Caputo型分数阶三维自治系统在相空间中的动力学行为

张宏杰 芮伟国

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Caputo型分数阶三维自治系统在相空间中的动力学行为

    作者简介: 张宏杰(1996−),男,重庆人,硕士生,主要研究分数阶微分方程. E-mail:905725493@qq.com;
    通讯作者: 芮伟国, weiguorhhu@aliyun.com
  • 中图分类号: O 175.08

Dynamic behavior in phase space of the Caputo fractional autonomous systems of 3-dimension

    Corresponding author: RUI Wei-guo, weiguorhhu@aliyun.com
  • CLC number: O 175.08

  • 摘要: 通过一系列的非奇异的线性变换和Laplace变换,并借助于特殊函数Mittag-Leffler函数的敛散性,首次较为全面和深入地研究了Caputo型分数阶三维自治系统在相空间中的各种动力学行为,并进一步分析了系统在相空间内的平衡点随参数变化的情况以及平衡点邻域内轨线的动力学性态,最终较为全面地给出了该系统关于轨线分布的空间图貌. 研究结果显示,Caputo型分数阶三维动力系统既不存在中心型的平衡点,也不存在闭轨道,从而不存在相应的周期解,这为分数阶线性微分方程组不存在周期解提供了一个新的例证.
  • 图 1  同号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图

    Figure 1.  The phase portraits of the system (25) under different real characteristic roots with same sign

    图 2  同号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图投影图

    Figure 2.  The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with same sign

    图 3  异号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图

    Figure 3.  The phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

    图 4  异号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图投影图

    Figure 4.  The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

    图 5  特征根为二重实根的情形下系统(28)的空间相图

    Figure 5.  The phase portraits of the system (28) under double real characteristic roots

    图 6  特征根为二重实根的情形下系统(28)的空间相图投影图

    Figure 6.  The map of phase portraits of system (28) under triple real characteristic roots

    图 7  三重实特征根情形下系统(30)的空间相图

    Figure 7.  The phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

    图 8  三重实特征根情形下系统(30)的空间相图投影图

    Figure 8.  The map of phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

    图 9  三重实特征根情形下系统(32)的空间相图

    Figure 9.  The phase portraits of system (32) under triple real characteristic roots

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-12-07
  • 录用日期:  2021-05-31
  • 网络出版日期:  2021-06-15
  • 刊出日期:  2021-09-15

Caputo型分数阶三维自治系统在相空间中的动力学行为

    作者简介:张宏杰(1996−),男,重庆人,硕士生,主要研究分数阶微分方程. E-mail:905725493@qq.com
    通讯作者: 芮伟国, weiguorhhu@aliyun.com
  • 重庆师范大学 数学科学学院,重庆 401331

摘要: 通过一系列的非奇异的线性变换和Laplace变换,并借助于特殊函数Mittag-Leffler函数的敛散性,首次较为全面和深入地研究了Caputo型分数阶三维自治系统在相空间中的各种动力学行为,并进一步分析了系统在相空间内的平衡点随参数变化的情况以及平衡点邻域内轨线的动力学性态,最终较为全面地给出了该系统关于轨线分布的空间图貌. 研究结果显示,Caputo型分数阶三维动力系统既不存在中心型的平衡点,也不存在闭轨道,从而不存在相应的周期解,这为分数阶线性微分方程组不存在周期解提供了一个新的例证.

English Abstract

  • 分数阶微积分的概念与经典的整数阶微积分的概念几乎诞生于同一个时代,即Leibniz时代,然而分数阶微积分由于长期缺乏应用背景和相应的数学运算方法,其发展历程异常艰辛且非常缓慢,但随着几代科研人员和数学家们的不断投入研究,该境况得到了极大的改善. 特别是近几十年以来,随着分数阶微积分在反常扩散研究领域,信号和图像处理领域、控制理论、粘弹性力学、流变学以及生物科学等众多领域和学科之中得到了非常广泛的应用,人们对分数阶微分系统的研究越来越感兴趣,而且这类研究倍受国内外学者的关切,从文献[1~16]以及这些文献中所引用的其他大量文献可窥其一斑. 从另外一个层面来讲,由于自然界和工程中存在大量的分数维现象,经典整数维理论已经不再适用于这些问题的描述和解决,故人们只好引入分数阶微积分理论取而代之,使之不再受整数维度的限制,这也是分数阶微分系统越来越受到人们重视的主要原因. 但是,相对于经典的整数阶微分方程而言,分数阶微分方程的求解研究工作却变得十分困难,目前大多数关于分数阶微分方程的研究工作主要集中在正解的研究[17-18]以及解的存在性、稳定性和数值模拟等方面. 本文的工作将立足于分数阶动力系统在相空间内的动力学行为研究,即在相空间内平衡点随参数变化而变化的情况以及在平衡点邻域内系统的相轨线的动力学性态研究,这些研究与上述文献中的研究内容大不相同.

