Sobolev及Besov空间中Bochner-Riesz算子的逼近

钟宇 杨柱元 官心果

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Sobolev及Besov空间中Bochner-Riesz算子的逼近

    作者简介: 钟 宇(1995−),女,四川人,硕士生,主要研究函数逼近论及应用. E-mail:394839064@qq.com;
    通讯作者: 杨柱元, 1025719371@qq.com
  • 中图分类号: O174.41

Approximation of Bochner-Riesz operators in weighted Sobolev and Besov spaces

    Corresponding author: YANG Zhu-yuan, 1025719371@qq.com ;
  • CLC number: O174.41

  • 摘要: 研究了第一类Chebyshev加权正交多项式的Riesz算子,利用 K-泛函对加权Sobolev空间中函数进行逼近研究,证明了Bochner-Riesz算子在 $L_W^p$[ −1, 1] 空间中的有界性,得到了 K-泛函控制估计,进一步得到对加权Besov空间的刻画.
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-04-06
  • 录用日期:  2021-07-25
  • 网络出版日期:  2021-07-28
  • 刊出日期:  2021-11-15

Sobolev及Besov空间中Bochner-Riesz算子的逼近

    作者简介:钟 宇(1995−),女,四川人,硕士生,主要研究函数逼近论及应用. E-mail:394839064@qq.com
    通讯作者: 杨柱元, 1025719371@qq.com
  • 云南民族大学 数学与计算机科学学院,云南 昆明 650500

摘要: 研究了第一类Chebyshev加权正交多项式的Riesz算子,利用 K-泛函对加权Sobolev空间中函数进行逼近研究,证明了Bochner-Riesz算子在 $L_W^p$[ −1, 1] 空间中的有界性,得到了 K-泛函控制估计,进一步得到对加权Besov空间的刻画.

English Abstract

  • 非光滑函数的Fourier逆变换是调和分析中的一个重要问题,实际上可转化为讨论Fourier积分对应核函数的线性求和取平均的收敛性问题. Bochner-Riesz平均是多元Fourier分析中常见的求和方法之一,由此定义了频率截断的Fourier积分算子,即Bochner-Riesz平均算子. Bochner-Riesz算子大于临界阶指标时有着许多有价值的结论,而小于或等于临界阶指标时有着截然不同的情况. Herz[1]于1954年得到了Bochner-Riesz算子 ${L^p}$ 有界的必要条件,随后人们就对其充分性进行了猜测,即为众所周知的Bochner-Riesz猜想. Carlson等[2]利用震荡型积分的方法解决了二维情况下的Bochner-Riesz猜想,而高维情况仍在探索之中. 虽然解决Bochner-Riesz猜想举步维艰,但是仍有许多国内外的学者在这个领域进行求索,比如张军勇[3]将广义Boch ner-Riesz算子的 ${L^p}$ 有界性的结论从Gauss曲率处处不为零的集合推广到凸有限型几何性质的集合上,促使Boussinesq色散方程的Strichartz估计得到进一步的研究;Kim[4]研究了函数的齐次度为d时大于临界阶的径向广义Bochner-Riesz算子在不同空间的有界性. 由此可见,Bochner-Riesz算子的 ${L^p}$ 有界性问题既是挑战,也是开展下一步研究的基石.

