & {L^\sigma }\xi _0^\Delta + {L^\Delta }{\xi _0} + \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\sigma ^2}}}{\text{ + }}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{\sigma \Delta }}{\text{ + }} \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\Delta ^2}}}{\text{ + }}{G^\Delta }{\text{ = }}\\ &{L^\Delta }{\xi _0} + \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\sigma ^2}}}{\text{ + }} \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{\sigma \Delta }} + \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\Delta ^2}}}}{({\xi _s} - {q_s}^\Delta {\xi _0})^{{\Delta ^2}}} - {\xi _0}\frac{{\partial L}}{{\partial t}} - \\ &{\xi }_{s}{}^{{\sigma }^{2}}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}}-{\eta }^{(1)}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}-{\eta }^{(2)}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}-{\xi }_{0}({\mu }^{\Delta }(t){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }{)}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}- \\ &\left( {{\xi _0}{\mu ^\Delta }(t){\text{ + }}{\xi _0}{\mu ^{\sigma \Delta }}(t) - {\xi _0}^\Delta \mu (t) - {\xi _0}^{\sigma \Delta }\mu (t)} \right){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ = }}\\ &\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{q_s}^{{\sigma ^2}\Delta }{\xi _0}{\text{ + }}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}}{q_s}^{\sigma {\Delta ^2}}{\xi _0} - \frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}{\xi _0}^{{\sigma ^2}}{\text{ + }}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}{({\xi }_{s}-{q}_{s}{}^{\Delta }{\xi }_{0})}^{\sigma \Delta }+\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}{({\xi }_{s}-{q}_{s}{}^{\Delta }{\xi }_{0})}^{{\Delta }^{2}}-\\ &{\xi }_{0}({\mu }^{\Delta }(t){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }{)}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}- ({\xi _s}^{\sigma \Delta } - {q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0}^\sigma - {q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}{\xi _0}^{\sigma \Delta }{\text{ + }}{q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0})\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - \\ &({\xi }_{s}{}^{{\Delta }^{2}}-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}{}^{{\sigma }^{2}}-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\sigma \Delta }-{q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\Delta \sigma }-{q}_{s}{}^{\Delta }{\xi }_{0}{}^{{\Delta }^{2}})\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\Delta }^{2}}}- \left( {{\xi _0}{\mu ^\Delta }(t){\text{ + }}{\xi _0}{\mu ^{\sigma \Delta }}(t) - {\xi _0}^\Delta \mu (t) - {\xi _0}^{\sigma \Delta }\mu (t)} \right){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ = }} \\ &{\xi _0}{q_s}^{{\sigma ^2}\Delta }\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}} - {\xi _0}^{{\sigma ^2}}{q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ + }}{\xi _0}{{\text{(}}{q_s}^{\sigma \Delta })^\Delta }\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - {q_s}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi _0}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{\sigma \Delta }}} - \\ &\left( {{\xi _0}{\mu ^\Delta }(t){\text{ + }}{\xi _0}{\mu ^{\sigma \Delta }}(t) - {\xi _0}^\Delta \mu (t) - {\xi _0}^{\sigma \Delta }\mu (t)} \right){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}- {\xi }_{0}({\mu }^{\Delta }(t){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }{)}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}=\\ &{\xi }_{0}(1+{\mu }^{\Delta }(t))(1+{\mu }^{\Delta \sigma }(t)){q}_{s}{}^{\Delta {\sigma }^{2}}(t)\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}}- ({\xi }_{0}{}^{\sigma }\text+\mu (t){\xi }_{0}{}^{\sigma \Delta }){q}_{s}{}^{\Delta {\sigma }^{2}}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{{\sigma }^{2}}}\text+{\xi }_{0}{\text{(}(1+{\mu }^{\Delta }(t)){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }(t))}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}- \\ &{q}_{s}{}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi }_{0}\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}-{\xi }_{0}({\mu }^{\Delta }(t){q}_{s}{}^{\Delta \sigma }{)}^{\Delta }\frac{\partial L}{\partial {q}_{s}{}^{\sigma \Delta }}- \left( {{\xi _0}{\mu ^\Delta }(t){\text{ + }}{\xi _0}{\mu ^{\sigma \Delta }}(t) - {\xi _0}^\Delta \mu (t) - {\xi _0}^{\sigma \Delta }\mu (t)} \right){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}\frac{{\partial L}}{{\partial {q_s}^{{\sigma ^2}}}}{\text{ = 0}}{\text{.}} \end{split} $

      其中由文献[6]可知 $ {q_s}^{{\sigma ^2}\Delta }(t) = (1 + {\mu ^\Delta }(t))(1 + {\mu ^{\Delta \sigma }}(t)){q_s}^{\Delta {\sigma ^2}}(t). $

      推论 1 当 $ T = R $ 时,即 $ \sigma \left( t \right) = 0$$ \mu \left( t \right) = 0. $ 由(16)式可以得到经典意义下Mei对称性导致二阶Lagrange系统下的守恒量[18]