    本文拟通过非奇异的线性变换和Laplace变换,并借助于Mittag-Leffler函数的敛散性,较为全面和深入地探讨下列Caputo型分数阶三维自治系统

    $\qquad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }x}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z,} \\ {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }y}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z,} \\ {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }z}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z} \end{array}} \right.$

    在相空间中的各种动力学行为,其中 $\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$ 为Caputo型分数阶微分算子,$\alpha $ 为阶数且 $0 < \alpha < 1,$$ {a}_{i},{b}_{i},{c}_{i} $$ (i=1,2,3)$ 均为实常数,$t$ 表示时间. 显然,当 $\alpha {\rm{ = }}1$ 时,分数阶系统(1)就变为经典的整数阶动力系统,它在相空间中的动力学行为早已为人们所熟知. 由于经典的整数阶微积分理论和方法基本上不再适用于相应的分数阶微分系统,因此,关于系统(1)的动力学性质和动力学行为的研究工作鲜有报道. 仅在2013年,马玉田博士[19]研究分数阶动力系统的平衡点问题时,把系统(1)作为他们所研究的动力系统的一种特殊情况,给出了所研究系统的线性化定理,并指出原点是该系统的双曲平衡点. 但由于受到技术的限制,他们并没有对平衡点进行分类讨论,也没有进一步研究平衡点周围的轨线走势和系统(1)在相空间中的动力学行为. 本文中我们通过一系列的非奇异的线性变换和Laplace变换以及Mittag-Leffler函数的敛散性等数学手段,讨论系统(1)在相空间中的动力学行为. 这里顺便说一下, Laplace变换常常被用来求解线性分数阶微分方程的精确解,这点能够从文献[20-21]中的应用就可以看出它的优良效果.

    • 若记 $\vec \chi = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \end{array}} \right),\;A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}} \\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right)$,则系统(1)可改写成下列形式

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\vec \chi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = A\vec \chi .$

      $\det A \ne 0$ 时,原点 $O(0,0,0)$ 是系统(2)唯一平衡点. 根据矩阵 $A$ 的特征值情况,我们将讨论系统(2)的标准型约化,由于特征值为复数时,计算难度大且推导过程较长,需要另行研究. 这里我们仅在特征值为实数的情形下进行讨论,即在特征值为3个不同实根,二重实根或三重实根这3种情况下进行讨论. 事实上,在这3种情况下,一定可以找到相应的可逆矩阵 $T$,使得 ${T^{ - 1}}AT = J,$

      $\qquad J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&{\rm{0}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{{\lambda _2}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{{\lambda _3}} \end{array}} \right),\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}_{\rm{ }}}&{\rm{0}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{{\lambda _2}}&{\rm{1}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{{\lambda _2}} \end{array}} \right),\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _{\rm{ }}}}&{\rm{1}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{{\lambda _{\rm{ }}}}&{\rm{1}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{{\lambda _{\rm{ }}}} \end{array}} \right),\;\;\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _{\rm{ }}}}&{\rm{0}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{{\lambda _{\rm{ }}}}&{\rm{0}} \\ {\rm{0}}&{\rm{0}}&{{\lambda _{\rm{ }}}} \end{array}} \right), $

      其中,$\lambda ,\;{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}$ 均为实常数. 显然,在线性变换 $\vec \chi = T\vec \varphi $ 下,系统(1)可以约化成标准型:

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\vec \varphi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = J\vec \varphi ,$

      其中 $\vec \varphi = {(\xi ,\eta ,\delta )^{\rm{T}}},J$ 为上述4种矩阵之一. 显然,把线性变换 $\vec \chi = T\vec \varphi $ 代入系统(2)得

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }(T\vec \varphi )}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = AT\vec \varphi .$

      方程(5)两边同时左乘以一个逆矩阵 ${T^{\, - 1}}$ 得:

      $\qquad {T^{\, - 1}}T\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\vec \varphi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {T^{\, - 1}}AT\vec \varphi ,$

      ${T^{ - 1}}AT = J$ 代入(6)式就可得到标准型(4). 事实上,线性变换

      $\qquad \vec \varphi = {T^{ - 1}}\vec \chi $

      的具体形式如下:

      $\qquad \xi = {l_{11}}x + {l_{12}}y + {l_{13}}z,\quad \quad \eta = {l_{21}}x + {l_{22}}y + {l_{23}}z,\quad \quad \delta = {l_{31}}x + {l_{32}}y + {l_{33}}z,{\rm{ }}$

      其中 ${l_{ij}}\;(i,j = 1,2,3)$ 为待定系数. 显然,矩阵 $A$ 的特征方程为

      $\qquad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} - \lambda }&{{b_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2} - \lambda }&{{c_2}} \\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3} - \lambda } \end{array}} \right| = {\rm{0}}{\rm{. }}$

      $\qquad \begin{split} & - {\lambda ^3} + {\lambda ^2}({a_1} + {b_2} + {c_3}) + \lambda ({a_2}{b_1} - {a_1}{b_2} + {a_3}{c_1} - {a_1}{c_3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}) + {\rm{ }}{a_1}({b_{2}}{c_{3}} - {b_{3}}{c_{2}}) + \\ &{a_2}({b_{3}}{c_{\rm{1}}} - {b_{\rm{1}}}{c_{3}}) +{a_3}({b_{\rm{1}}}{c_{2}} - {b_{2}}{c_{\rm{1}}}) = {\rm{0}}{\rm{.}} \end{split} $

      矩阵 $A$ 的特征值就是方程(10)的根,又由根与系数的关系可知:

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} {\lambda _{\rm{1}}} + {\lambda _{2}} + {\lambda _{3}} = {a_1} + {b_2} + {c_3}, \\ {\lambda _{\rm{1}}} {\lambda _{2}} {\lambda _{3}} = {a_1}({b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}) + {a_2}({b_3}{c_1} - {b_1}{c_3}) + {a_3}({b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}), \\ {\lambda _{\rm{1}}} {\lambda _{2}} + {\lambda _{\rm{1}}} {\lambda _{3}} + {\lambda _{2}} {\lambda _{3}} = {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} + {a_1}{c_3} - {a_3}{c_1} + {b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}. \end{array} \right.$

      下面,在形如(8)式的线性变换下,我们给出系统(1)约化后的具体形式.

      情形1 ${\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{\rm{2}}},{\lambda _{\rm{3}}}$ 相异时的线性变换及相应的标准型

      ${a_2} \ne 0$${a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) \ne 0$ 时,在线性变换

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi = \dfrac{{ - 1}}{{({\lambda _2} - {\lambda _1})({\lambda _3} - {\lambda _1})}}x + \dfrac{{\left( {{a_1} - {\lambda _1}} \right)\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right) - {a_3}({\lambda _2}{\lambda _3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _2} - {\lambda _1})({\lambda _3} - {\lambda _1})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}y + \\ \quad \;\;\dfrac{{\left( {{\lambda _1} - {a_1}} \right)\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {a_2}({\lambda _2}{\lambda _3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _2} - {\lambda _1})({\lambda _3} - {\lambda _1})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z, \\ \eta = \dfrac{{ - 1}}{{({\lambda _1} - {\lambda _2})({\lambda _3} - {\lambda _2})}}x + \dfrac{{\left( {{a_1} - {\lambda _2}} \right)\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right) - {a_3}({\lambda _1}{\lambda _3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _1} - {\lambda _2})({\lambda _3} - {\lambda _2})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}y + \\ \quad \;\;\dfrac{{\left( {{\lambda _2} - {a_1}} \right)\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {a_2}({\lambda _1}{\lambda _3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _{\rm{1}}} - {\lambda _{2}})({\lambda _3} - {\lambda _2})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z, \\ \delta = \dfrac{{ - 1}}{{({\lambda _{\rm{1}}} - {\lambda _{3}})({\lambda _{2}} - {\lambda _{3}})}}x + \dfrac{{\left( {{a_1} - {\lambda _3}} \right)\left( {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}} \right) - {a_3}({\lambda _2}{\lambda _3} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _{\rm{1}}} - {\lambda _{3}})({\lambda _{2}} - {\lambda _{3}})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}y + \\ \quad \;\;\dfrac{{\left( {{\lambda _3} - {a_1}} \right)\left( {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}} \right) + {a_2}({\lambda _1}{\lambda _2} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{({\lambda _{\rm{1}}} - {\lambda _{3}})({\lambda _{2}} - {\lambda _{3}})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z \end{array} \right.{\rm{ }}$

      下,可将分数阶自治系统(1)化成如下标准型

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _1}\xi ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\eta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _3}\delta ,$

      其中,系数矩阵 $J = {\rm{diag}}({\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}).$ 显然,一定存在这样的可逆矩阵 $T,$ 使得 ${T^{ - 1}}AT = J$. 下面,我们通过证明的方式导出可逆矩阵 $T$ 的具体表达式以及线性变换(12)式.