    Stein[5]利用插值定理证明了Bochner-Riesz算子在 ${L^p}(1 < p < \infty )$ 范数下是收敛的,继而得到其有界性的结论. 至今,许多学者对Bochner-Riesz算子进行了更细化的研究[6-9]. Ditzian[10]研究由Legendre多项式展开的Riesz型求和算子 ${R_n}(f,x) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n {\left(1 - \dfrac{{k(k + 1)}}{{n(n + 1)}}\right){a_k}{p_k}(x)}$,证明了其逼近阶与最佳多项式近似相当. 陈守银[11]进一步进行研究,对Bochner-Riesz算子 ${R_{n,r}}(f,x) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n {\left[1 - {{\left(\dfrac{{k(k + 1)}}{{n(n + 1)}}\right)}^r}\right]\hat f(k){p_k}(x)}$ 证明了等价关系:$||{R_{n,r}}f - f|{|_p} \sim {K_{2r}}{(f,{n^{ - 2r}})_p}$. Chen等[12]对由Jacobi多项式展开的Bochner-Riesz算子 $R_{\lambda (n)}^bf = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n $$ {{{\left[1 - \left(\dfrac{{k(k + \alpha + \beta + 1)}}{{n(n + \alpha + \beta + 1)}}\right)\right]}^b}{a_k}p_k^{(\alpha ,\beta )}}$ 进行了研究,得到 $ \left|\right|{R}_{\lambda (n)}^{b}f|{|}_{B} \leqslant C(B,b)|\left|f\right|{|}_{B}$. 唐秀娟等[13]给出 $\alpha +\beta \geqslant -1$$\alpha ,\;\beta > - 1$ 时的Bochner-Riesz算子:$R_n^{r,(\alpha ,\beta )}(f,x) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left[1 - {{\left(\dfrac{{k(k + \alpha + \beta + 1)}}{{n(n + \alpha + \beta + 1)}}\right)}^r}\right]}^b}{a_k}(f)} p_k^{(\alpha ,\beta )}(x)$,得到 $\left|\right|{R}_{n}^{r,b,(\alpha ,\beta )}(f)-f|{|}_{p,{W}_{\alpha ,\beta }} \leqslant $$ C(r,b,\alpha ,\beta ){K}_{r}^{(\alpha ,\beta )}{(f,{n}^{-2r})}_{p}$. 迄今为止,多数文献仅研究了 ${L^p}$ 空间中Bochner-Riesz算子逼近的正定理,因此,本文在上述成果的基础上,研究了Fourier-Chebyshev展开的Bochner-Riesz算子在 $L_W^p[ - 1,1]$ 空间中的有界性,进而对加权Besov空间进行刻画.

    文中涉及的 $C$ 是与之对应的相关常数,含义各不相同,但与正文中的 $f$$k,n,m,N$ 无关.

    • $1 \leqslant p \leqslant \infty $,定义权函数类

      $ \qquad L_W^p = \left\{ f(x):||f|{|_{p,W}} = {\left(\int_{ - 1}^1 {|f(x){|^p}W(x){\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{p}}} < \infty \right\} ,$

      $ \qquad L_W^\infty = \left\{ f(x):||f|{|_{\infty ,W}} = \mathop {{\rm{ess}}\sup }\limits_{x \in [ - 1,1]} |f(x)W(x)| < \infty \right\} ,$

      其中

      $ \qquad W(x) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.$

      已知Chebyshev多项式系 ${T_k}(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{\sqrt {\text{π}} }}, \\ \sqrt {\dfrac{2}{ {\text{π}} }} \cos (k\arccos x), \\ \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} k = 0, \\ \\ k = 1,2,3, \cdot \cdot \cdot \\ \end{array} $$[ - 1,1]$ 上关于 $W(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$ 构成标准正交系.

      定义内积

      $ \qquad \left\langle {f,g} \right\rangle = \int_{ - 1}^1 {f(x)g(x)W(x){\rm{d}}x}. $

      定义自共轭微分算子

      $ \qquad P(D) = W{(x)^{ - 1}}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}}W{(x)^{ - 1}}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}x}},$

      它满足如下的关系

      $ \qquad \left\langle {P{{(D)}^r}g,{T_k}} \right\rangle = \left\langle {g,P{{(D)}^r}{T_k}} \right\rangle;\;P(D){T_k}(x) = ( - {k^2}){T_k}(x), $

      即微分算子的谱为 $( - 1){k^2}$.

      高阶微分算子由下式归纳定义

        $P{(D)^r} = P(D)(P{(D)^{r - 1}})$, $r = 1,2,3 \cdot \cdot \cdot $.

      $f \in L_W^{\rm{1}}$,则 $f$ 有如下展开形式

        $f(x)\sim \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}(f){T_k}(x)} $, $x \in [ - 1,1]$,

      其中

        ${a_k}(f) = \displaystyle\int_{ - 1}^1 {f(x){T_k}(x)W(x){\rm{d}}x} $, $k = 0,1,2,3 \cdot \cdot \cdot$.

      部分和为

      $ \qquad {S_n}(f,x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}(f){T_k}(x)}. $

      定义Bochner-Riesz算子

        $R_n^{b,r}(f,x) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\dfrac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}{a_k}(f){T_k}(x)}$, $(r > 1)$.