      $ \qquad I = L{\xi _0} + \left( {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot q}_s}}} - \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\ddot q}_s}}}} \right)({\xi _s} - {\dot q_s}{\xi _0}) + \frac{{\partial L}}{{\partial {{\ddot q}_s}}}({\dot \xi _s} - {\ddot q_s}{\xi _0} - {\dot q_s}{\dot \xi _0}){\text{ + }}G = {\text{const}}. $

      推论 2 当 $ T = hZ,\;\;h > 0 $ 时,即 $ \sigma \left( t \right) = t + h$$ \mu \left( t \right) = h. $ 由(16)式可以得到Mei对称性导致的离散二阶Lagrange系统下的守恒量

      $ \qquad \begin{split} I=&L{\xi }_{0}+\frac{\partial L}{\partial ({\dot{\Delta }}^{2}{q}_{s})}\left(\dot{\Delta }({\xi }_{s}-\dot{\Delta }{q}_{s}{\xi }_{0})\right)+G\text+\\ &\left(\frac{\partial L}{\partial (\dot{\Delta }{q}_{s}+h{\dot{\Delta }}^{2}{q}_{s})}-\dot{\Delta }\frac{\partial L}{\partial ({\dot{\Delta }}^{2}{q}_{s})}\right)\left[({\xi }_{s}-\dot{\Delta }{q}_{s}{\xi }_{0})(t+h)\right]=\text{const}\text{.} \end{split}$

    • 设时间尺度

      $ \qquad T = \left\{ {{2^n}:n \in Z} \right\} \cup \left\{ 0 \right\}, $

      系统的Lagrange函数为

      $ \qquad L = \frac{1}{2}{({q^{{\Delta ^2}}})^2} + \frac{1}{2}{({q^{\sigma \Delta }})^2}, $

      研究系统的对称性与守恒量.

      首先,计算本题给出时间尺度的前跳算子以及步差函数

      $ \qquad \sigma (t) = {\rm{inf}}\left\{ {{2^m}:m \in \left[ {l + 1,\left. \infty \right)} \right.} \right\} = {2^{l + 1}} = 2t, $

      $ \qquad \mu (t) = \sigma (t) - t = t. $

      研究Mei对称性,本题中

      $ \qquad \begin{split} \varLambda (L)=&{q^{\sigma \Delta }}({\xi ^{\sigma \Delta }} - {q^{\Delta \sigma \Delta }}{\xi _0}^\sigma - {q^{\Delta {\sigma ^2}}}{\xi _0}^{\sigma \Delta }{\text{ + }}{q^{\Delta \sigma \Delta }}{\xi _0}) + \\ &{q}^{{\Delta }^{2}}({\xi }_{s}{}^{{\Delta }^{2}}-{q}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}{}^{{\sigma }^{2}}-{q}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\sigma \Delta }-{q}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\Delta \sigma }-{q}^{\Delta }{\xi }_{0}{}^{{\Delta }^{2}}\text+{q}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}). \end{split} $

      其次,根据方程(13)及上式 $ \varLambda (L) $ 可以得到

      $ \qquad \frac{1}{2}({\xi }^{{\Delta }^{2}}-{q}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}{}^{{\sigma }^{2}}-4{q}^{{\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\Delta \sigma }-{q}^{\Delta }{\xi }_{0}{}^{{\Delta }^{2}}\text+{q}^{{\Delta }^{3}}{\xi }_{0}{)}^{{\Delta }^{2}}-(\xi -{q}^{\Delta }{\xi }_{0}{)}^{\sigma {\Delta }^{2}}-{q}^{\Delta \sigma {\Delta }^{2}}{\xi }_{0}{}^{\sigma }-{q}^{\Delta \sigma \Delta }{\xi }_{0}{}^{\Delta }=0, $

      $ \qquad {\xi _0} = 0,\;\;\;\;\xi = 1. $

      那么满足(24)式,且对应系统的Mei对称性,将(25)式代入(15)式可以得到规范函数

      $ \qquad G = 0. $

      最后,将(25)、(26)式代入(16)式即得守恒量,

      $ \qquad I = {q^{\sigma \Delta }} - \frac{1}{2}{q^{{\Delta ^3}}} = {\text{const}}. $

      (27)式即为系统相应守恒量.

    • 本文研究了时间尺度上二阶Lagrange力学系统的Mei对称性问题,可有效地将连续系统与离散系统相统一. 文章首先给出了系统的Mei对称性定义及判定方程,其次建立了由Mei对称性导致Noether守恒量的条件以及相应的守恒量表达式,最后当时间尺度取 $ T = R$$ T = hZ $ 时,分别得到经典系统下及离散系统下相应守恒量的形式,并通过例子说明结果的有效性. 由于时间尺度是具有任意性的特征,因而本文的思想方法和结果更具有普遍性,可进一步拓展到时间尺度上二阶Lagrange系统Lie对称性等的研究.

参考文献 (26)

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