      证明 设存在三阶可逆矩阵 $T = [{\vec P_1},{\vec P_2},{\vec P_3}]$,则由 ${T^{ - 1}}AT = J$ 得:

      $\qquad A[{\vec P_1},{\vec P_2},{\vec P_3}] = [{\vec P_1},{\vec P_2},{\vec P_3}]J.$

      把对角矩阵 $J = {\rm{diag}}({\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3})$ 代入(14)式整理后得:

      $\qquad \left( {A - {\lambda _1}E} \right){\vec P_1} = {\rm{ }}\vec 0,\quad \quad \left( {A - {\lambda _2}E} \right){\vec P_2} = \vec 0,\quad \quad \left( {A - {\lambda _3}E} \right){\vec P_3} = \vec 0,$

      其中 $E$ 为单位阵. 将系数矩阵 $A$ 代入(15)式中的第一式并令 ${P_1} = {[{x_1},{y_1},{z_1}]^{\rm{T}}}$,则有

      $\qquad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} - {\lambda _{\rm{1}}}}&{{b_1}}&{{c_1}} \\ {{a_2}}&{{b_2} - {\lambda _{\rm{1}}}}&{{c_2}} \\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3} - {\lambda _{\rm{1}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{y_1}} \\ {{z_1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right).$

      将(16)式化简得:

      $\qquad {x_{\rm{1}}} = - \frac{{{b_2}{c_3} - {b_3}{c_2} - {c_3}{\lambda _1} - {b_2}{\lambda _1} + {\lambda _{\rm{1}}}^2}}{{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _1}}}{z_{\rm{1}}},\quad {\rm{ }}{y_{\rm{1}}} = - \frac{{{a_3}{c_2} - {a_2}{c_3} + {a_2}{\lambda _1}}}{{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _1}}}{z_{\rm{1}}}.$

      在(17)式中取 ${z_1} = {a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _1}$,则有

      $\qquad {x_1} = {\lambda _1}({\lambda _2} + {\lambda _3} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3},\quad \quad {y_1} = {a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _{\rm{1}}}.$

      由(18)式及 ${\vec P_1} = {[{x_1},{y_1},{z_1}]^{\rm{T}}}$ 可得

      $\qquad {\vec P_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}({\lambda _2} + {\lambda _3} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}} \\ {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _1}} \\ {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _1}} \end{array}} \right).$

      类似地,可求得:

      $\qquad {\vec P_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _2}({\lambda _1} + {\lambda _3} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}} \\ {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _2}} \\ {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _2}} \end{array}} \right),\quad \quad {\vec P_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _3}({\lambda _1} + {\lambda _2} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}} \\ {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _3}} \\ {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _3}} \end{array}} \right).$

      由(19),(20)式及 $T = (P_1, P_2, P_3)$ 可得:

      $T = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}({\lambda _2} + {\lambda _3} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}}&{{\lambda _2}({\lambda _1} + {\lambda _3} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}}&{{\lambda _3}({\lambda _1} + {\lambda _2} - {a_1}) + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}} \\ {{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _1}}&{{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_2}{\lambda _2}}&{{a_2}{c_3} - {a_3}{c_2} - {a_{2}}{\lambda _3}} \\ {{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _1}}&{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _2}}&{{a_3}{b_2} - {a_2}{b_3} - {a_3}{\lambda _3}} \end{array}} \right)$.

      ${T^{ - 1}}$ 的逆矩阵代入(7)式即可得线性变换(12). 如将(12)式左右两边同时求关于 $t$$\alpha $ 阶导数,然后利用系统(1)和关系式(11),容易验证在线性变换(12)下能将系统(1)化为标准型(13).

      同样地,通过类似的推导过程,我们亦可以导出其他情形下的线性变换及其相应的标准形系统. 但由于推理过程极为类似,所以以下内容不再给出详细的证明过程,只给出具体的推导结果,即只给出线性变换表达式和相应的标准型系统.

      情形2 ${\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{\rm{2}}},{\lambda _{\rm{3}}}$ 不全相同的线性变换及相应标准型.