      设函数 $g(x) \in {L^p}( - {\text{π}},{\text{π}})$$g(x)$ 的共轭函数[14]定义为

      $ \qquad \tilde g(x) = \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{ - {\text{π}} }^ {\text{π}} {\frac{{g(t)}}{{2\tan \frac{{x - t}}{2}}}} {\rm{d}}t = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{ {\text{π}} }\int\limits_{\{ t:\varepsilon \leqslant |x - t| \leqslant {\text{π}} \} } {\frac{{g(t)}}{{2\tan \frac{{x - t}}{2}}}} {\rm{d}}t,x \in [ - {\text{π}},{\text{π}}]. $

      $f\in {L}_{W}^{p},1 \leqslant p,\theta \leqslant \infty ,0 < \gamma <r$,加权 ${\rm{Besov}}$ 空间[15-18]定义为 $B_{p,\theta ,W}^\gamma = \left\{ {\left. {f(x):||f|{|_B} < \infty } \right\}} \right.$,

      其中

      $ \qquad \begin{split} &{\left\| f \right\|_B} = {\left\| f \right\|_{B_{p,\theta ,W}^\gamma }} = {\left\| f \right\|_{p,W}} + {\left\| f \right\|_{b_{p,\theta ,W}^\gamma }};\\ &{\left\| f \right\|_{b_{p,\theta ,W}^\gamma }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\{ {\displaystyle\int_0^{ + \infty } {{{[{t^{{\rm{ - }}\gamma }}{K_r}{{(f,t)}_{p,W}}]}^\theta }\frac{{{\rm{d}}t}}{t}} } \right\}}^{\frac{1}{\theta }}},}&{1 < p < \infty ,}\\ {\mathop {\sup }\limits_{t > 0} \dfrac{{{K_r}{{(f,t)}_{p,W}}}}{{\mathop t\nolimits^\gamma }},}&{p = \infty ;} \end{array}} \right.\\ &{K_r}{(f,t)_{p,W}} = \mathop {\inf }\limits_{P{{(D)}^r}g \in L_W^p} (||f - g|{|_{p,W}} + {t^r}||P{(D)^r}g|{|_{p,W}}). \end{split} $

      引理 1[14]  对 $g \in {L^p}( - {\text{π}} , {\text{π}} )$$ 1 \leqslant p \leqslant +\infty $$g$ 的共轭函数 $\widetilde g $$x \in [ - {\text{π}} , {\text{π}} ]$ 上几乎处处存在且有限,并且当 $1 < p < + \infty $ 时有 ${\left\| {\tilde g} \right\|_p} \leqslant {C_p}{\left\| g \right\|_p}.$

      引理2(Abel引理) 设 ${\varepsilon _i},{v_i}(i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n)$ 为2组实数,令 ${\sigma _k} = {v_1} + {v_2} + \cdot \cdot \cdot + {v_k}(k = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,n)$,则有

      $ \qquad \sum\limits_{i = 1}^n {{\varepsilon _i}} {v_i} = ({\varepsilon _1} - {\varepsilon _2}){\sigma _1} + \cdot \cdot \cdot + ({\varepsilon _{n - 1}} - {\varepsilon _n}){\sigma _{n - 1}} + {\varepsilon _n}{\sigma _n}.$

      引理3[17] 对于 ${p_n} \in {P_n}$ 有Bernstein型不等式

      $ \qquad \left|\right|{P}_{\alpha ,\beta }(D){p}_{n}|{|}_{p,W} \leqslant C{n}^{2}|\left|{p}_{n}\right|{|}_{p,W}.$

      本文中 $P(D) = {P_{\alpha ,\beta }}(D),\alpha = \beta = - \dfrac{1}{2}$${P_n}$ 是不超过 $n$ 次的多项式.

      引理4[16] 存在 $C > 0,u > 0$ 使得正数列 $\{ {a_k}\} _{k = 0}^\infty $$\{ {b_k}\} _{k = 0}^\infty $ 满足

        $ \left|{b}_{k}\right| \leqslant C{\left({\displaystyle\sum \limits_{j=k}^{\infty }|{a}_{j}{|}^{u}}\right)}^{\frac{1}{u}}$$ \left|{b}_{k}\right| \leqslant C{2}^{-k\lambda }{\left({\displaystyle\sum \limits_{j=0}^{k}{({2}^{j\lambda }|{a}_{j}|)}^{u}}\right)}^{\frac{1}{u}}$

      则对 $0 < \gamma < \lambda $$\theta > 0$

      $\qquad {\left[{\sum \limits_{j=0}^{\infty }{({2}^{j\gamma }|{a}_{j}|)}^{\theta }}\right]}^{\frac{1}{\theta }} \leqslant {C}_{0}{\left[{\sum \limits_{j=0}^{\infty }{({2}^{j\gamma }|{b}_{j}|)}^{\theta }}\right]}^{\frac{1}{\theta }}.$

      引理5 任取 $g \in {L^p}[ - 1,1]$,则满足以下交换关系 $P(D){R_n}(g) = {R_n}(P(D)g)$.

      证明

      $\qquad \begin{split} {R_n}(P(D)g) =& \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}{a_k}(P(D)g){T_k}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\left\langle {P(D)g,{T_k}(t)} \right\rangle {T_k}(x)} = \\ &\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\left\langle {g,P(D){T_k}(t)} \right\rangle {T_k}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\left\langle {g,( - {k^2}){T_k}(t)} \right\rangle {T_k}(x)} = \\ &\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\left\langle {g,{T_k}(t)} \right\rangle ( - {k^2}){T_k}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\left\langle {g,{T_k}(t)} \right\rangle P(D){T_k}(x)} = P(D){R_n}(g). \end{split} $

      证毕.

      推论1 $P{(D)^\alpha }{R_n}(g) = {R_n}(P{(D)^\alpha }g)$ $(1 < \alpha \in {\bf{N}})$.

      引理6 对 $f \in L_W^p$$1 < p < \infty $$ u \leqslant 1$,存在 $C > 0$

      $ \qquad {K}_{r}{(f,{2}^{-N})}_{p,W} \leqslant C{2}^{-Nr}\left\{\left[{\sum \limits_{j=0}^{N}({2}^{jr}}||f-{R}_{{2}^{j}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W})^{u}\right]^{\frac{1}{u}}+||f||_{p,W}\right\}.$

      证明 由K-泛函定义,引理3及定理4知

      $\qquad \begin{split} {K}_{r}{(f,{2}^{-N})}_{p,W} \leqslant& \left|\right|f-{R}_{{2}^{N}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W}+{2}^{-Nr}||P{(D)}^{r}{R}_{{2}^{N}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W} \leqslant \\ &\left|\right|f-{R}_{{2}^{N}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W}+{2}^{-Nr}\left({\sum \limits_{j=1}^{N}\left|\right|P{(D)}^{r}{R}_{{2}^{j}}^{b,r}(f)-P{(D)}^{r}{R}_{{2}^{(j-1)}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W}}+\left|\right|P{(D)}^{r}{R}_{1}^{b,r}(f)|{|}_{p,W}\right) \leqslant\\ &{2}^{-Nr}2\left({\sum \limits_{j=0}^{N}{2}^{jr}\left|\right|f-{R}_{{2}^{j}}^{b,r}(f)|{|}_{p,W}}\right)+{2}^{-Nr}C\left|\right|f|{|}_{p,W} \leqslant \\ &C{2^{ - Nr}}\left\{ {\left[\sum\limits_{j = 0}^N {{{({2^{jr}}||f - R_{{2^j}}^{b,r}(f)|{|_{p,W}})}^u}} \right]^{\frac{1}{u}}} + ||f|{|_{p,W}}\right\} . \end{split}$

      证毕.

    • 下面将阐述并证明本文的主要结果:

      定理1 $f \in L_W^p,1 < p < \infty $$b > 0$,则存在仅与参数 $b,r$ 有关的常数 $C > 0$,使得

      $ \qquad \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f){\rm{||}}_{p,W} \leqslant C\left|\right|f|{|}_{p,W}.$