      不妨假设 ${\lambda _1} \ne {\lambda _2}$${\lambda _3} = {\lambda _2}$,当 ${a_2} \ne 0$${a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) \ne 0$ 时,线性变换为

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi = - \dfrac{1}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}}}x - \dfrac{{{a_3}({\lambda _2}^2 + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}){\rm{ + }}({\lambda _{\rm{1}}} - {a_1})({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3})}}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}y + \\ \quad \;\;\dfrac{{{a_2}({\lambda _2}^2 + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}) + ({\lambda _{\rm{1}}} - {a_1})({a_2}{c_3} - {a_3}{c_2})}}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z, \\ \eta = \dfrac{1}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}}}x - \dfrac{{{a_3}({\lambda _{\rm{1}}}^2 - 2{\lambda _1}{\lambda _2} + {b_{2}}{c_{3}} - {b_{3}}{c_{2}}) - ({\lambda _{\rm{1}}} - {a_1})({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3})}}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}y + {\rm{ }} \\ \quad \;\;\dfrac{{{a_2}({\lambda _{\rm{1}}}^2 - 2{\lambda _1}{\lambda _2} + {b_2}{c_3} - {b_3}{c_2}) - ({\lambda _{\rm{1}}} - {a_1})({a_2}{c_3} - {a_3}{c_2})}}{{{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}^2}[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z, \\ \delta = \dfrac{1}{{({\lambda _1} - {\lambda _2})}}x + \Omega y - \dfrac{{{a_2}({\lambda _1}{\lambda _2} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3}) - ({\lambda _1} - {\lambda _2} + {a_2}{c_3} - {a_3}{c_2})}}{{({\lambda _1} - {\lambda _2})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}z, \end{array} \right.$

      其中,

      $\qquad \Omega = \frac{{{a_3}({\lambda _{\rm{1}}} - {a_1})({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) + {a_2}({\lambda _{2}} - {a_1})({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_2}{a_3}({\lambda _1}{\lambda _2} + {b_3}{c_2} - {b_2}{c_3})}}{{{a_2}({\lambda _1} - {\lambda _2})[{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})]}}.$

      在线性变换(21)下,分数阶微分动力系统(1)被约化成下列标准型

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _1}\xi ,\quad \quad {\rm{ }}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\eta + \delta ,\quad \quad {\rm{ }}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\delta .$

      情形3 ${\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{\rm{2}}},{\lambda _{\rm{3}}}$ 相同(即 ${\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} = \lambda $)的线性变换及相应标准型.

      ${a_2} \ne 0$${a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) \ne 0$ 时,在线性变换

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi = x + \dfrac{{(\lambda - {a_1})({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) - {a_3}({b_2}{c_3} - {b_3}{c_2} - {\lambda ^2} + 1)}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}y + \\ \quad \;\;{\rm{ }}\dfrac{{(\lambda - {a_1})({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) + {a_2}({b_2}{c_3} - {b_3}{c_2} - {\lambda ^2} + 1)}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}z, \\ \eta = \dfrac{{{a_3}\lambda + {a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}y + \dfrac{{ - {a_2}\lambda + {a_2}{c_3} - {a_3}{c_2}}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}z,{\rm{ }} \\ \delta = - x - \dfrac{{(\lambda - {a_1})({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) - {a_3}({b_2}{c_3} - {b_3}{c_2} - {\lambda ^2})}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}y - \\ \quad \;\;{\rm{ }}\dfrac{{(\lambda - {a_1})({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3}) + {a_2}({b_2}{c_3} - {b_3}{c_2} - {\lambda ^2})}}{{{a_2}({a_3}{b_2} - {a_2}{b_3}) + {a_3}({a_3}{c_2} - {a_2}{c_3})}}z \end{array} \right.$

      下,系统(1)被约化成标准型

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \xi + \eta ,\quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \eta + \delta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \delta .$

      特别地,当 $A = \lambda E$ 为数量矩阵时,系统(1)本身就是标准型,无需通过线性变换来约化. 另外,不难看出,在以上这3种情形下的线性变换并不是唯一的,这是因为矩阵 $A$ 的特征值所对应的特征向量不是唯一的,就会导致可逆矩阵 $T$ 的多样性,但无论 $T$ 取何值,只要满足等式 ${T^{ - 1}}AT = J$ 即可. 因此,尽管所求矩阵 $T$ 及其逆矩阵不尽相同,但只要满足上式,即可将系统(1)化为相应的标准型.

      综上所述,三维分数阶自治系统的线性变换相较于二维分数阶线性变换复杂了许多,我们不禁思考,在三维分数阶系统平衡点的类型以及相应的动力学行为较二维系统而言又有哪些异同之处呢?平衡点邻域内轨线的动力学性态又会发生怎样的改变呢?详情请参见第2节的讨论.

    • 由于线性变换不改变系统的动力学性质和动力学行为,因此系统(1)及其对应的标准型系统的动力学性质和动力学行为是一样的. 为此,本节中我们仅讨论第1节提供的标准型系统的平衡点的类别以及平衡点邻域内轨线的动力学性态.