      证明

      $\qquad \begin{split} R_n^{b,r}(f,x) =& \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\int_{ - 1}^1 {f(t){T_k}(t)W(t){\rm{d}}t} {T_k}(x)} =\\ &\int_{ - 1}^1 {f(t)W(t)\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}{T_k}(t){T_k}(x)} {\rm{d}}t} = \\ &\int_{ - 1}^1 f(t)\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}\left(\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\frac{{\cos (k\arccos t)}}{{\left({\dfrac{ {\text{π}} }{2}}\right){^{\frac{1}{2}}}}}\frac{{\cos (k\arccos x)}}{{\left({\dfrac{ {\text{π}} }{2}}\right){^{\frac{1}{2}}}}}} + {1^b}\frac{1}{{\sqrt {\text{π}} }}\frac{1}{{\sqrt {\text{π}} }}\right){\rm{d}}t = \\ &\frac{2}{ {\text{π}} }\int_{ - 1}^1 f(t)\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}\left[\sum\limits_{k = 1}^n \left(1 - {\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r\right)^b\cos (k\arccos t)\cos (k\arccos x) \right] {\rm{d}}t + \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{ - 1}^1 {f(t)\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}{\rm{d}}t} . \end{split}$

      $\arccos t = u,\arccos x = y$${\rm{d}}t = {\rm{d}}\cos u = - \sin u{\rm{d}}u$$f(t) = f(\cos u) = g(u)$,则

      $\qquad \begin{split} R_n^{b,r}(f,x) =& \frac{2}{ {\text{π}} }\int_{\rm{0}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (ku)\cos (ky)} {\rm{d}}u} + \frac{1}{ {\text{π}} }\int_0^ {\text{π}} {g(u){\rm{d}}u} = \\ &\frac{1}{ {\text{π}} }\int_{\rm{0}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}(\cos (k(u + y)) + \cos (k(u - y))} ){\rm{d}}u} + \frac{1}{ {\text{π}} }\int_0^ {\text{π}} {g(u)} {\rm{d}}u. \end{split}$

      $u = - v$,且余弦函数是周期为 ${{2{\text{π}} }}$ 的偶函数

      $\qquad \begin{split} \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{\rm{0}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k(u - y))} {\rm{d}}u} =& - \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{\rm{0}}^{ - {\text{π}} } {g(v)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k( - v - y))} {\rm{d}}v} = \\ &\frac{1}{ {\text{π}} }\int_{ - {\text{π}} }^0 {g(v)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k(v + y))} {\rm{d}}v} , \end{split}$

      $\qquad \begin{split} R_n^{b,r}(f,x) =& \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{\rm{0}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k(u + y))} {\rm{d}}u + } \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{ - {\text{π}} }^0 {g(v)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k(v + y))} {\rm{d}}v} + \\ &\frac{1}{ {\text{π}} }\int_0^ {\text{π}} {g(u)} {\rm{d}}u = \frac{1}{ {\text{π}} }\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\cos (k(u + y))} {\rm{d}}u} + \frac{1}{ {\text{π}} }\int_0^ {\text{π}} {g(u)} {\rm{d}}u. \end{split}$

      通过变量替换,有 $||f|{|_{p,W}}\mathop = \limits^\Delta ||f|{|_{Lp[ - 1,1],W}} = ||g|{|_{Lp[0, {\text{π}} ]}} = \dfrac{1}{2}||g|{|_{Lp[ - {\text{π}} , {\text{π}} ]}}$,且由引理2得

      $\qquad \begin{split} \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f,x)|{|}_{p,W} \leqslant & \left|\left|{\int _{-{\text{π}}} ^{\text{π}} g(u){\sum \limits_{k=1}^{n}{\left(1-{\left(\frac{{k}^{2}}{{n}^{2}}\right)}^{r}\right)}^{b}\mathrm{cos}(k(u+y))}{\rm{d}}u}\right|\right|_{p}+\left\|{\int _{0}^{\text{π}} g(u)}{\rm{d}}u\right\|_{p} \leqslant \\ &\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {|\Delta {a_k}|||{B_k}|{|_p}} + |{a_n}|||{B_n}|{|_p} + ||f|{|_{p,W}}. \end{split}$

      其中

      ${a_k} = {\left(1 - {\left(\dfrac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)^r}\right)^b},\Delta {a_k} = {a_k} - {a_{k + 1}},{a_1} < 1$,且 $\left\{ {{a_k}} \right\}$ 非负单调递减;

      $ \begin{split} {B_k} = \sum\limits_{j = 1}^k {\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\cos (j(u + y)){\rm{d}}u} } = \int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\sum\limits_{j = 1}^k {\cos (j(u + y)){\rm{d}}u} } = \int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\left(\frac{{\sin (k + \frac{1}{2})(u + y)}}{{2\sin \frac{{(u + y)}}{2}}} - \frac{1}{2}\right){\rm{d}}u} . \end{split}$

      由引理1得

      $\qquad \begin{split} ||{B_k}|{|_p} =& \left\|{\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)( - \frac{1}{2}){\rm{d}}u} + \frac{{\cos ky}}{2}\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\cos ku{\rm{d}}u} - \frac{{\sin ky}}{2}\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} {g(u)\sin ku{\rm{d}}u} {\rm{ + }}}\right.\\ &\left.{\int_{-{\text{π}}}^ {\text{π}} g(u)\frac{\mathrm{sin}(ku)\cdot \mathrm{cos}(ky)+\mathrm{sin}(ky)\cdot \mathrm{cos}(ku)}{2\mathrm{tan}\frac{u+y}{2}}{\rm{d}}u}\right\|_{p} \leqslant \\ & \left|\right|g(u)|{|}_{{L}_{p}[-{\text{π}} ,{\text{π}}]}+C(\left|\right|g(u)\mathrm{cos}ku|{|}_{{L}_{p}[-{\text{π}} ,{\text{π}}]}+||g(u)\mathrm{sin}ku|{|}_{{L}_{p}[-{\text{π}} ,{\text{π}}]}) \leqslant C\left|\right|g|{|}_{{}_{{L}_{p}[-{\text{π}} ,{\text{π}}]}} \leqslant C|\left|f\right|{|}_{p,W}. \end{split}$

      因此

      $\qquad \begin{split} \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f)|{|}_{p,W} \leqslant C|\left|f\right|{|}_{p,W}(|{a}_{1}-{a}_{2}|+\cdot \cdot \cdot +|{a}_{n-1}-{a}_{n}|+|{a}_{n}|)+\left|\right|f|{|}_{p,W} \leqslant C\left|\right|f|{|}_{p,W}{a}_{1}+|\left|f\right|{|}_{p,W} \leqslant C\left|\right|f|{|}_{p,W} .\end{split}$

      证毕.

      定理2 设 $g \in {C^{2r}}[ - 1,1],b > 0$,且满足 $P{(D)^r}g \in L_W^p$,对于 $1 < p < \infty $

      $ \qquad \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(g)-g|{|}_{p,W} \leqslant C\frac{1}{{n}^{2r}}\left\|P{(D)}^{r}g\right\|_{p,W}.$

      证明 令 $c(i) = {( - 1)^i}\left( \begin{array}{l} b \\ i \\ \end{array} \right)$,由特征关系可得

      $\qquad \begin{split} R_{{m}}^{b,r}(R_{{m}}^{b,r}(g) - g) =& \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{m^2}}}\right)}^r}\right)}^b}{a_k}(R_m^{b,r}(g) - g){T_k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{m^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\sum\limits_{i = 1}^b {c(i){{\left(\frac{{{k^2}}}{{{m^2}}}\right)}^{ri}}} {a_k}(g){T_k}} = \\ &\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\frac{{{k^2}}}{{{m^2}}}\right)}^r}\right)}^b}\sum\limits_{i = 1}^b {{{( - 1)}^{ir}}c(i){{\left(\frac{1}{{{m^2}}}\right)}^{ri}}} {a_k}(g){{( - {k^2})}^{ri}}{T_k}} = \\ &\sum\limits_{i = 1}^b {{{( - 1)}^{ir}}c(i){{\left(\frac{1}{{{m^2}}}\right)}^{ri}}P{{(D)}^{ri}}R_m^{b,r}(g)} . \end{split}$

      同理 $R_m^{b,r}(R_{m + {\rm{1}}}^{b,r}(g) - g) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^b {{{( - 1)}^{ir}}c(i){{\left(\frac{1}{{{{(m + 1)}^2}}}\right)}^{ri}}} P{(D)^{ri}}R_m^{b,r}(g). $