      情形1 当 ${\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}$ 为同号相异实根时,系统(1)在线性变换(12)下的标准型为

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _1}\xi ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\eta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _3}\delta .$

      $\xi \left( {\rm{0}} \right) = {c_1},\eta \left( {\rm{0}} \right) = {c_2},\delta \left( {\rm{0}} \right) = {c_{3}},$ 然后对(25)式施行Laplace变换得:

      $\qquad \Xi \left( s \right) = {c_1} \cdot \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\lambda _1}}},\quad \quad {\rm H}\left( s \right) = {c_2} \cdot \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\lambda _2}}},\quad \quad {\rm K}\left( s \right) = {c_3} \cdot \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\lambda _3}}}.$

      对(26)式施行Laplace逆变换求得其解:

      $\qquad \xi \left( t \right) = {c_1}{E_\alpha }({\lambda _1}{t^\alpha }),{\rm{ }}\quad \quad \eta \left( t \right) = {c_2}{E_\alpha }({\lambda _{2}}{t^\alpha }),{\rm{ }}\quad \quad \delta \left( t \right) = {c_3}{E_\alpha }({\lambda _{2}}{t^\alpha }),$

      其中,${\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{2}},{\lambda _{3}}$ 是同号相异的实根,${E_\alpha }(t)$ 为Mittag-Leffler函数. 显然,把系统(25)的精确解(27)式代入线性变换(12)式,可以获得系统(1)的精确解,但这里我们仅讨论系统的动力学性质,故省略系统(1)精确求解的过程,以下情况相同,不再赘述.

      $t$ 看成参数,通过(27)式,以 $\alpha = {\rm{0}}{\rm{.6}}$ 为例(其他常数值可任取),用数学软件绘制出系统(25)的空间相图,见图1(a)(b)图1$\xi $的坐标单位长取1×1010). 事实上,当 ${\lambda _i} < 0\;\left( {i = 1,2,3} \right)$ 时,Mittag-Leffler函数 ${E_\alpha }\left( {{\lambda _i}{t^\alpha }} \right)$ 是收敛的,故 $t \to \infty $ 时,$\xi (t) \to 0$$\eta (t) \to 0,\;\delta (t) \to 0,$ 因而此时系统的零解是渐近稳定的. 当 ${\lambda _i} > 0\; $$ \left( {i = 1,2,3} \right)$ 时,函数 ${E_\alpha }\left( {{\lambda _i}{t^\alpha }} \right)$ 是发散的,故 $t \to \infty $ 时,有 $\xi (t) \to \infty ,\;\eta (t) \to \infty ,\;\delta (t) \to \infty ,$ 因而此时系统的零解是不稳定的,显然由图1(a)(b)也可以直观地得出这一结论.

      图  1  同号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图

      Figure 1.  The phase portraits of the system (25) under different real characteristic roots with same sign

      图1(a)为例,将其分别投影到3个坐标平面 $\xi o\eta ,\;\xi o\delta ,\;\eta o\delta $ 上,得到图2(a)(b)(c)图2$\xi $的坐标单位长取1×1010). 不难发现二维平面图图2中(a),(b),(c)中的原点均是稳定的,且是渐近稳定的,其平衡点类型为稳定结点. 同样地,我们可以类似地分析图1(b)的坐标投影(这里省略),也可以得到平衡点类型是不稳定的结点的结论. 因此,当 ${\lambda _i} < 0\;\left( {i = 1,2,3} \right)$ 时,我们称原点 $(0,0,0)$ 为三维空间中的稳定结点;当 ${\lambda _i} > 0\;\left( {i = 1,2,3} \right)$ 时,我们称原点 $(0,0,0)$ 为三维空间中的不稳定结点.

      图  2  同号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图投影图

      Figure 2.  The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with same sign

      情形2 当 ${\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}$ 为异号相异实根时,系统(1)的线性变换与标准型及其解的表达式与情形1完全一样,只不过其中 ${\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{2}},{\lambda _{3}}$ 的符号不尽相同罢了.

      例如 当 ${\lambda _{\rm{1}}} < 0 < {\lambda _{2}} < {\lambda _{3}}$ 时,则有 $\xi \left( t \right) \to 0,\eta \left( t \right) \to + \infty ,\delta \left( t \right) \to \infty \left( {t \to + \infty } \right),$ 因而在此种情形下自治系统的零解是不稳定的;当 ${\lambda _{\rm{1}}} > 0 > {\lambda _{2}} > {\lambda _{3}}$ 时,有 $\xi \left( t \right) \to \infty ,\eta \left( t \right) \to 0,\delta \left( t \right) \to {\rm{0}}\left( {t \to + \infty } \right)$,从而该系统的零解仍是不稳定的. 因此,可以得到在该情形下系统(1)的零解都不稳定这一结论,现绘制出系统(26)的空间相图,见图3(a)(b).