      由推论1及 $R_m^{b,r}(R_{{n}}^{b,r}(g)) = R_{{n}}^{b,r}(R_m^{b,r}(g)), $

      $\qquad \begin{split} R_{{m}}^{b,r}(R_{{m}}^{b,r}(g)) - R_{{{m}} + {\rm{1}}}^{b,r}(R_{{m}}^{b,r}(g)) =& (R_{{m}}^{b,r}(R_{{m}}^{b,r}(g)) - R_{{m}}^{b,r}(g)) + (R_m^{b,r}(g) - R_{m + {\rm{1}}}^{b,r}(R_m^{b,r}(g))) = \\ &\sum\limits_{i = 1}^b {{{( - 1)}^{ir}}c(i)\left[{{\left(\frac{1}{{{m^2}}}\right)}^{ri}} - {{\left(\frac{1}{{{{(m + 1)}^2}}}\right)}^{ri}}\right]P{{(D)}^{ri}}R_m^{b,r}(g)} .\end{split} $

      由引理3和定理1得

      $\qquad \begin{split} \left|\right|P{(D)}^{ri}{R}_{m}^{b,r}(g)|{|}_{p,W}=&||P(D){R}_{m}^{b,r}(P{(D)}^{ri-1}g)|{|}_{p,W} \leqslant C{m}^{2}\left|\right|{R}_{m}^{b,r}(P{(D)}^{ri-1}g)|{|}_{p,W} \leqslant \\ &C{m}^{2r(i-1)}\left|\right|{R}_{m}^{b,r}(P{(D)}^{r}g)\left|\right|{}_{p,W} \leqslant C{m^{2r(i - 1)}}||P{(D)^r}g|{|_{p,W}}. \end{split} $

      $\qquad \left|\right|{R}_{m}^{b,r}({R}_{m}^{b,r}(g))-{R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}({R}_{m}^{b,r}(g))|{|}_{p,W} \leqslant C\left(\frac{1}{{m}^{2r}}-\frac{1}{{(m+1)}^{2r}}\right)\left\|P{(D)}^{r}g\right\|_{p,W}.$

      同理

      $\qquad \left|\right|{R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}({R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}(g))-{R}_{{m}}^{b,r}({R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}(g))|{|}_{p,W} \leqslant C\left(\frac{1}{{m}^{2r}}-\frac{1}{{(m+1)}^{2r}}\right)\left\|P{(D)}^{r}g\right\|_{p,W}.$

      n取充分大时

      $\qquad \begin{split} &{\sum \limits_{m=n}^{\infty }\left|\right|}{R}_{m}^{b,r}({R}_{m}^{b,r}(g))-{R}_{m+\rm{1}}^{b,r}({R}_{m+\rm{1}}^{b,r}(g))|{|}_{p,W} \leqslant \\ & \;\;\;\;\;{\sum \limits_{m=n}^{\infty }\left|\right|}{R}_{m}^{b,r}({R}_{m}^{b,r}(g))-{R}_{m}^{b,r}({R}_{m+\rm{1}}^{b,r}(g))|{|}_{p,W}+{||}{R}_{m}^{b,r}({R}_{m+\rm{1}}^{b,r}(g))-{R}_{m+\rm{1}}^{b,r}({R}_{m+\rm{1}}^{b,r}(g))|{|}_{p,W} \leqslant \\ &\;\;\;\;\;2C{\sum \limits_{m=n}^{\infty }\left(\frac{1}{{m}^{2r}}-\frac{1}{{(m+1)}^{2r}}\right)}\left|\right|P{(D)}^{r}g|{|}_{p,W} \leqslant C\frac{1}{{{n^{2r}}}}||P{(D)^r}g|{|_{p,W}}. \end{split}$

      因为

      $\qquad \begin{split} \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(g)-g|{|}_{p,W} \leqslant & ||{R}_{n}^{b,r}({R}_{n}^{b,r}(g))-{R}_{n}^{b,r}(g)|{|}_{p,W}+\left|\right|{R}_{n}^{b,r}({R}_{n}^{b,r}(g))-g|{|}_{p,W} \leqslant \\ &||R_n^{b,r}(R_n^{b,r}(g)) - R_n^{b,r}(g)|{|_{p,W}} + ||R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(g)) - g|{|_{p,W}} + \\ &{\sum \limits_{m=n}^{N}\left|\right|{R}_{{m}}^{b,r}({R}_{{m}}^{b,r}(g))-{R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}({R}_{{m}+\rm{1}}^{b,r}(g))|{|}_{p,W}} \leqslant \\ &||R_n^{b,r}(R_n^{b,r}(g)) - R_n^{b,r}(g)|{|_{p,W}} + ||R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(g)) - g|{|_{p,W}} + \\ &\sum\limits_{m = n}^\infty {||R_m^{b,r}(R_m^{b,r}(g)) - R_{m + {\rm{1}}}^{b,r}(R_{m + {\rm{1}}}^{b,r}(g))|{|_{p,W}}}. \end{split} $

      ${p_k} \in {P_k}(k \leqslant N)$ 时,易证 $||R_N^{b,r}({p_k}) - {p_k}|{|_{p,W}} \to 0\left( {N \to \infty } \right). $ 而多项式在 $L_W^p$ 中是稠密的且由定理1易证

      $\qquad \begin{split} ||R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(g) - g|{|_{p,W}} \to 0;\;||R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(R_{N + {\rm{1}}}^{b,r}(g)) - g|{|_{p,W}} \to 0\;\;\;\;\;\left( {N \to \infty } \right). \end{split}$

      证毕.

      定理3 $f \in L_W^p,1 < p < \infty $$0 < b \in N$,则

      $\qquad \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f)-f|{|}_{p,W} \leqslant C{K}_{r}{(f,{n}^{-2})}_{p,W}.$

      证明 由定理1和定理2得

      $\qquad \begin{split} \left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f)-f|{|}_{p,W} \leqslant & ||{R}_{n}^{b,r}(f)-{R}_{n}^{b,r}(g)|{|}_{p,W}+\left|\right|{R}_{n}^{b,r}(g)-g|{|}_{p,W}+||f-g|{|}_{p,W} \leqslant \\ &C(||f - g|{|_{p,W}} + {n^{ - 2r}}||P{(D)^r}g|{|_{p,W}}) .\end{split}$

      ${K_r}{(f,t)_{p,W}}$ 定义知,定理3得证. 证毕.

      定理4 对 $f \in L_W^p,1 < p < \infty ,1 \leqslant \theta < \infty ,0 < \gamma < r$,有

      $\qquad f \in B_{p,\theta ,W}^\gamma \Leftrightarrow {\left[\sum\limits_{j = 0}^\infty {{{({2^{j\gamma }}||f - R_{{2^j}}^{b,r}(f)|{|_{p,W}})}^\theta }} \right]^{\frac{1}{\theta }}} < \infty .$

      证明 易证

      $\qquad \begin{split} \int_0^\infty {{{[{t^{ - \gamma }}{K_r}{{(f,t)}_{p,W}}]}^\theta }\frac{{{\rm{d}}t}}{t}} < \infty \Leftrightarrow \int_0^{\rm{1}} {{{[{t^{ - \gamma }}{K_r}{{(f,t)}_{p,W}}]}^\theta }\frac{{{\rm{d}}t}}{t}} < \infty \Leftrightarrow \sum\limits_{j = 0}^\infty {{{[{2^{j\gamma }}{K_r}{{(f,{2^{ - j}})}_{p,W}}]}^\theta }} < \infty. \end{split}$

      必要性由定理3得证;充分性由引理4及引理6得证. 证毕.

    • 本文证明了Fourier-Chebyshev展开的Bochner-Riesz算子 $R_n^{b,r}(f,x) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left(1 - {{\left(\dfrac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\right)}^r}\right)}^b}{a_k}(f){T_k}(x)} $ 在加权Sobolev空间中的有界性,利用 ${K_r}{(f,t)_{p,W}} = \mathop {\inf }\limits_{P{{(D)}^r}g \in L_W^p} (||f - g|{|_{p,W}} + {t^r}||P{(D)^r}g|{|_{p,W}})$ 得到了 $\left|\right|{R}_{n}^{b,r}(f)-f|{|}_{p,W} \leqslant$ $C{K_r}{(f,{n^{ - 2}})_{p,W}}$,进而刻画出加权Besov空间 $B_{p,\theta ,W}^\gamma $. 事实上,还存在一些与Chebyshev多项式一样有着很好性质的多项式,如Gegenbauer多项式、Hermite多项式等,因此,我们接下来的工作就变得十分明朗.

参考文献 (18)

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