      图  3  异号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图

      Figure 3.  The phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

      图3(a)为例,将其分别投影到 $\xi {\rm{o}}\eta ,\;\xi {\rm{o}}\delta ,\;\eta {\rm{o}}\delta $ 平面上,得到其二维平面相图,见图4(a)(b)(c).

      图  4  异号相异实特征根情形下系统(25)的空间相图投影图

      Figure 4.  The map of phase portraits of system (25) under different real characteristic roots with different sign

      结合二维平面中奇点的性质与轨线走势,不难看出图4中(a)和(b)图在二维平面中的平衡点类型为鞍点,具有不稳定性质(从图3也可以直观地看出这一性质),而图4(c)图在其二维平面中平衡点的类型为结点. 因此,在三维空间中,我们将这样类型的平衡点 $(0,0,0)$ 称为鞍−鞍−结型奇点,其具有部分稳定的特性.

      情形3 当特征根 ${\lambda _{\rm{2}}} = {\lambda _{\rm{3}}}$ 为二重实根时,系统(1)经线性变换(21)化成下列标准型

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _1}\xi ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\eta + \delta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = {\lambda _2}\delta .$

      通过Laplace变换求得系统(28)的解为

      $\qquad \xi (t) = {c_1}{E_\alpha }({\lambda _1}{t^\alpha }),{\rm{ }}\eta (t) = {c_{2}}{E_\alpha }({\lambda _2}{t^\alpha }) + {c_{3}}{t^\alpha }{E_\alpha }^{\left( 1 \right)}({\lambda _2}{t^\alpha }),{\rm{ }}\delta (t) = {c_3}{E_\alpha }({\lambda _2}{t^\alpha }).{\rm{ }}$

      因此,在 ${\lambda _2} = {\lambda _3} < {\lambda _1} < 0$$ \left({\text{或}}{\lambda }_{2}={\lambda }_{3}>{\lambda }_{1}>0\right)$ 情况下,令 $t \to + \infty $,就可以了解这组解的动力学性态,即当 ${\lambda _2} = {\lambda _3} < {\lambda _1} < 0$ 时,有 $\xi (t) \to 0,\;\eta (t) \to 0,\;\delta (t) \to 0\;\left( {t \to + \infty } \right),$ 此时系统的零解是渐近稳定的;而在 ${\lambda _2} = {\lambda _3} > $$ {\lambda _1} > 0$ 下,有 $\xi (t) \to \infty ,\;\eta (t) \to \infty ,\;\delta (t) \to \infty \;\left( {t \to + \infty } \right),$ 此时系统的零解是不稳定的,其空间中轨线的性态如图5(a)(b)所示.

      图  5  特征根为二重实根的情形下系统(28)的空间相图

      Figure 5.  The phase portraits of the system (28) under double real characteristic roots

      图5(a)为例,将其投影到三个坐标平面上,得到图6(a)(b)(c).

      图  6  特征根为二重实根的情形下系统(28)的空间相图投影图

      Figure 6.  The map of phase portraits of system (28) under triple real characteristic roots

      图6以看出在3个二维投影平面上零解均是渐近稳定的,这一结论也可以通过解(27)式的渐近性质得到验证,且在此投影下,图6(a)(b)平衡点的类型为结点,图6(c)的平衡点类型为退化结点. 同样地,在图5(b)下也可以获得相应的投影,且得到的图形会与图6(a),(b),(c)形状相一致,只是轨线走向刚好相反,即平衡点类型不发生改变,但其稳定性相反.

      情形4 当特征根 ${\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} = \lambda $ 为三重实根时,可分为以下2种情况:

      (1)$\lambda $ 为三重实根,且 ${a_2},{a_3},{b_3} \ne 0$,微分方程组在其线性变换(23)下的标准型为

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\xi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \xi + \eta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\eta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \eta + \delta ,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\delta }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda \delta .$

      对(30)式施行Laplace变换求得其解:

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi \left( t \right) = {c_1}{E_\alpha }\left( {\lambda {t^\alpha }} \right) + {c_2}{t^\alpha }{E_\alpha }^{\left( 1 \right)}\left( {\lambda {t^\alpha }} \right) + {c_3}{t^{2\alpha }}{E_\alpha }^{\left( 2 \right)}\left( {\lambda {t^\alpha }} \right), \\ \eta \left( t \right) = {c_{2}}{E_\alpha }\left( {\lambda {t^\alpha }} \right) + {c_{3}}{t^\alpha }{E_\alpha }^{\left( 1 \right)}\left( {\lambda {t^\alpha }} \right), \\ \delta \left( t \right) = {c_3}{E_\alpha }\left( {\lambda {t^\alpha }} \right), \end{array} \right.{\rm{ }}$

      其中 ${E^{\left( {\rm{1}} \right)}}_\alpha \left( t \right),{E^{\left( {2} \right)}}_\alpha \left( t \right)$ 为Mittag-leffler函数的一阶与二阶导数,即

      $ \qquad {E_\alpha }^{\left( 1 \right)}\left( {\lambda {t^\alpha }} \right) = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{\left( {k + 1} \right){{\left( {\lambda {t^\alpha }} \right)}^k}}}{{\Gamma \left[ {\left( {k + 1} \right)\alpha + 1} \right]}}} {\rm{ }},\;\;\;\;{E_\alpha }^{\left( {2} \right)}\left( {\lambda {t^\alpha }} \right) = \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + {2}} \right){{\left( {\lambda {t^\alpha }} \right)}^k}}}{{\Gamma \left[ {\left( {k + {2}} \right)\alpha + 1} \right]}}} . $

      显然,当 $\lambda < 0$ 时,有 $\xi (t) \to 0,\;\eta (t) \to 0,\;\delta (t) \to 0\;\left( {t \to + \infty } \right),$ 则在此种情形下系统的零解是渐近稳定;当 $\lambda > 0$ 时,有 $\xi (t) \to \infty ,\;\eta (t) \to \infty ,\;\delta (t) \to \infty \;\left( {t \to + \infty } \right),$ 则系统的零解是不稳定的,其空间轨线的相图分别如图7(a)(b)所示.

      图  7  三重实特征根情形下系统(30)的空间相图

      Figure 7.  The phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

      同样地,以图7(a)为例,将其分别投影到坐标平面 $\xi {\rm{o}}\eta ,\xi {\rm{o}}\delta ,\eta {\rm{o}}\delta $ 上,得图8(a),(b),(c). 不难看出,图8(a),(b),(c)在二维平面上平衡点的类型均是退化结点,且具有渐近稳定的性质. 反之,若将图7(b)分别投影到3个坐标平面,图形形状不发生改变,但是轨线走势与之相反,即平衡点类型仍为退化结点,但是不再具有稳定性这一性质,这也可以由 $\xi (t) \to + \infty ,\;\eta (t) \to + \infty ,\;\delta (t) \to + \infty \;(t \to + \infty )$ 看出.

      图  8  三重实特征根情形下系统(30)的空间相图投影图

      Figure 8.  The map of phase portraits of system (30) under triple real characteristic roots

      (2)$\lambda $ 是三重实根,且 ${a_2},{a_3},{b_1},{b_3},{c_1},{c_2}$ 均为零时,系统(1)本身就是标准型:

      $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }x}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda x,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }y}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda y,\quad \quad \frac{{{{\rm{d}}^\alpha }z}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} = \lambda z.$

      通过Laplace变换求得其解:

      $\qquad x\left( t \right){\rm{ = }}{c_1}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( {\lambda {t^\alpha }} \right)}^k}}}{{\Gamma \left( {\alpha k + 1} \right)}},} \;y\left( t \right) = {c_2}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( {\lambda {t^\alpha }} \right)}^k}}}{{\Gamma \left( {\alpha k + 1} \right)}}} ,\;z\left( t \right) = {c_3}\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( {\lambda {t^\alpha }} \right)}^k}}}{{\Gamma \left( {\alpha k + 1} \right)}}.} {\rm{ }}$

      $\lambda > 0$ 时,显然有 $x(t) \to \infty ,\;y(t) \to \infty ,\;z(t) \to \infty \;\left( {t \to + \infty } \right),$ 故平衡点 $(0,0,0)$ 是不稳定的;而当 $\lambda < 0$ 时,由于 $x(t) \to {\rm{0}},\;y(t) \to {\rm{0}},\;z(t) \to {\rm{0}}\;\left( {t \to + \infty } \right),$ 则平衡点 $(0,0,0)$ 是稳定的. 其空间轨线性态如图9(a)(b)图9$\xi,\; \eta,\; \delta $的坐标单位长为1×1021). 此时,我们称平衡点 $(0,0,0)$ 为空间的临界结点,当 $\lambda > 0$ 时,为不稳定结点;当 $\lambda < 0$ 时,为稳定结点.

      图  9  三重实特征根情形下系统(32)的空间相图

      Figure 9.  The phase portraits of system (32) under triple real characteristic roots

参考文献 (21)

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